第7講三角恒等變換與正、余弦定理基礎過關1.已知sinπ3+α=13,則cosπ3-2α= ()A.79 B.8C.-79 D.-2.已知sinα-cosα=15,0<α<π,則cos2α= (A.-725 B.7C.2425 D.-3.設△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若b=3,c=3,B=π3,則C= (A.π3 B.πC.π6或5π6 4.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且cos2A+cos2B=1+cos2C,2sinAsinB=sinC,則下列結論正確的是 ()A.A=B,C≠π2 B.A≠B,C=C.A≠B,C≠π2 D.A=B,C=5.已知α∈π,32π,2sin2α=1-cos2α,則tanα2= ()A.-1+52 BC.-1±52 6.已知a,b,c分別為△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊,且bsinA=(3b-c)sinB,則b2ac的最小值為 (A.54 B.74 C.43 7.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若b=23,cosB+3sinB-2=0,且sinC=2sinA,則△ABC的周長是 ()A.12+23 B.63 C.43 D.6+238.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c-acosB=(2a-b)cosA,則△ABC為 ()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形9.下列說法中不正確的是 ()A.在△ABC中,若A>B,則sinA>sinBB.在銳角三角形ABC中,不等式sinA>cosB恒成立C.在△ABC中,若B=60°,b2=ac,則△ABC必是等邊三角形D.在△ABC中,若acosA=bcosB,則△ABC必是等腰三角形10.如圖X7-1,一艘海輪從A處動身,以每小時24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后到達B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處視察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處視察燈塔,其方向是北偏東65°,則B,C兩點間的距離是 ()圖X7-1A.62海里 B.63海里 C.82海里 D.83海里11.已知tanθ=2,則sinπ2+2θ=.

12.設△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知(4a-c)cosB=bcosC,則cosB=.

實力提升13.已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=1,b2+c2-bc=1,則△ABC面積的取值范圍是 ()A.36,34 B.36,34 C.312,34 D.312,3414.平面四邊形ABCD為凸四邊形,且∠DAB=60°,AD⊥DC,AB=3,BD=2,則BC的取值范圍為 ()A.72,2 B.72,2 C.(2,7) D.72,715.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,B=π3,AB·BC=-2,且滿意sinA+sinC=2sinB,則該三角形的外接圓的半徑R為 (A.433 B.C.3 D.216.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,∠ABC=60°,∠ABC的平分線交AC于點D,且BD=3,則a+2c的最小值為.

限時集訓(七)1.C[解析]因為sinπ3+α=13,所以cosπ3-2α=-cosπ-(π3-2α)=-cos2π3+α=2sin2π3+α-1=2×132-2.A[解析]∵sinα-cosα=15,0<α<π∴1-2sinαcosα=125,∴2sinαcosα=2425>∴α為銳角.∴sinα+cosα=(sinα+cosα)2=∴cos2α=cos2α-sin2α=-(sinα-cosα)(sinα+cosα)=-15×75=-故選A.3.B[解析]由正弦定理得bsinB=∴3sinπ3∴sinC=12∵b>c,∴B>C,又C∈(0,π),∴C=π6故選B.4.D[解析]∵cos2A+cos2B=1+cos2C,∴1-2sin2A+1-2sin2B=1+1-2sin2C,可得sin2A+sin2B=sin2C,∴由正弦定理得a2+b2=c2,∴C=π2又∵sinC=2sinAsinB,∴2sinAsinB=2sinBcosB=2sinAcosA=1,∴sin2A=sin2B=1,又A,B為銳角,∴A=B=π4故選D.5.B[解析]因為2sin2α=1-cos2α,所以4sinαcosα=1-(1-2sin2α),即4sinαcosα=2sin2α,因為α∈π,32π,所以sinα≠0,α2∈π2,34π,所以2cosα=sinα,即tanα=2,又tanα=2tanα21-tan2α2,所以2tanα21-tan2α2=2,即tan2α2因為α2∈π2,34π,所以tanα2=故選B.6.C[解析]∵bsinA=(3b-c)sinB,∴由正弦定理得ab=(3b-c)b,∴a=3b-c,即a+c=3b.∵a+c≥2ac,∴3b≥2ac,當且僅當a=c=32b時,等號成立,∴b2ac≥43,故b2ac7.D[解析]∵cosB+3sinB=2sinB+π6=2,∴sinB+π6=1,∵0<B<π,∴π6<B+π6<7π6,則B+π6=∵sinC=2sinA,∴c=2a,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,即3a2=12,∴a=2,c=2a=4,∴△ABC的周長是a+b+c=6+23.故選D.8.D[解析]由余弦定理得cosA=c2+b2-a22bc,cosB=c2+a2-b22ac,代入c-acosB=(2a-b)cos解得a=b或c2-a2+b2=0,則△ABC為等腰三角形或直角三角形,故選D.9.D[解析]在△ABC中,因為A>B,所以a>b,由正弦定理可知sinA>sinB,故A中說法正確;因為△ABC是銳角三角形,所以0<C<π2,由三角形內(nèi)角和定理可知0<π-A-B<π2,即有A+B>π2?A>π2-B,因為△所以A,B為銳角,因此可得sinA>sinπ2-B=cosB,故B中說法正確;由余弦定理可知b2=a2+c2-2ac·cosB,又因為B=60°,b2=ac,所以ac=a2+c2-ac?a2+c2-2ac=0?(a-c)2=0?a=c,因此△ABC是等腰三角形,而B=60°,所以△ABC是等邊三角形,故C中說法正確;由正弦定理可知asinA=bsinB,又acos所以sinAcosA=sinBcosB?12sin2A=12sin2B?sin2A=sin2因為A,B∈(0,π),所以2A,2B∈(0,2π),所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=π2所以△ABC是等腰三角形或直角三角形,故D中說法不正確.10.A[解析]由題意可知∠BAC=70°-40°=30°,∠ACB=180°-70°-65°=45°,AB=24×0.5=12(海里).在△ABC中,由正弦定理得ABsin∠ACB即1222=BC12,∴BC=62海里11.-13[解析]因為tanθ=2所以sinπ2+2θ=cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ-sin2θ12.14[解析]由(4a-c)cosB=bcosC及正弦定理可得sinBcosC=(4sinA-sinC)cosB化簡可得sinBcosC+sinCcosB=4sinAcosB,即sin(B+C)=sinA=4sinAcosB,因為0<A<π,所以sinA≠0,所以cosB=1413.A[解析]因為a=1,b2+c2-bc=1,所以cosA=b2+c2-a22bc=b2+c2-12bc=12,又A∈(0,π),所以A=π3.由正弦定理得bc=43sinBsinC=43sinBsin2π3-B=43sinB32cosB+12sinB=23sin2B-π6+13,因為△ABC為銳角三角形,所以0<2π3-B<π2,0<B<π2,即π6<B<π2,所以π14.D[解析]設AD=x,在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠DAB,即4=3+x2-23xcos60°,解得x=3+延長DC,AB交于點E,則由AD⊥CD,得AE=3+7,BE=7.若BC⊥CD,則BC=72由題意得點C在線段ED(不含端點)上,所以BC的取值范圍是72,7.15.B[解析]由題意得AB·BC=accos(π-B)=-12ac=-2,所以ac=4由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-3ac,又因為sinA+sinC=2sinB,所以a+c=2b,所以(a+c)42=(a+c所以3(a+c)42=12,所以(a+c)2=16,所以所以2R=bsinB=2sinπ3=416.3+2