滬科版八年級(jí)上第14招分類討論思想在等腰三角形中的應(yīng)用類型01教你一招02典例剖析03分類訓(xùn)練目

錄CONTENTS分類討論思想是解題中經(jīng)常用到的一種思想，在等腰三

角形中，往往會(huì)遇到條件或結(jié)論不唯一的情況，此時(shí)就需要

分類討論.通過正確地分類討論，可以使復(fù)雜的問題得到清

晰、完整、嚴(yán)密的解答.其解題策略為先分類，再畫圖，后

計(jì)算.

等腰三角形

ABC

的底邊

BC

長(zhǎng)為5

cm，一腰上的中線

BD

把其分為周長(zhǎng)差為3

cm的兩部分，求腰長(zhǎng).

當(dāng)滿足條件的圖形不確定時(shí)，分類是解決問題的首

選方法，本例由于題目中沒有指明是“(

AB

＋

AD

＋

BD

)－

(

BC

＋

CD

＋

BD

)”為3

cm，還是“(

BC

＋

CD

＋

BD

)－(

AB

＋

AD

＋

BD

)”為3

cm，因此必須分兩種情況討論.解：∵

BD

為

AC

邊上的中線，∴

AD

＝

CD

.

(1)當(dāng)(

AB

＋

AD

＋

BD

)－(

BC

＋

CD

＋

BD

)＝3

cm時(shí)，

AB

－

BC

＝3

cm.∵

BC

＝5

cm，∴

AB

＝5＋3＝8(cm).(2)當(dāng)(

BC

＋

CD

＋

BD

)－(

AB

＋

AD

＋

BD

)＝3

cm時(shí)，

BC

－

AB

＝3

cm.∵

BC

＝5

cm，∴

AB

＝5－3＝2(cm).當(dāng)

AB

＝2

cm時(shí)，三邊長(zhǎng)分別為2

cm，2

cm，5

cm，∵2＋2＜5，不能構(gòu)成三角形，∴舍去.故腰長(zhǎng)為8

cm.

當(dāng)頂角和底角不確定時(shí)分類討論

A.45°B.75°C.45°或75°D.60°或75°12345678①如圖①，當(dāng)∠

BAC

是頂角時(shí)，易求出∠

B

＝45°；②如圖②，當(dāng)∠

BAC

是底角時(shí)，易求出∠

CAB

＝

75°.【點(diǎn)撥】根據(jù)題意畫出圖形，分兩種情況討論：【答案】C123456782.

[2024·亳州期末]如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，∠

A

＝

30°，在一腰所在直線上找一點(diǎn)

P

(點(diǎn)

P

與點(diǎn)

A

、點(diǎn)

B

、

點(diǎn)

C

均不重合)，使△

BCP

成為等腰三角形，則∠

BPC

＝

?.75°或52.5°或37.5°

12345678【點(diǎn)撥】∵

AB

＝

AC

，∠

A

＝30°，∴△

ABC

為等腰三

角形，∴∠

B

＝∠

C

＝(180°－30°)÷2＝75°.∵△

BCP

為等腰三角形，∴點(diǎn)

P

有以下三種情況，如圖.當(dāng)點(diǎn)

P

在線段

AB

上時(shí)，①當(dāng)

CB

＝

CP1時(shí)，∠

BP1

C

＝∠

B

＝75°；12345678②當(dāng)

BC

＝

BP2時(shí)，∠

BP2

C

＝(180°－75°)÷2＝

52.5°.

綜上，∠

BPC

的度數(shù)為75°或52.5°或37.5°.12345678

當(dāng)?shù)缀脱淮_定時(shí)分類討論3.

定義：一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的2倍，這樣的三

角形叫做“倍長(zhǎng)三角形”.若等腰三角形

ABC

是“倍長(zhǎng)三

角形”，底邊

BC

的長(zhǎng)為3，則腰

AB

的長(zhǎng)為

?.6

12345678若

AB

＝2

BC

＝6，則△

ABC

的三邊長(zhǎng)分別是6，6，

3，符合題意，∴

AB

的長(zhǎng)為6.若

BC

＝3＝2

AB

，則

AB

＝1.5.則△

ABC

的三邊長(zhǎng)分別是1.5，1.5，3，此時(shí)不能構(gòu)

成三角形，這種情況不存在.綜上，腰

AB

的長(zhǎng)為6.【點(diǎn)撥】∵等腰三角形

ABC

是“倍長(zhǎng)三角形”，∴

AB

＝2

BC

或

BC

＝2

AB

.

123456784.

