專題06雙曲線性質（易錯必刷34題17種題型專項訓練）題型大集合雙曲線軌跡第一定義定義求最值焦點三角形焦點三角形面積焦點三角形內切圓雙曲線“開口”求漸近線方程焦點弦定比分點第三定義焦點三角形雙余弦定理焦點三角形角平分線型實軸圓型求離心率“漸漸線”型絕對值范圍漸近線上點求離心率離心率范圍與最值橢圓與雙曲線共焦點題型大通關一．雙曲線軌跡（共2小題）1．（23-24上?！て谥校┰O圓和圓是兩個定圓，動圓與這兩個定圓都相切，則動圓的圓心的軌跡不可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】按動圓與圓、圓內切、外切情況分類，結合橢圓、雙曲線定義確定軌跡的可能情況即得.【詳解】設動圓的半徑為，圓和圓的半徑分別是，①當，且兩圓外離時，，若圓與圓、圓都外切或都內切，則有或，于是，此時點的軌跡是線段的中垂線；若圓與圓、圓一個外切一個內切，則有或，于是，此時點的軌跡是雙曲線，因此此時點的軌跡是一條直線和一個雙曲線，B可能；②當，且兩圓內含時(不妨設)，，若圓與圓、圓都內切，則有，即有，此時點軌跡為橢圓；若圓與圓內切、與圓外切時，則有，即有，此時點軌跡為橢圓；因此點軌跡為兩個橢圓，C可能；③當兩圓且兩圓外離時(不妨設，，若圓與圓、圓都外切或都內切，則有或，有，點軌跡為雙曲線；若圓與圓、圓一個外切一個內切，則有或，有，點軌跡為雙曲線，因此點軌跡為兩個雙曲線，D可能；而兩個圓相交或相外切時，點軌跡是被直線分成的不連續(xù)的兩段圖形，軌跡不可能是完整的橢圓兩圓內切時，點軌跡是直線被其中較大的圓分成的在該圓外部的兩條射線（不含端點），A不可能.故選：A【點睛】關鍵點睛：涉及軌跡形狀的判斷問題，利用基本軌跡定理、橢圓、雙曲線及拋物線定義是求解問題的關鍵.2．（23-24高二上·廣東東莞·期中）設、是兩定點，，動點P滿足，則動點P的軌跡是（

）A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．一條射線 D．軌跡不存在【答案】B【分析】由判斷出正確答案.【詳解】依題意，、是兩個定點，P是一個動點，且滿足，所以動點P的軌跡是雙曲線的一支.故選：B第一定義（共2小題）3．（22-23高二上·山西晉中·期中）已知雙曲線的左焦點為，點是雙曲線右支上的一點，點是圓上的一點，則的最小值為（

）A．5 B． C．7 D．8【答案】C【分析】由雙曲線定義等于到右焦點的距離，而的最小值是（是圓半徑），由此可得結論．【詳解】記雙曲線的右焦點為，所以，當且僅當點為線段與雙曲線的交點時，取到最小值．故選：C．4．（21-22高二上·四川成都·期中）若點在曲線上，點在曲線上，點在曲線上，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知兩圓圓心為雙曲線的兩個焦點，利用圓的幾何性質以及雙曲線的定義可求得的最大值.【詳解】在雙曲線中，，，，易知兩圓圓心分別為雙曲線的兩個焦點，記點、，當取最大值時，在雙曲線的左支上，所以，.故選：B.三．定義求最值（共2小題）5．（22-23高二上·福建福州·期中）已知，雙曲線的左、右焦點分別為，，點是雙曲線左支上一點，則的最小值為（）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的方程，求得焦點坐標，由雙曲線的性質，整理，利用三角形三邊關系，可得答案.【詳解】由雙曲線，則，即，且，由題意，，當且僅當共線時，等號成立.故選：C.6．（22-23高二·全國·期中）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線內一點，點A在雙曲線的右支上，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用雙曲線的定義可得，求的最小值相當于求的最小值，當三點共線時能取得最小值.【詳解】因為，所以要求的最小值，只需求的最小值.如圖,連接交雙曲線的右支于點.當點A位于點處時，最小，最小值為.故的最小值為.

