專題06一元函數(shù)的導數(shù)及其應用（利用導函數(shù)研究單調(diào)性（含參）問題）（解答題）目錄TOC\o"1-2"\h\u一、導函數(shù)有效部分為一次型 1二、導函數(shù)有效部分為類一次型 2三、導函數(shù)有效部分為可因式分解的二次型 3角度1：最高項系數(shù)含參 3角度2：最高項系數(shù)不含參 4四、導函數(shù)有效部分為可因式分解的類二次型 5五、導函數(shù)有效部分為不可因式分解的二次型 6一、導函數(shù)有效部分為一次型1．（23-24高三下·江西鷹潭·階段練習）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；2．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；3．（2024·重慶·模擬預測）已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；4．（23-24高二下·河北邢臺·階段練習）已知為函數(shù)的導函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；二、導函數(shù)有效部分為類一次型1．（2023高二·全國·專題練習）已知函數(shù).討論的單調(diào)性.2．（22-23高二下·全國·課時練習）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.3．（2021·寧夏銀川·一模）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；4．（23-24高二下·湖南長沙·階段練習）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；5．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習）已知函數(shù)，（）．(1)討論的單調(diào)性；三、導函數(shù)有效部分為可因式分解的二次型角度1：最高項系數(shù)含參1．（23-24高二下·安徽合肥·階段練習）設函數(shù)．(1)當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；2．（23-24高二下·天津靜?！るA段練習）已知函數(shù)，.(1)若，求的最大值；(2)若函數(shù)，當時，討論的單調(diào)性.3．（23-24高二下·江蘇常州·階段練習）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；4．（23-24高二下·北京·階段練習）已知函數(shù)，.(1)當時，試判斷函數(shù)是否存在零點，并說明理由；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.四、導函數(shù)有效部分為可因式分解的類二次型1．（2024·陜西西安·二模）設函數(shù).(1)當時，討論的單調(diào)性；2．（2024高三·全國·專題練習）已知，討論函數(shù)的單調(diào)性.3．（2022·全國·模擬預測）已知函數(shù)，.(1)若（其中為的導函數(shù)），討論的單調(diào)性；4．（23-24高三下·云南昆明·階段練習）已知，其中為自然對數(shù)底數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；五、導函數(shù)有效部分為不可因式分解的二次型1．（2024·山東青島·一模）已知函數(shù)．(1)若，曲線在點處的切線斜率為1，求該切線的方程；(2)討論的單調(diào)性．2．（23-24高二下·安徽淮北·階段練習）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的極值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.3．（2024高三·全國·專題練習）已知，討論的單調(diào)性.4．（2024高三·全國·專題練習）設函數(shù)（），討論的單調(diào)性.專題06一元函數(shù)的導數(shù)及其應用（利用導函數(shù)研究單調(diào)性（含參）問題）（解答題）目錄TOC\o"1-2"\h\u一、導函數(shù)有效部分為一次型 1二、導函數(shù)有效部分為類一次型 3三、導函數(shù)有效部分為可因式分解的二次型 5角度1：最高項系數(shù)含參 5角度2：最高項系數(shù)不含參 8四、導函數(shù)有效部分為可因式分解的類二次型 12五、導函數(shù)有效部分為不可因式分解的二次型 15一、導函數(shù)有效部分為一次型1．（23-24高三下·江西鷹潭·階段練習）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【優(yōu)尖升-分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導函數(shù)，再分和兩種情況討論，分別得出函數(shù)的單調(diào)性；【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，又，當時，，則在上單調(diào)遞減當時，令，解得，當時，，則在上單調(diào)遞增當時，，則在上單調(diào)遞減綜上：當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；2．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)答案見詳解【優(yōu)尖升-分析】（1）求出導函數(shù)，分類討論的正負確定和的解，得單調(diào)性；【詳解】（1）由，，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，有，，，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.3．（2024·重慶·模擬預測）已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)題意，求導可得，然后分與討論，即可得到結(jié)果；【詳解】（1）依題意，，當時，，當時，由得，由得，即當時函數(shù)在是減函數(shù)；當時在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；4．（23-24高二下·河北邢臺·階段練習）已知為函數(shù)的導函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【優(yōu)尖升-分析】（1）對求導后，令，對求導，結(jié)合找到臨界點對分類討論即可求解；【詳解】（1），令，則，若，則，從而，所以即在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，若，則當時，，即單調(diào)遞減，當時，，即單調(diào)遞增，綜上所述，若，在定義域內(nèi)是增函數(shù)，若，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).二、導函數(shù)有效部分為類一次型1．（2023高二·全國·專題練習）已知函數(shù).討論的單調(diào)性.【答案】答案見解析【優(yōu)尖升-分析】求導，分和兩種情況，利用導數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性.【詳解】由題意可得：函數(shù)的定義域為，，（i）當時，恒成立，在上單調(diào)遞增；（ⅱ）當時，令，解得，故當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.2．