(1)已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為10

cm，周長(zhǎng)為28

cm，求

其余兩邊的長(zhǎng)；【解】分兩種情況：①若底邊長(zhǎng)為10

cm，則腰長(zhǎng)為(28－10)÷2＝9(cm)，

能構(gòu)成三角形，此時(shí)，其余兩邊的長(zhǎng)為9

cm，9

cm；②若腰長(zhǎng)為10

cm，則底邊長(zhǎng)為28－10－10＝8(cm)，

能構(gòu)成三角形，此時(shí)，其余兩邊的長(zhǎng)為10

cm，8

cm.綜上所述，其余兩邊的長(zhǎng)為9

cm，9

cm或10

cm，8

cm.12345678(2)已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為8

cm，一邊長(zhǎng)為9

cm，求

它的周長(zhǎng)；【解】分兩種情況：①或若腰長(zhǎng)為8

cm，則底邊長(zhǎng)為9

cm，能構(gòu)成三角

形，所以它的周長(zhǎng)為8＋8＋9＝25

(cm)；②若腰長(zhǎng)為9

cm，則底邊長(zhǎng)為8

cm，能構(gòu)成三角形，所以它的周長(zhǎng)為9＋9＋8＝26

(cm).綜上所述，它的周長(zhǎng)為25

cm或26

cm.12345678(3)已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為6

cm，一邊長(zhǎng)為13

cm，求

它的周長(zhǎng).【解】它的周長(zhǎng)為32

cm.【點(diǎn)方法】已知等腰三角形一邊長(zhǎng)及周長(zhǎng)，求另兩邊長(zhǎng)或已

知兩邊長(zhǎng)求周長(zhǎng)時(shí)，需要對(duì)已知邊長(zhǎng)進(jìn)行分類討論.12345678

當(dāng)高的位置不確定時(shí)分類討論5.

一個(gè)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是50°，求這

個(gè)等腰三角形的底角的度數(shù).【解】如圖①，當(dāng)高

BD

在等腰三角形

ABC

內(nèi)部時(shí)，由題

意可知∠

ABD

＝50°，∠

ADB

＝90°，則∠

A

＝40°.∵

AB

＝

AC

，∴∠

ABC

＝∠

ACB

＝70°.12345678如圖②，當(dāng)高

BD

在等腰三角形

ABC

外部時(shí)，由題意可

知，∠

ABD

＝50°，∠

ADB

＝90°，則∠

DAB

＝40°，∴∠

BAC

＝140°.∵

AB

＝

AC

，∴∠

ABC

＝∠

ACB

＝20°.綜上，這個(gè)等腰三角形的底角的度數(shù)是70°或20°.12345678

當(dāng)腰的垂直平分線狀況不確定時(shí)分類討論6.

在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

AB

的垂直平分線交

AB

于點(diǎn)

D

，交直線

AC

于點(diǎn)

E

.

若∠

EBC

＝42°，求∠

BAC

的度數(shù).12345678

【解】分三種情況：12345678解得∠

BAC

＝32°.

12345678

當(dāng)腰上的中線狀況不確定時(shí)分類討論7.

在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，周長(zhǎng)為27

cm，且

AC

邊上的中

線

BD

把△

ABC

分成周長(zhǎng)差為3

cm的兩個(gè)三角形.求△

ABC

各邊的長(zhǎng).【解】設(shè)

AB

＝

AC

＝

x

cm，

BC

＝

y

cm.∵

AB

＋

AC

＋

BC

＝27

cm，∴2

x

＋

y

＝27.∵

BD

是

AC

邊上的中線，∴

AD

＝

CD

.

當(dāng)

C△

ABD

－

C△

CBD

＝3

cm時(shí)，

x

－

y

＝3，12345678

12345678

當(dāng)點(diǎn)的位置不確定時(shí)分類討論8.

已知

O

為等邊三角形

ABD

的邊

BD

的中點(diǎn)，

AB

＝4，

E

，

F

分別為射線

AB

，

DA

上的動(dòng)點(diǎn)，且∠

EOF

＝

120°.若

AF

＝1，求

BE

的長(zhǎng).12345678①當(dāng)點(diǎn)

F

在線段

DA

的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖①.∵△

ABD

為等邊三角形，∴∠

BAD

＝∠

ABD

＝∠

D

＝60°，

AB

＝

BD

＝

AD

＝4.∵

OM

∥

AB

，【解】作

OM

∥

AB

交

AD

于點(diǎn)

M

，分兩種情況討論：∴∠

DMO

＝∠

BAD

＝60°，∠

DOM

＝∠

DBA

＝60°.∴∠

DMO

＝∠

DOM

＝∠

D

＝60°.12345678∴△

DMO

為等邊三角形.∴

DM

＝

DO

＝

MO

.

∴

OB

＝

OM

＝

MA

＝2.∵∠

DOM

＝60°，∴∠

MOB

＝120°＝∠

EOF

.

∴∠

MOF

＝∠

BOE

.

∵∠

DMO