故選：C四．焦點三角形（共2小題）7．（2024·青?！て谥校┮阎?，分別是雙曲線C：的左、右焦點，，點P在C的右支上，且的周長為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助雙曲線定義計算即可得.【詳解】由雙曲線定義可知：，則三角形的周長為，故.故選：D.8．（23-24高二上·廣東中山·期中）圓錐曲線光學性質（如圖1所示）：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個焦點處；從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點.如圖2，一個光學裝置由有公共焦點，的橢圓與雙曲線構成，一光線從左焦點發(fā)出，依次經(jīng)過與的反射，又回到點路線長為；若將裝置中的去掉，則該光線從點發(fā)出，經(jīng)過兩次反射后又回到點路線長為.若與的離心率之比為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為,由橢圓與雙曲線的定義求出兩個圖形中三角形的周長,再出離心率的比值求得，把轉化為的關系得答案.【詳解】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為,在圖2左邊圖形中,由橢圓定義可得：①，由雙曲線定義可得：②，由①②可得：∴△的周長為.在圖2右圖中,光線從橢圓的一個焦點發(fā)出，被橢反射后經(jīng)過橢圓的另一個焦點，即直線ED經(jīng)過，則△EDF1的周長為,又橢圓與雙曲線焦點相同,離心率之比為，所以，又兩次所用時間分別為m,n,而光線速度相同，所以.故選：C五．焦點三角形面積（共2小題）9．（23-24高二上·陜西西安·期中）已知焦點為的雙曲線C的離心率為，點P為C上一點，且滿足，若的面積為，則雙曲線C的實軸長為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】由雙曲線定義可得，，應用余弦定理及已知有，最后由三角形面積公式列方程求，即得實軸長.【詳解】設，則，故（a為雙曲線參數(shù)），所以，，故，而，則，則，，所以，故，則，故長軸長.故選：B10．（23-24高二上·吉林長春·期中）已知是雙曲線的右焦點，是左支上一點，，當周長最小時，該三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用雙曲線的定義，確定周長最小時，的坐標，即可求出周長最小時，該三角形的面積．【詳解】設雙曲線的左焦點為，由雙曲線定義知，，的周長為，由于是定值，要使的周長最小，則最小，即、、共線，，，直線的方程為，即代入整理得，解得或（舍），所以點的縱坐標為，.故選：C.六．焦點三角形內切圓（共2小題）11．（23-24高二上·湖南·期中）已知為雙曲線右支上的一個動點（不經(jīng)過頂點），，分別是雙曲線的左、右焦點，的內切圓圓心為，過做，垂足為，下列結論錯誤的是（

）A．的橫坐標為 B． C． D．【答案】D【分析】結合雙曲線的定義進行判斷．【詳解】設的內切圓在，，上得切點分別為，，．設切點的坐標．因為．所以，因為，的橫坐標為，A正確；，所以B正確；延長交于點，因為為的角平分線，且，故．所以，所以，所以C正確．，D錯．故選：D．12．（21-22高二上·四川成都·期中）已知分別為雙曲線的左?右焦點，點在雙曲線上，為的內心，點滿足，若且，記的外接圓半徑為，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】設，根據(jù)點滿足，得到，再由，得到的縱坐標是，然后設，由利用等面積法得到，結合橢圓的定義，由余弦定理求得，進而得到c，再利用正弦定理求解.【詳解】設，由題意得，因為點滿足，所以點G是的重心，則，又因為，所以軸，則的縱坐標是，所以，設，則，所以，即，則，由余弦定理得，即，解得或，所以，則，解得，故選：A雙曲線“開口”（共2小題）13．（22-23高二下·上海黃浦·期中）雙曲線和的離心率分別為和，若滿足，則下列說法正確是（

）A．的漸近線斜率的絕對值較大，的開口較開闊B．的漸近線斜率的絕對值較大，的開口較狹窄C．的漸近線斜率的絕對值較大，的開口較開闊D．的漸近線斜率的絕對值較大，的開口較狹窄【答案】A【分析】根據(jù)離心率公式及漸近線方程，得到兩曲線漸近線斜率的關系，即可判斷.【詳解】因為，，又雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，因為，所以，即，即，所以的漸近線斜率的絕對值較大，又離心率越大，雙曲線開口越開闊.故選：A.14．（2023·上海嘉定·一模）已知四條雙曲線，，，，，關于下列三個結論的正確選項為（