（22-23高二下·全國·課時練習）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】答案見解析【優(yōu)尖升-分析】由題意可得，按和的取值分類討論的正負即可得到的單調(diào)性；【詳解】由題意，令，得，當時，若，則，所以，若，則，，所以；當時，若，則，所以，若，則，，所以；綜上，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.3．（2021·寧夏銀川·一模）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析．【優(yōu)尖升-分析】（1）求導后，對分類討論，根據(jù)導數(shù)的符號可得結(jié)果；【詳解】（1），當時，在R上單調(diào)遞減；當時，令，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述：當時，的增區(qū)間為；當時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.4．（23-24高二下·湖南長沙·階段練習）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析；【詳解】（1）函數(shù)，當時，則在上單調(diào)遞增；當時，令，得．當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增；綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．5．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習）已知函數(shù)，（）．(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析；【詳解】（1），分當時，恒成立，在上單調(diào)遞減．當時，令，得；令，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上所述：當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．三、導函數(shù)有效部分為可因式分解的二次型角度1：最高項系數(shù)含參1．（23-24高二下·安徽合肥·階段練習）設函數(shù)．(1)當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析；【優(yōu)尖升-分析】（1）求導，分類討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）由（1）可知函數(shù)的單調(diào)性，可求函數(shù)的最小值，從而得證.【詳解】（1）由題知，函數(shù)的定義域為，所以求導得，若，由得或，由得，所以函數(shù)在，和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，恒有，當且僅當時取等號，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，由得或，由得，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．2．（23-24高二下·天津靜海·階段練習）已知函數(shù)，.(1)若，求的最大值；(2)若函數(shù)，當時，討論的單調(diào)性.【答案】(1)(2)答案見解析【優(yōu)尖升-分析】（1）先求出的導函數(shù)，分析導函數(shù)正負從而得出函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)單調(diào)性可得出函數(shù)的最大值.（2）討論帶參函數(shù)的單調(diào)性，分類討論導數(shù)正負情況即可.【詳解】（1）當時，，，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以的最大值為；（2）由已知得，，.，當時，，所以當時，單調(diào)遞增；當時，，所以當與時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減；當時，，因而當與時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減.所以，當時，在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.3．（2024·河南鄭州·二模）已知函數(shù).(1)若是函數(shù)的極值點，求a的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)1(2)見解析【優(yōu)尖升-分析】（1）由是函數(shù)的極值點，，求解驗證即可；（2）利用導函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】（1）函數(shù)定義域為，，因為是函數(shù)的極值點，所以，解得或，因為，所以.此時，令得，令得，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點.所以.（2）.因為，所以，令得；令得；∴所以時，函數(shù)的增區(qū)間為,時函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.4．（23-24高二下·四川遂寧·階段練習）討論函數(shù)的單調(diào)性【答案】見解析.【優(yōu)尖升-分析】對求導后按照兩根的大小及函數(shù)定義域分類討論，由此即可得解.【詳解】，令得，當即時，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當，即時，當時，；當或時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當即時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當，即時，當時，；當或時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.角度2：最高項系數(shù)不含參1．（23-24高二下·四川成都·階段練習）已知函數(shù)．(1)當時，求的在上的最大值和最小值；(2)討論的單調(diào)性．【答案】(1)最大值為9，最小值為(2)答案見解析【優(yōu)尖升-分析】（1）求導可得，令即可得出單調(diào)區(qū)間，進而求出最大、小值；（2）求導可得，分類討論當、、時函數(shù)對應的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）當時，，則，令或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以在上的最大值為9，最小值為.（2），則，令，解得或，當即時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當即時，，在R上單調(diào)遞增；當即時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在R上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.2．（2024·河南·模擬預測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【優(yōu)尖升-分析】（1）求出導函數(shù)，然后根據(jù)和分類討論，解導函數(shù)不等式即可求得單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論知，令得，結(jié)合對數(shù)運算累加法即可證明.