2010年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)三試題

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將所選項(xiàng)的字母填在答題紙指定位置匕

則。等于

(A)0(B)l

(C)2(D)3

a=2,選C

(2)設(shè)%,%是一階線性非齊次微分方程y'+pMy=q(x)的兩個(gè)特解，若常數(shù)人〃使

“X-〃X是該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，貝1()

(A)2=：,〃=:(B)2=-^-,//=-^

2222

2122

(C)2=-,A=-(D)A=-,A=-

根據(jù)已知有Ay"+yp(x)=q(x),2y2"+y2p(x)=q(x)?于是將2yl+/.iy2和Ay,-/jy2分

別代入方程左邊得

+〃+〃y2)=Q+〃)q(x)

(肛-〃)，2)"+P(x)(M一〃％)=(4-M)4(x)

2%+為方程解=4+〃=1,Z)11-〃丫2為其次方程解=2-〃=0，解等2=〃=；，

選A

(3)設(shè)函數(shù)/(x),g(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且g'(x)小于零，g(x0)=。是g(x)的極值，則

〃g(x))在X。的極大值的一個(gè)充分條件是()

(A)/'(a)<0(B)f'(a)>0

(C)/7a)<0(D)/"(a)>0

根據(jù)已知得g'(Xo)=()，g"(Xo)<O。因此[〃g(x))]=/'(g(Xo))g'(Xo)=。故要想

X=Xo

X。為f(g(x))的極大值點(diǎn)，只需[/(g(x))T<0即可。即

X=XQ

[〃g(x))]=f"(g(%))[g'(嘲2+〃g(Xo))g"(Xo)=廣(a)g"(Xo)<O?因此只需

X=XQ

f'(a)>0<,選B

⑷設(shè)了㈤口摩工送⑴二/⑴二』,則當(dāng)x充分大時(shí)有()

(A)g(x)</?(%)</(x)(B)〃(x)<g(x)<f(x)

(C)/(x)<g(x)<%(x)(D)g(x)</(x)<6(x)

詳解駟得已吧需=擊=。

10

18必g(x)IBC0g(x))'—8'-V?E'y/x

因此/(x)<g(x)<h(x),選C

(5)設(shè)向量組i：%,4,…%，可由向量組n：4,夕2,…月，線性表示，下列命題的是

(A)若向量組I線性無(wú)關(guān)，則r4s(B)若向量組I線性相關(guān)，則r>s

(C)若向量組H線性無(wú)關(guān)，則,Ws(D)若向量組H線性相關(guān)，貝ijr>s

詳解:先A,如果r>s則向量組I-定線性相關(guān)。選項(xiàng)B、D反例：向量組I為(1,0)、

(2,0),向量組n也為(1,0)、(2,0)。選項(xiàng)c反例向量組I為(1,0)、(2,0),向量組n(1,0)

(6)設(shè)A為4階實(shí)對(duì)稱矩陣，且4+4=(),若A的秩為3,則4相似于

p、'1'

1⑻;

(A)]

、。,

'1、'-1、

-1—1

?.1⑻-1

、0,、0>

根據(jù)已知，方陣A的特征值應(yīng)滿足尤+4=0,即2=0或-1。又r(A)=3。因此A的

-1

特征值為0(一重)和-1(三重)。故A相似于?，選D

—1

、0,

0x<0

⑺設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)尸(x)=-0<x<l,則尸卜=1}=

l-e-xx>l

(A)0(B)i

2

(C)l-^1(D)l-eT

2

詳解:P(X=1)=/(1)_尸(1_0)=]_?-'_，=1_eT,選C

22

(8)設(shè)f(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度，人。)為[-1,3]上的均勻分布的概率密度，若

/5)」助⑶，(”>0/>0)為概率密度，則”，b應(yīng)滿足：

[忱(X),X>0

(A)2a+3b=4(B)3a+2/?=4

(C)a+b=l(D)a+b=2

根據(jù)密度函數(shù)的性質(zhì)，I=「f(x)dx=^'afl(x)dx+「好*)小'+與，因此

2a+3b=4,選A

二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.

(9)設(shè)可導(dǎo)函數(shù)y=y(x)由方程公=￡xsin，力確定，則蟲=.