）①的開口最為開闊；②的開口比的更為開闊；③和的開口的開闊程度相同.A．只有一個正確 B．只有兩個正確 C．均正確 D．均不正確【答案】D【分析】分別計算出四條雙曲線的離心率，根據(jù)離心率越大開口更開闊進行比較.【詳解】依題意，依次計算出各自的離心率可得：，比較大小知：可知：三個結論均為錯誤；故選：D八．求漸近線方程（共2小題）15．（23-24高二上·河南信陽·期中）如圖，已知分別是雙曲線的左、右焦點，過點的直線與雙曲線C的左支交于點A，B，若則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線的定義結合勾股定理求得，再利用勾股定理求出即可得解.【詳解】依題意，設，則，，由，得，在中，，整理得，因此，，在中，有，整理得，顯然，即，解得，所以雙曲線的漸近線方程為．故選：C【點睛】易錯點睛：雙曲線的漸近線方程為，而雙曲線的漸近線方程為（即），應注意其區(qū)別與聯(lián)系.16．（23-24高二上·寧夏銀川·期中）在平面直角坐標系中，雙曲線的左、右焦點分別為，，點是左支上一點，且，，則C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義結合，求得，再在中，利用勾股定理求得之間的關系，從而得解.【詳解】因為在雙曲線中，因為，所以，則，

在中，，，所以，即，所以，所以，則，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：B.九．焦點弦定比分點（共2小題）17．（23-24高二上·湖北·期中）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，過的直線與C的左支交于A，B兩點，且，，則C的漸近線為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意設，則，根據(jù)雙曲線定義可得，，在，中分別利用勾股定理可求得答案.【詳解】如圖．設，，則，，在中由勾股定理：，解得：，在中，由勾股定理：解得：，所以，所以漸近線方程為：.故選：A．18．（21-22高二下·福建廈門·期中）記雙曲線的左、右焦點分別為，過的直線與的左支交于兩點，且，以線段為直徑的圓過點，則的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設，在中，結合雙曲線定義，利用勾股定理可構造方程求得；在中，利用勾股定理和雙曲線的關系可求得，由此可得漸近線方程.【詳解】設，由得：；；由雙曲線定義可知：，，，；線段為直徑的圓過點，；在中，，即，解得：；在中，，即，即，，，則的漸近線方程為.故選：C.十．第三定義（共2小題）19．（22-23·江蘇·期中）已知雙曲線：（，）的上、下頂點分別為，，點在雙曲線上（異于頂點），直線，的斜率乘積為，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設點由直線，的斜率乘積為得到，則漸近線可求.【詳解】設點，又，，則，所以，又因為點在雙曲線上得，所以，故，所以則雙曲線的漸近線方程為.故選：B20．（2022·四川南充·一模）雙曲線，點A，B均在E上，若四邊形為平行四邊形，且直線OC，AB的斜率之積為3，則雙曲線E的漸近線的傾斜角為（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】利用點差法，結合雙曲線漸近線方程、平行四邊形的性質、中點坐標公式進行求解即可.【詳解】設，顯然線段的中點坐標為，因為四邊形為平行四邊形，所以線段的中點坐標和線段的中點坐標相同，即為，因此點坐標為，因為直線OC，AB的斜率之積為3，所以，因為點A，B均在E上，所以，兩式相減得：，所以兩條漸近線方程的傾斜角為或，故選：B

