專項(xiàng)素養(yǎng)綜合練(五)與三角形有關(guān)的四大模型類型一“8”字模型模型解讀類型“8”字模型模型特征

結(jié)論∠A+∠D=∠B+∠C1.如圖1,線段AB、CD相交于點(diǎn)O,連接AC、BD,我們把這樣

的圖形稱為“8字型”.(M8113003)(1)如圖1,求證:∠A+∠C=∠B+∠D;(2)如圖2,若∠1=130°,則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=

;(3)如圖3,AP、DP分別平分∠CAB和∠BDC,AP與CD交于點(diǎn)

M,DP與AB交于點(diǎn)N.若∠B=110°,∠C=120°,求∠P的度數(shù).260°解析(1)證明:∵∠A+∠C=180°-∠AOC,∠B+∠D=180°-∠BOD,∠AOC=∠BOD,∴∠A+∠C=∠B+∠D.(2)260°.詳解:如圖所示,∵∠DME=∠A+∠E,∠3=∠DME+∠D,∴∠A+∠E+∠D=∠3.∵∠2=∠3+∠F,∠1=130°,∴∠3+∠F=∠2=∠1=130°,∴∠A+∠E+∠D+∠F=130°.∵∠B+∠C=∠1=130°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260°.(3)由(1)可知,以點(diǎn)M為交點(diǎn)的“8字型”中,有∠P+∠CDP=

∠C+∠CAP,以點(diǎn)N為交點(diǎn)的“8字型”中,有∠P+∠BAP=∠

B+∠BDP,∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠

BDP,∵AP、DP分別平分∠CAB和∠BDC,∴∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP,∴2∠P=∠B+∠C.∵∠B=110°,∠C=120°,∴

∠P=

(∠B+∠C)=

×(110°+120°)=115°.類型二“燕尾”模型模型解讀類型“燕尾”模型模型特征

結(jié)論∠D=∠A+∠B+∠C2.(一題多解)一個(gè)零件的形狀如圖所示,按規(guī)定∠A應(yīng)等于90°,∠B,∠D應(yīng)分別是20°和30°.數(shù)學(xué)組長梁香同學(xué)量得∠BCD

=142°,就斷定這個(gè)零件不合格,你能說出其中的道理嗎?解析解法一:如圖,連接AC并延長,

∵∠1是△ADC的外角,∠2是△ABC的外角,∴∠1=∠D+∠

DAC,∠2=∠B+∠BAC,∴∠BCD=∠1+∠2=∠D+∠B+∠

BAC+∠DAC=∠D+∠B+∠BAD,∵∠BAD=90°,∠B=20°,∠D

=30°,∴∠BCD=90°+20°+30°=140°,∴梁香同學(xué)量得∠BCD=142°,就可以斷定這個(gè)零件不合格.解法二:如圖,延長DC交AB于點(diǎn)M,

∵∠A=90°,∠D=30°,∠CMB是△ADM的外角,∴∠CMB=∠A

+∠D=90°+30°=120°,又∵∠B=20°,∠BCD是△BCM的外角,∴∠BCD=∠B+∠CMB=20°+120°=140°,∴梁香同學(xué)量得∠BCD=142°,就可以斷定這個(gè)零件不合格.解法三:如圖,連接BD,

∵∠A=90°,∠ABC=20°,∠ADC=30°,∴∠CDB+∠CBD=180°-∠A-∠ADC-∠ABC=180°-90°-30°-20°=40°,∴∠BCD=180°-(∠CDB+∠CBD)=180°-40°=140°,∴梁香同學(xué)量得∠BCD=142°,就可以斷定這個(gè)零件不合格.模型解讀

因?yàn)椤把辔病蹦Ｐ秃脱嘧游舶偷男螤詈芟?所以叫“燕

尾”模型.在數(shù)學(xué)中,有時(shí)需要添加輔助線構(gòu)造三角形,利用

三角形外角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角度和,導(dǎo)出角之間的關(guān)系.類型三“星星”模型模型解讀類型“星星”模型模型特征

結(jié)論∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°3.(1)圖1是一個(gè)五角星,你能求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的

度數(shù)嗎?(2)如圖2,把圖1中的點(diǎn)A向下移動(dòng)到線段BE上時(shí),五個(gè)角的和

(即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E)有無變化?請說明理由.(3)如圖3,把圖2中的點(diǎn)C向上移動(dòng)到線段BD上時(shí),五個(gè)角的

和(即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E)有無變化?請說明理由.解析(1)如圖,連接CD.

在△ACD中,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,得∠A+∠2+∠3+∠

ACE+∠ADB=180°.∵∠1=∠B+∠E=∠2+∠3,∴∠A+∠B+

∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°.(2)無變化.理由:∵∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°,∠BAC=∠C+∠E,∠EAD=∠B+∠D,∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠CAD+∠

BAC+∠EAD=180°.(3)無變化.理由:∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°,∠ACB=∠CAD+∠D,

∠ECD=∠B+∠E,∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=∠ACB

+∠ACE+∠ECD=180°.類型四雙角平分線模型模型解讀類型雙角平分線模型模型特征

結(jié)論圖1:∠BDC=90°+

∠A;圖2:∠D=

∠A;圖3:∠BDC=90°-

∠A4.如圖1,BP、CP分別平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE,

BQ、CQ分別平分∠PBC、∠PCB,BM、CN分別是∠PBD、

∠PCE的平分線.(1)當(dāng)∠BAC=40°時(shí),∠BPC=

;(2)當(dāng)BM∥CN時(shí),求∠BAC的度數(shù);(3)如圖2,當(dāng)∠BAC=120°時(shí),BM,CN所在直線交于點(diǎn)O,直接寫

出∠BOC的度數(shù).70°解析(1)70°.詳解:∵∠DBC=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC,∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=180°+40°=220°.∵BP、CP分別平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE,∴∠CBP+∠BCP=

(∠DBC+∠BCE)=

×220°=110°,∴∠BPC=180°-110°=70°.(2)∵BM∥CN,∴∠MBC+∠NCB=180°.∵BM、CN分別是∠

PBD、∠PCE的平分線,BP、CP分別平分∠CBD、∠BCE,BQ,CQ分別平分∠CBP、∠BCP,∴

(∠DBC+∠BCE)=180°,即

(180°+∠BAC)=180°,∴∠BAC=60°.(3)∠BOC=45°.詳解:∵∠BAC=120°