詳解：「"dr=卜sin/力兩邊對(duì)工求導(dǎo)得*+4(1+了)=￡sinr2Jr+xsinx2

代入X=0得(1+九=0)=0n1+巾,=0=>y'LR=-1

(10)設(shè)位于曲線y=/l^=(e4x<+a>)下方,x軸上方的無(wú)界區(qū)域?yàn)镚,則G繞x

y]x(\+\n2x)

軸旋轉(zhuǎn)一周所得空間區(qū)域的體積是.

詳解:體積丫=[7iy~dx-[----J—dx,(做變量替換x=e')

Je&x(l+ln'x)

=r---71,e'dt=T---71,e'dt=zrarctanr1=—

$/(l+r2)$￡(1+/)4

(11)設(shè)某商品的收益函數(shù)為R(P)，收益彈性為1+/，其中p為價(jià)格，且R⑴=1,則

R(p)=-

由已知條件變?￡=1+尸3,即汕=112=1+產(chǎn)(分離變量)

dPRRPP

兩邊同時(shí)積分有InR=In尸+二+C],即n￡=￡-+G

3'R3'

R2二1

所以有-=Ce3,R=CPe3,再有條件R⑴=1,代入，得C=e、

P

PT

所以R(P)=PJh

(12)若曲線y=V+af+bx+l有拐點(diǎn)(-1,0),則上.

根據(jù)條件得yl…=0,/1,_,=0o其中y-=6x+2a.于是得到方程【一十""1二°,

[-6+2。=0

解得a=b=3

(13)設(shè)A,B為3階矩陣，且IAI=3,181=2,14々+31=2,則14+3-”=.

詳解:注意到A+B1=A(A+A-1+B)B\因此I4+8”=lAII4一+8II8”=3?2?工=3

2

(14)設(shè)士心…/〃為來(lái)自整體'(〃，"乂?！?。)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，統(tǒng)計(jì)差丁」卻；2則

nz=i

ET=.

詳解:2"=。^+(破.)2=02+42,因此

ET=E-1t'?EX；=I-?tEX；1+X/)=〃+

n,=i?<=in

三、解答題：15-23小題，共94分，請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的上解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、

證明過(guò)程或演算步驟.

(15)(本題滿分10分)

1_1_

求極限lim(xr-l),nr

Xf8

詳解:limx；=lim^^Z/Plim—=0

x—?oox—>oo1x—>oo*

lim(x-l)=-1

XT8

lim---=0

XT81nx

2J_

lim(xx-x),nx=(-1)°=1

Xfoo

(16)(本題滿分10分)

計(jì)算二重積分。(x+y)%xdy，其中D由曲線x=JfT了與直線x+應(yīng)y=0及

D

x-ay=0圍成

詳解:畫圖有該區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，令區(qū)域D在第一象限的區(qū)域?yàn)镈,

JJ(x+yfdxdy=|J(x3+3x2y+3xy2+y3),

DD.國(guó)

I4o

=JJ(x3+3xy2)dxdy=2JJ(x3+3xy2)dxdy則有=2j(—+—x2y2)dy

DD{042小

i77+i

=Jj(x3+3xy2)dxdy

o武

21I

3

9/寸y+14-

2(-3-4-=

n15

(17)(本題滿分10分)

求函數(shù)M=孫+2yz在約束條件x2+y2+?=10下的最大值和最小值

詳解:令w=/(x,y,z)=Ny+2yz，e(x,y,z)=/+y2+z2-1(

構(gòu)造輔助函數(shù)尸a,y,z,4)=/Uy,z)+2(x24-y2+z2-10),

求解下列方程組:磬為嚕=。

dFd(p

+2=0

dy.

竺—d(p

+4=0

dz

dF.、八

嬴=9("z)=o

解得力=正時(shí)點(diǎn)(_1,百,-2)和點(diǎn)(1,-石⑵

2

義=-好時(shí)點(diǎn)(1,火,2)和點(diǎn)(T,一石「2)

2

將得到的4個(gè)點(diǎn)代入“=f(x,y,z)=xy+zyz中可得：

u=/(-1,75,-2)=575,U=/(1,-石,2)=-5行

u="1,/,2)=5右,〃=f(-1,-45-2)=5A/5

可知函數(shù)在條件x2+/+z2=0下的最大值為5#),最小值為-5石

(18)(本題滿分10分)