【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是應用點差法和平行四邊形的性質.十一．焦點三角形雙余弦定理（共2小題）21．（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）已知是雙曲線的左、右焦點，經(jīng)過點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義可得，取的中點，連接，由面積可得，利用余弦定理結合雙曲線離心率分析求解.【詳解】由題意可知：，可得，取的中點，連接，可知，因為，可得，則，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理得，所以雙曲線C的離心率為.故選：B.【點睛】方法點睛：求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關系或不等關系，然后把b用a，c代換，求e的值．22．（22-23·江西·期中）如圖所示，，是雙曲線：（，）的左、右焦點，的右支上存在一點滿足，與的左支的交點滿足，則雙曲線的離心率為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】在和中，由正弦定理結合條件得到，設（），由雙曲線的定義和勾股定理得到，結合即可求解.【詳解】在中，由正弦定理得：①，在中，由正弦定理得：②，又，則，所以得：，又，則，即；設（），由雙曲線的定義得：，，，由得：，解得：，所以，，在中，由勾股定理得：，整理得：，即雙曲線的離心率，故選：C.十二．焦點三角形角平分線型（共2小題）23．（22-23上海浦東新·期中）已知雙曲線的左、右焦點分別是，，點C是雙曲線右支上異于頂點的點，點D在直線上，且滿足，．若，則雙曲線的離心率為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)得在的角平分線上，進而根據(jù)雙曲線的定義以及切線長性質可判斷為的內心，結合重心的向量表示以及重心的性質，即可得，進而由離心率公式即可求解.【詳解】由于點D在直線上，且滿足，可知在的角平分線上，設的內切圓分別與邊相切于點,（如圖1）則有切線長定理可得,結合雙曲線的定義可得,所以的內心在直線上，故為的內心，由得,由于是的中點,所以,因此,分別延長至,使得,如圖2故，因此是的重心，設由是的重心，所以，又，同理即，故由于為的內心，故到三條邊的距離相等，可得,因此為直角三角形，所以，因此離心率,故選：C【點睛】本題考查了雙曲線的定義和性質，以及三角形內心，重心的性質，綜合性較強.對于離心率問題，要充分挖掘幾何性質和圖形中體現(xiàn)的等量關系，建立出的關系系，從而求解離心率.24．（2023·湖北·期中）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點，點C在x軸上，，平分，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)可知，再根據(jù)角平分線定理得到的關系，再根據(jù)雙曲線定義分別把圖中所有線段用表示出來，根據(jù)邊的關系利用余弦定理即可解出離心率.【詳解】因為，所以∽，設，則，設，則，．因為平分，由角平分線定理可知，，所以，所以，由雙曲線定義知，即，，①又由得，所以，即是等邊三角形，所以．在中，由余弦定理知，即，化簡得，把①代入上式得，所以離心率為．故選：A．十三．實軸圓型求離心率（共2小題）25．（22-23高二上·浙江臺州·期中）已知雙曲線的左頂點為，過的直線與的右支交于點，若線段的中點在圓上，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】設線段的中點為，雙曲線的右頂點為，連接，則可得，然后在中利用余弦定理求得，則，從而可表示出，代入雙曲線方程化簡可求出離心率.【詳解】設線段的中點為，雙曲線的右頂點為，左右焦點為，連接，因為線段的中點在圓上，所以，所以≌，所以，因為，所以，在中，由余弦定理得，因為，所以，所以，過作軸于，則，所以，所以，得，所以，，所以，所以離心率，選：A

【點睛】關鍵點點睛：此題考查求雙曲線的離心率，考查直線與雙曲線的位置關系，解題的關鍵是由題意求得，然后在中利用余弦定理求出，從而可表示出點的坐標，考查數(shù)形結合的思想和計算能力，屬于較難題.26．（2023·江西撫州·期中）如圖，已知，分別為雙曲線C：的左、右焦點，過作圓O：的切線，切點為A，且切線在第三象限與C及C的漸近線分別交于點M，N，則（

