13.2命題與證明第3課時(shí)三角形內(nèi)角和定理的證明準(zhǔn)備好了嗎？一起去探索吧！1.了解輔助線的概念，理解輔助線在解題過程中的用處.2.掌握“三角形內(nèi)角和定理”的證明及其簡單應(yīng)用.3.理解和掌握三角形內(nèi)角和定理的推論1和推論2.4.經(jīng)歷三角形內(nèi)角和定理的推理證明過程，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、合作交流的精神，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感悟邏輯推理的數(shù)學(xué)價(jià)值.回顧回顧一：回想一下證明的一般步驟是什么？①理解題意：分清命題的條件(已知)、結(jié)論(求證)；②根據(jù)前邊的分析，寫出已知、求證，并畫出圖；③分析因果關(guān)系，找出證明途徑；④有條理地寫出證明過程.回顧你能證明一下這個(gè)定理嗎？三角形的內(nèi)角和等于180°.回顧二：三角形的內(nèi)角和定理是什么？追問：我們當(dāng)時(shí)是怎樣驗(yàn)證的？測量法、拼剪法、折疊法.都不是證明請(qǐng)你試著證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”已知：△ABC，如圖.求證：∠A+∠B+∠C=180°.分析：你通過拼剪、折疊、測量的過程中受到什么啟發(fā)嗎？不管是折疊，還是拼剪，最終都是把三個(gè)角拼在一起得到180°.你現(xiàn)在知道怎么用證明的方法證明了嗎？B

A

C

探究請(qǐng)你試著證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”已知：△ABC，如圖.求證：∠A+∠B+∠C=180°.分析：你通過拼剪、折疊、測量的過程中受到什么啟發(fā)嗎？B

A

C

B

A

C

1

2

∠1=∠C

∠2=∠B

探究通過轉(zhuǎn)換，把三角形的3個(gè)角拼到一起，形成一個(gè)平角.請(qǐng)你試著證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”已知：△ABC，如圖.求證：∠A+∠B+∠C=180°.B

A

C

2

1

證明：如圖，過點(diǎn)A作直線l平行于BC，

則∠1=∠C，∠2=∠B，(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)l

且∠1+∠2+∠BAC=180°.∴∠B+∠C+∠BAC=180°.(等量代換)你還有其它的證明方法嗎？探究請(qǐng)你試著證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”已知：△ABC，如圖.求證：∠A+∠B+∠C=180°.B

A

C

2

1

證明：如圖，延長BC到D，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)、CD為一邊作∠2=∠B，

則CE∥BA.(同位角相等，兩直線平行)E

∴∠A=∠1.(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)∵B、C、D在同一條直線上，(所作)D

∴∠1+∠2+∠ACB=180°.∴∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°.為了證明的需要，在原來圖形上添畫的線叫做輔助線.探究(虛線)思考★問題一：在△ABC中，∠C=90°，求：∠A+∠B的度數(shù).

由此你能得到什么結(jié)論？直角三角形的兩個(gè)銳角的和是90°.解：在△ABC中，

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，易得∠A+∠B+∠C=180°，

又∠C=90°，

∴

∠A+∠B=180°–∠C=180°–90°=90°.直角三角形的兩銳角互余.像這樣，由基本事實(shí)、定理直接得出的真命題叫做推論.推論1：思考★問題二：在△ABC中，∠A+∠B=90°，求：∠C的度數(shù).

由此你能得到什么結(jié)論？解：在△ABC中，

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，易得∠A+∠B+∠C=180°，

又∠A+∠B=90°，

∴

∠C=180°–(∠A+∠B)=180°–90°=90°.推論2：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.在△ABC中，(1)∠C=90°，∠A=30°，則∠B=

；(2)∠A=50°，∠B=∠C，則∠B=

；(3)∠A–∠C=25°，∠B–∠A=10°，則∠B=

；(4)∠A+∠B=90°，則△ABC是

三角形.做一做60°65°75°直角例1如圖，在△ABC中，D在BC的延長線上，過D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.分析：要計(jì)算的是∠D的大小，只要知道它所在三角形中的其它兩個(gè)角的和即可.已知：①DE⊥AB，即∠DEB=∠FEA＝90°；②∠A＝30°；③∠FCD＝80°.例1如圖，在△ABC中，D在BC的延長線上，過D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°.在△AEF中，∵∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°–∠FEA–∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.在△CDF中，∵∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∴∠D＝180°–∠CFD–∠FCD＝40°.還可以在△BDE中求∠D的大小.試一試吧！例2如圖，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù)．分析：要計(jì)算的是∠ADB的大小，只要知道它所在三角形中的其它兩個(gè)角的和即可.已知：①∠BAC＝40°；②∠B＝75°；③由“AD是△ABC的角平分線”，易得∠CAD=∠BAD.例2如圖，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù)．解：∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC=40°，

在△ABD中，∠ADB=180°–∠B–∠BAD=180°–75°–20°=85°.【變式題】如圖，CD是∠ACB的平分線，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度數(shù)．

基本圖形由三角形的內(nèi)角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.由三角形的內(nèi)角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.3

1

24A

B

C

D

E

3

1

24A

B

C

D

3

2

1

4A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

1.補(bǔ)充完整下列證明，并填上推理的依據(jù)：已知：如圖，△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°.證明：過點(diǎn)A作DE∥BC，則∠DAB=

，()

∠EAC=

，()∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=

，(所作)∴

∠B+∠BAC+∠C=

+

+

()=180°.()∠B兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等∠C兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等180°∠DAB∠BAC∠EAC等量代換平角的定義2.補(bǔ)充完成下列證明：已知：如圖，△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°.證明：D是BC邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥AB，DF∥AC，分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn).

∵DE∥AB，(所作)A

B

C

D

E

F

3

1

2

∴∠B=∠3.(兩直線平行，同位角相等)∵