(I)比較。lnd[ln(l+f)丁力與/皿依(”=1,2,…)的大小，說(shuō)明理由

詳解：(1)由題意可知積分區(qū)域相同，比較兩式的大小只需要比較被積函在區(qū)域內(nèi)的

大小即可

即比較IInM[ln(l+1]"和，IInfI的大小

在(0,1)區(qū)間上Inf<0所以上邊兩式變?yōu)?/p>

—[ln(l+rr/=(-ln"

人_阿1+在"_,ln(l+f)、“

'-(-lnf)f"~t"~t

當(dāng)時(shí)，上式/'>-1,所以積分面積jlnfl[ln(l+H"dr<

，，

(11)設(shè)吃=Mn=^|lnz|[ln(l+/)]Jr(〃=1,2,…)求極限!吧也

詳解：(2)因?yàn)?{t"\ntdt=一一—fln/Jr,,+l

J)〃+]比

=--—t"+lInr+-L[tn+'d\nt

n+10〃+1」

又因?yàn)閘imf"*'lnf=lim￡=0,所以limf/"IInrIJr=0

X->00X->00/"+lXT6Ji)

limf[ln(l+t]n\\nt\dt>limfOdf=0

XTOCJ)XT8JO

由夾逼定理可知0=limfr"lln/IJr>limf[ln(l+VUnrl力2limfo力=0

X—>00J()x—xoJ)X—>O>比

所以所求limf［ln(l+/)rlln/l^=O

XT8J)

(19)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)/㈤在［0,3］上連續(xù),在(0,3)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，且

2/(。)=1/口心="2)/(3)，

(I)證明:存在”(0,2)使/①)=/(0).(11)證明存在穴(0,3),使1r(4)=0解

1、利用中值定理

2、利用兩次羅爾定理可得

(20)體題滿分11分)

71H僅'

設(shè)A=02-10,/?=1

J1VL

已知線性方程組Ax-b存在兩個(gè)不同的解

(I)求4,〃

(H)求方程組Ar-b的通解.

解：寫出增廣矩陣

%11〃、

02-101

、02-10"

初等行變換

%11Q、

0A—11—ci—A,

、001—1+。一

由題意解得

Z=—1

a=-2

將4〃代入得通解為:

'0-14、

(21)(本題滿分11分)設(shè)A=-13a,正交矩陣。使得QrA。為對(duì)角矩陣，若。的

,4a

第1列為求

-2—1

2

詳解：-13-2=0

?6

1

4a

折

2—0

則將。=-1代入，又由I/IE-41=0得特征值:

a=-1

4=

4=-24

=

45

由4=-4求特征向?qū)?/p>

x2=k[-\01)

由4=5求特征向量為

X3=k(l-11)

所以Q矩陣為

1T

需&_6L

H

。

-fL

_&>W7

(22)(本題滿分11分)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,y)的概率密度為f(x,y)=4e-zj所產(chǎn)，

-oo<x<+oo,-oo<y<-H?,求常數(shù)A及條件概率密度力*(yIx)

詳解:/(x,y)=AexpA{-2x+A2+2xy-y-2}

條件概率密度公式f(yIx)=也M

f-X(x)

￡/(/)=「f(JI,y)dy=￡AexpA{-2xA2+2xy-yA2]dy=Ay[;re^{-^A2}

上式利用了公式￡^expA{-yA2}Jy=V^r

AexpA{-2xA2+2xy-y^2}_expA{-(x-y)A2}

f(y\x)=

A而A{52}

（23）（本題滿分11分）箱內(nèi)有6個(gè)球，其中紅，白，黑球的個(gè)數(shù)分別為1、2、3個(gè)，現(xiàn)

從箱中隨機(jī)的取出2個(gè)球，記X為取出的紅球個(gè)數(shù)，丫為取出的白球個(gè)數(shù)。

（I）求隨機(jī)變量（x,y）的概率分布；（H）求cov（x,y）

1、詳解：

隨機(jī)變量a,y）的概率分布：

8c12

E(r)=lx—I-2x—=

15153

22

E(xr)=—xi=—

1515

cov(X,y)=E(XY)-E(X)E(y)

222

———=——

15945

2009年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)三試題

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).