）A．直線OA與雙曲線C有交點B．若，則C．若，則C的漸近線方程為D．若，則C的離心率為【答案】D【分析】通過求出直線的方程判斷其為雙曲線的漸近線，從而判斷A，利用雙曲線的定義判斷B，結合雙曲線的定義和余弦定理判斷C，由與漸近線的傾斜角關系求得，再變形后求得離心率，判斷D．【詳解】設（-c，0），（c，0），由題意可知，所以，從而直線的斜率為，由此，直線OA的斜率為，其方程為，恰好是C的一條漸近線，所以直線OA與雙曲線C無交點，A錯誤；由雙曲線的定義及2a，又，則，B錯誤；由，得，再由雙曲線的定義，得；在中，由余弦定理，得，化簡得，所以C的漸近線方程為，C錯誤；由及，得；設直線ON的傾斜角為α，則=，又，又，所以，解得，所以，D正確.故選：D.十四．“漸近線”型絕對值范圍（共2小題）27．（21-22高二上·安徽六安·期中）已知實數(shù)，滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】實數(shù)，滿足，通過討論，得到其圖象是橢圓、雙曲線的一部分組成的圖形，借助圖象分析可得的取值就是圖象上一點到直線距離范圍的2倍，求出切線方程根據(jù)平行直線距離公式算出最小值，和最大值的極限值即可得出答案.【詳解】因為實數(shù)，滿足，所以當時，，其圖象是位于第一象限，焦點在軸上的橢圓的一部分（含點），當時，其圖象是位于第四象限，焦點在軸上的雙曲線的一部分，當時，其圖象是位于第二象限，焦點在軸上的雙曲線的一部分，當時，其圖象不存在，作出橢圓和雙曲線的圖象，其中圖象如下：任意一點到直線的距離所以，結合圖象可得的范圍就是圖象上一點到直線距離范圍的2倍，雙曲線，其中一條漸近線與直線平行通過圖形可得當曲線上一點位于時，取得最小值，無最大值，小于兩平行線與之間的距離的倍，設與其圖像在第一象限相切于點，由因為或（舍去）所以直線與直線的距離為此時，所以的取值范圍是．故選：C．28．（23-24高二下·貴州六盤水·期中）已知實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用絕對值的性質化簡，確定其表示的圖形并作出圖形，根據(jù)直線與圓的位置關系、雙曲線的性質，結合點到直線的距離公式計算即可求解.【詳解】由，得當時，方程為，圖形為單位圓在第一象限的部分（含端點）；當時，方程為，圖形為雙曲線在第四象限的部分；當時，方程為，圖形為雙曲線在第二象限的部分；當時，方程為，沒有意義，不表示任何圖形.作出的圖形，如圖，設點為曲線上的一個動點，則A到直線的距離為，由圖可知，當A在圓心O到直線的垂線段上時，即時，，達到最小值；又雙曲線、的一條漸近線方程為，所以小于直線與的距離，而這兩直線的距離為，故，解得，即的取值范圍為.故選：C【點睛】關鍵點點睛：解決本題問題的關鍵是確定方程表示的圖形，以及通過A到直線的距離為的取值范圍，間接求解的取值范圍.十五．漸近線上點求離心率（共2小題）29．（23-24高二下·天津·期中）已知雙曲線為坐標原點為其左、右焦點，點在的漸近線上，，且，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】首先求，，，再根據(jù)，結合余弦定理，即可求解.【詳解】由題意，不妨設點在上，焦點到直線的距離，，，，則，，，所以,即，得，所以雙曲線的離心率.故選：A30．（23-24高二下·浙江·期中）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在的右支上，與的一條漸近線平行，交的另一條漸近線于點，若，則的離心率為（

）

A． B． C．2 D．【答案】A【分析】設出直線的方程，與漸近線的方程聯(lián)立，求出的坐標，由為的中點，，得為的中點，求出的坐標，代入雙曲線的方程求解即可.【詳解】令，由對稱性，不妨設直線的方程為，由，解得，，即點的坐標為，由為的中點，，得為的中點，則點的坐標為，代入雙曲線的方程，有，即，，解得，所以雙曲線的離心率為．故選：A十六．離心率范圍與最值（共2小題）31．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知分別為雙曲線的左、右焦點，點為雙曲線右支上一點且點在軸上的射影恰為該雙曲線的右焦點交雙曲線于另一點，滿足，則雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，可得，利用點在雙曲線上，可求得，可求離心率的范圍.【詳解】設又由，則，可得，所以，解得，，點在雙曲線上，，，故雙曲線離心率的取值范圍是.故選：C．32．（21-22高三下·安徽·期中）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，焦距為4，點M在圓上，且C的一條漸近線上存在點N，使得四邊形為平行四邊形，O為坐標原點，