【詳解】（1）的定義域為.，①當時，在上單調(diào)遞增；②當時，時，在上是增函數(shù)．時，在上是減函數(shù)，時，是增函數(shù).3．（23-24高二下·江蘇常州·階段練習）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【答案】(1)答案見解析【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)題意，求得，分類討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】（1）由函數(shù)，可得，①若，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；②若時，可得，所以在上遞增，無遞減區(qū)間；③若，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；④若，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；所以，①當時，增區(qū)間為，減區(qū)間為；②當時，增區(qū)間為，無減區(qū)間；③當時，增區(qū)間為，減區(qū)間為；④當時，增區(qū)間為，減區(qū)間為.4．（23-24高二下·北京·階段練習）已知函數(shù)，.(1)當時，試判斷函數(shù)是否存在零點，并說明理由；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)不存在零點，理由見解析(2)答案見解析【優(yōu)尖升-分析】（1）利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可得到恒成立，即可判斷；（2）求出函數(shù)的導函數(shù)，再分、、、四種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】（1）當時，，則，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以恒成立，則不存在零點.（2）函數(shù)，，則，①當時可知當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當，即時，可知當時，當或時，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；③當，即時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；④當，即時，可知當時，當或時，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；綜上可得：當時的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當時的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，；當時的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.四、導函數(shù)有效部分為可因式分解的類二次型1．（2024·陜西西安·二模）設函數(shù).(1)當時，討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【優(yōu)尖升-分析】（1）借助導數(shù)對、及分類討論即可得；【詳解】（1）的定義域為，，①當時，，由，得，由，得，當時，的在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，②當時，，，當時，，的區(qū)間上單調(diào)遞減，③當時，由，得或，且.當變化時，的變化情況如下表：遞減遞增遞減綜上所述，當時，的在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當時，在區(qū)間上的單調(diào)遞減；當時，在區(qū)間上的單調(diào)遞增，在區(qū)間和上單調(diào)遞減區(qū)間；2．（2024高三·全國·專題練習）已知，討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】答案見解析【優(yōu)尖升-分析】求出函數(shù)的導數(shù)，對分類討論，由導數(shù)的正負求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】由題意知，函數(shù)的定義域為，且①當時，因為，所以，所以.所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.②當時，由，解得；由，解得或.所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.③當時，（當且僅當時，取等號）恒成立，所以在上單調(diào)遞增.④當時，由，解得；由，解得或.所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.綜上，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.3．（2022·全國·模擬預測）已知函數(shù)，.(1)若（其中為的導函數(shù)），討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【優(yōu)尖升-分析】（1）求出的導數(shù)，通過討論的范圍，求出的單調(diào)區(qū)間；【詳解】（1），則，當時，由得，得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當時，，∴在上單調(diào)遞增，當時，令，得或；令，得，∴在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，當時，令，得或；令，得，∴在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.4．（23-24高三下·云南昆明·階段練習）已知，其中為自然對數(shù)底數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【優(yōu)尖升-分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)得到，再分、、三種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，又，令，解得或．①當時，，則當或時，當時，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②當時，，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增；③當時，，則當或時，當時，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上可得：當時在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時在上單調(diào)遞增；當時在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．五、導函數(shù)有效部分為不可因式分解的二次型1．（2024·山東青島·一模）已知函數(shù)．(1)若，曲線在點處的切線斜率為1，求該切線的方程；(2)討論的單調(diào)性．【答案】(1)(2)答案見解析【優(yōu)尖升