X—Y

（1）函數(shù)/（x）=-----的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：（）

sin7rx

（A）.1（6）.2（C）.3（。）.無(wú)窮多個(gè)

【答案】C

（2）當(dāng)xf0時(shí)，/。）=%-新內(nèi)與8（%）=/111（1—加:）是等價(jià)無(wú)窮小，則（）

（A）.a=l,b——（B）.a—\,b――

66

（C）.a=-1,b=——（Z））.Q=-1,h=—

66

【答案】A

（3）使不等式［'手力〉Inx成立的x的范圍是（）

（A）.（0,1）（5）.（1,1）（C嗚⑺（。）.（肛+8）

【答案】A

（4）設(shè)函數(shù)y=/（x）在區(qū)間［一1,3］上的圖形為:

則函數(shù)Rx）=的圖形為()

【答案】D

(5)設(shè)均為2階矩陣，4,8*分別為48的伴隨矩陣，若141=2,181=3則分塊矩

陣f°的伴隨矩陣為()

160J

381

07

3Al(0.0

3B*

【答案】B

'100、

(6)設(shè)A,P均為3階矩陣，/為P的轉(zhuǎn)置矩陣，且/AP=010若

、°。2,

P^(at,a2,aj),Q^(a}+a2,a2,a^,則。7。為()

‘210、’110、

(A).110(B).120

、°。2,、002,

'20O'q00、

(C).010(D).020

、。02,*02)

【答案】A

(7)設(shè)事件A與事件B互不相容，則()

(A).尸舊歷=0(fi).P(AB)=P(A)P(B)

(C).P(A)=1—P(B)(O).P(Nu萬(wàn))=1

【答案】(。)

(8)設(shè)隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立，且x服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(O,I),y的概率分布為

P{Y=O}=P{Y=1}=_,記匕(Z)為隨機(jī)變量z=xy的分布函數(shù)，則函數(shù)

[(Z)的間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

(A).0(B).1(C),2(O).3

【答案】B

二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.

e八—ce8sx

(9)lim

x->0

3

【答案】-e

2

(io)設(shè)z=(x+/T，則,=21n2+1

dx(1.0)

8，-(-1)']

(11)基級(jí)數(shù)的收斂半徑為

E2

〃=ln

【答案】-

e

(12)設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為。=Q(P),其對(duì)應(yīng)價(jià)格P的彈性務(wù)=0.2,則當(dāng)需求量為

10000件時(shí)，價(jià)格增加1元會(huì)使產(chǎn)品收益增加元

【答案】12000

’300、

(13)設(shè)a=(1,1,=(1,0,女尸，若矩陣相似于000,則女=

、000,

【答案】2

(14)設(shè)乂，X2,…X”是來(lái)自二項(xiàng)分布總體3(〃,p)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，又和S，分別為樣本

均值和樣本方差，記統(tǒng)計(jì)量T=X-S2,則ET=【答案】爐

三、解答題：15—23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字

說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

(15)(本題滿分9分)求二元函數(shù)/0,>)=/(2+力+)，1”的極值。

【解析】

，'(x，y)=2x(2+y2)=0

fy(x,y)=2x2y+lny+l=0

故x=0,y=一

e

2

f：=2(2+/),/；=2x+kf：y=4xy則

琮。,廣2(2+少

e匕

aL。

e

閱.尸

e

??/：>0Tfn(/；)2-ZX<0

二元函數(shù)存在極小值/(0,-)=--

ee

(16)(本題滿分10分)

Mx(x>0)

【解析】

人1+x1.—2tdt

令J----=/得4sx=—z----,dx=--------

Vx“一1?—1)

原式=，n(l+f)(產(chǎn)二產(chǎn)

=Jln(l+/(=)

ln(1+1)

dt

*-1

ln(l+。r,-1-1

t2-l_―J+------+------V)dt

4(/-1)4Q+D2(>+1

ln(l+f)1

--+c

t2-\4t-]\2(/+1)

1+x1

----+1

[八1+九、1]1

xln(l+J----)+—InX+C

1—-12(J—1+x+1)

xX

xln(l++x)+Vx)——ln(J(1+x)—,\/x)+C

(17)(本題滿分10分)

計(jì)算二重積分“(x—y)dxdy,其中。=[(x,y)|(x—l)2+(y—1)2W2,yNx].

D

【解析】由(x—1)2+(y-1)2W2得r<2(sin6+cos0)，

3

一乃，

.?JJ(x-y)dxdy=j4dd-2(sin0+cos0).

°(rcos-rsin0)rdr

DH

4

3'J)——

41a2(sin8+cos6)

=廣r-(cos6?-sin<9)-r30d6

4

3

~^n

-f-(cos0-sin0)?(sin6+cos0)?(sin0+cos0)'d0

J乃3

7

3

o

=f—(cos3-sin0)■(sin0+cos0^d3

J萬(wàn)3

7

3

oO|lno

--f(sind+cos。)3d(sin9+cos6)=-x—(sine+cos9)4|1=——

3J乃34?3

7

(18)(本題滿分11分)

①證明拉格朗日中值定理，若函數(shù)/(x)在［a,可上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，則

Lb),得證/⑸一/(a)=/'C)優(yōu)一a).

②證明：若函數(shù)/(x)在x=0處連續(xù)，在(0,。),(。〉0)內(nèi)可導(dǎo)，且lim/'(x)=A,

x->0*

則￡(0)存在，且f+(0)=A.

【解析】(I)作輔助函數(shù)(p(x)=/(x)-于(a)」(bKa)(x-a),易驗(yàn)證°(x)滿足：

b-a

0(a)=0S)；(p(x)在閉區(qū)間［a,可上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且

9(x)=f⑸一

b-a

根據(jù)羅爾定理，可得在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)使0(9=0,即

=0,，f(b)—f(a)=f'(+(b—a)

b-a

(II)任取x0e(0,6),則函數(shù)/(x)滿足；

在閉區(qū)間［0,%］上連續(xù)，開區(qū)間(0,%)內(nèi)可導(dǎo)，從而有拉格朗日中值定理可得：存在

最e(0，/)u(0@),使得/'(^,)="一一，……(*)

xo-u

又由于岬1f\x)=A,對(duì)上式(*式)兩邊取％―0+時(shí)的極限可得：

4(0)=lim"士)_"0)=lim)=lim八a)=A

故《(0)存在，且九(0)=4。

(19)(本題滿分10分)

設(shè)曲線y=/(x),其中y=/(x)是可導(dǎo)函數(shù)，且/(x)>0.已知曲線y=/(x)與直線

y=0,x=1及x=f(f>1)所圍成的曲邊梯形，繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的立體體積值是繞曲

邊梯形面積值的4t倍，求該曲線方程。

【解析】旋轉(zhuǎn)體的體積為丫=J卜九2工=4,(:公

曲邊梯形的面積為：s=J，/x,則由題可知

兩邊對(duì)t求導(dǎo)可得狐2=+%=九2-%=］；九向

繼續(xù)求導(dǎo)可得2/。)/'")——?)—/?)=/"),化簡(jiǎn)可得

I_12

=2/(z)=>—+—r=1,解之得，=c.y2+

ay2y3

_12

在式中令f=l,則/2(1)一/(l)=0,,代入，=C)>2+§y得

11

C=-，.=f=一+2y）。

33

所以該曲線方程為：2>+5—3x=0。

(20)(本題滿分11分)

'1-1-1、1、

設(shè)人=-1111

、0-4-27「27

①求滿足442=〃A2[=芻的所有向量會(huì)

②對(duì)①中的任意向量&2，&3證明。42，芻線性無(wú)關(guān)。

【解析】(I)解方程A42=4l

‘1-1-1-1、1-1-1-1、,1-1-1-1、

缶白）=-1111T00000211

、0—4—2—2,0211000

7、0

r(A)=2故有一個(gè)自由變量，令修=2,由Ax=0解得,x2=-1,%]=1

求特解，令斗=々=0,得七=1

1、0、

故42=占-1+0,其中匕為任意常數(shù)

2J

解方程A2芻=0

'220、

A2-2-20

、440>

220-12

-2-2010000

44020000

故有兩個(gè)自由變量，令》2=—1,由A、=0得芯=1,七=0

求特解4=0故&=%2-1+0，其中％2為任意常數(shù)

(II)證明:

-22占+10

=；*0故^42,專線性無(wú)關(guān).

（21）（本題滿分11分）

2

設(shè)二次型/（為，*2，*3）=a*：+&2+（a-l）x3+2玉七—2x2x3

①求二次型f的矩陣的所有特征值。

②若二次型/（%,々,苫3）的規(guī)范型為yj+yj,求。的值。

701、

【解析】（I）A=0a-1

J-1a—1.

A-a0-1

Z-a10A-a

\AE-A\^0A-a1=(A—a)

1A-a+\-11

-11A-a+1

—(A—a)[(4—Q)(4—tz+1)—1]—[0+(A—〃)]

=(A-a)[(A-a)(A-a-bl)-2]

—(4—a)[%~-2a4+4+Q~—ci—2]

19

-(/I-<7){[aA+—(1_2tz)9]*'--}

—(A-Cl)(A—Q+2)(4—Q—1)

.??4=。,4=a—2自=a+1

（ID若規(guī)范形為y；+￡,說(shuō)明有兩個(gè)特征值為正，一個(gè)為0。則

1）若4=。=0，則4=—2<o，4=1,不符題意

2）若4=0,即a=2,則4=2>0,4=3〉0,符合

3）若4=0,即。=-1,則4=—1<0,4=—3<0,不符題意

綜上所述，故a=2

（22）（本題滿分11分）

e*0<v<x

設(shè)二維隨機(jī)變量（X,y）的概率密度為/（x,y）=

■0其他

①求條件概率密度f(wàn)y]x（y\x）

②求條件概率F=<i|y<1]

【解析】

e~x0<y<x

（I）由七]》得其邊緣密度函數(shù)

xx

fx(x)=[e~dy=xe~x>0

故…）=猊H°<一

\_

0<y<x

即fy|x3X)=?X

0其它

P[Xb11

(IDP[x<11r<i]=-—

x

而P[X41,y41]=j]7(x,y)dxdy=[dx[]e-dy=fxe7dx=1-2e-'

xMI.“"

y<l

+00

加），）=「1公=-e-，,y>0

y

P[Y<1]=>[eydy=YT；=-e-1+1=1-e-1

l_2e-,e-2

??.P[X<l\Y<l]==—

i-e-']e-1

（23）（本題滿分11分）

袋中有一個(gè)紅球，兩個(gè)黑球，三個(gè)白球，現(xiàn)在放回的從袋中取兩次，每次取一個(gè)，求以X、

丫、Z分別表示兩次取球所取得的紅、黑與白球的個(gè)數(shù)。

①求p[x=1|Z=0].

②求二維隨機(jī)變量（x,y）的概率分布.

【解析】（I）在沒(méi)有取白球的情況下取了一次紅球，利用壓縮樣本空間則相當(dāng)于只有1

個(gè)紅球，2個(gè)黑球放回摸兩次，其中摸了一個(gè)紅球

；.p（x=i|z=o）=號(hào)U

（II）X,Y取值范圍為0,1,2,故

尸（乂=0,丫=0）=為斗=2,尸（乂=1,丫=0）=牛斗2

p（x=2,y=o）=-^」,p（x=o,y=i），Sq」

容14小=2八1)=0

p(x=i,y=1)

C6，C6V

C\C\1

p(x=o,y=2)

p(x=i,y=2)=O,P(X=2,y=2)=0

012

01/41/61/36

11/31/90

21/900

2008年考研數(shù)學(xué)(三)真題

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).

I"⑺力

(1)設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間［一1,1］上連續(xù)，則x=O是函數(shù)g(x)=4---------的()

x

(A)跳躍間斷點(diǎn).(8)可去間斷點(diǎn).

(C)無(wú)窮間斷點(diǎn).(。)振蕩間斷點(diǎn).

【答案】B

(2)曲線段方程為y=/(x),函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則定積分

(qf等于()

(A)曲邊梯形ABC。面積.(8)梯形ABC。面積.

(。)曲邊三角形ACO面積.(。)三角形ACO面積.

【答案】C

(3)已知/(羽〉)=6正守，貝ij

(A),'(0,0),{'(0,0)都存在(B)￡(0,0)不存在，〃(0,0)存在

(C)￡(0,0)不存在，(0,0)不存在(D)//(0,0),(0,0)都不存在

【答案】B

(4)設(shè)函數(shù)/連續(xù)，若f(u,v)=小〃廠+廠)公辦-，哪D為圖中陰影部分，貝4空=

+du

()

(A)vf(M2)(B)-/(M2)(C)vf(u)(D)-y(H)

uu

【答案】A

(5)設(shè)A為階非0矩陣E為階單位矩陣若不=0,則()

(A)E—A不可逆，E+A不可逆.(B)E—A不可逆，E+AuJ逆.

(C)E-A可逆，E+A可逆.(O)E—A可逆，E+A不可逆.

【答案】C

(\2、

(6)設(shè)4=則在實(shí)數(shù)域上域與A合同矩陣為()

21

【答案】D

(7)隨機(jī)變量X,Y獨(dú)立同分布且X分布函數(shù)為尸(x),則2=0^?{乂,丫}分布函數(shù)為

()

⑷尸(4⑻F(x)F(D

(C)1-[1-F(x)]2.(D)[1-F(x)][l-F(y)].

【答案】4

(8)隨機(jī)變量X~N(O,1),丫~%(1,4)且相關(guān)系數(shù)必[=1，貝|」()

(A)P{Y=-2X-1}=1.⑻尸{Y=2X-1}=1.

(C)P{y=-2X+l}=l.(D)P{Y=2X+l}=\.

【答案】D

二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.

X2+1,|x|<C

(9)設(shè)函數(shù)/(x)=<2||在(一8,+8)內(nèi)連續(xù)，則。=.

【答案】1

jYI尤32^2

(10)設(shè)+則[一/(xWx=______.

X1+x垃

【答案】-ln3

2

(11)設(shè)。={(x,y)卜之+?。?},則JJ，一＞心力=.

D

7T

【答案】-

4

(12)微分方程盯'+y=0滿足條件y(l)=1的解y=.

【答案】y=-

X

(13)設(shè)3階矩陣A的特征值為1,2,2,E為3階單位矩陣，則一目=.

【答案】3

(14)設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的泊松分布，則P{X=EX?}=.

【答案】-e-1

2

三、解答題：15—23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字

說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

(15)(本題滿分10分)

求極限lim171n理土.

a。XX

【詳解】

上.1.1,sinx1,fsinx八

方法一：lim—In----=lvim—In11+------1

XX1°X\X)

sinx-x「cosx-1「sinx1

=lim-------=lim----；—=-lim-----=——

x73xI。6x6

...「1,sinx、灼,、，、4.,[rxcosx-sinx「xcosx-sinx

方法二：hm—In——洛必達(dá)法則hm-----------=lim------------

x-ojix=3。2xsinxr-＞。2x

洛必達(dá)法則lim小二=-」

:1。6x26

(16)(本題滿分10分)

設(shè)z=z(x,y)是由方程x2+y2-z=*(x+y+z)所確定的函數(shù)，其中p具有2階

導(dǎo)數(shù)且夕'聲一1時(shí).

(1)求dz

(2)］己“(x,求”.

x-y(Oxdy)ox

【詳解】(I)2xdx+2ydy-dz="(x+y+z)?(dx+dy+dz)

=>("+l)dz=(_d+2x)dx+(_d+2y)dy

="一"+2x”x+(_"+2)M'(,/D

d+i')

?,,dz~(p+2xdz~(p+2y

(II)由上一問(wèn)可知——=一^----,——

dx(p+1dycp+1

(\1&&、11d+2x-9'+2八1-2y+2x2

所以u(píng)(x,y)----(-----------)=------(―----------_■-)=------------N----=—；—

x-ydx8yx-y(p+1(p+1x-y(p+1<p+1

所以

一2”(1+左)州Q+與％00,、,、

du_*QX_1+9_2夕(1+0+2x-0)_2(p(l+2x)

dx(d+1)2(e'+l『(e'+l,(d+l)3

(17)(本題滿分11分)

計(jì)算JJmax(xy,1)dxdy,其中。={(x,y)|0

D

【詳解】曲線村=1將區(qū)域分成兩

個(gè)區(qū)域2和。2+。3,為了便于計(jì)算繼續(xù)對(duì)

區(qū)域分割，最后為

JJmax(xy,l)dxdy

D

=\^xydxdy+^dxdy+^dxdy

D\。2。3

=pdx￡\dy+￡FIdy+￡xydy

22

=l+2\n2+--\n2

4

(18)(本題滿分10分)

設(shè)/(x)是周期為2的連續(xù)函數(shù)，

(1)證明對(duì)任意實(shí)數(shù)，，有「7(x)dx=]"(x)dx；

(2)證明G(x)=[：2/(f)—『2/(s)ds山是周期為2的周期函數(shù).

【詳解】

方法一：⑴由積分的性質(zhì)知對(duì)任意的實(shí)數(shù)f,

「/(x)dx=『/(x)dx+j"(x)dx+「/(x)dx

令x=2+“，則]-/(x)dx=^/(2+M)JH=[/(“)力，=一(

所以「"(x)dx=f/(x”x+f/(x)dx=1/(x)dx

(II)由⑴知，對(duì)任意的/■