第2課時分段函數(shù)

U爭分奪秒一薊鐘.狠抓泰&零失注)

必備知識-基礎(chǔ)練

概念定理巧刻跖

1.分段函數(shù)是兩個或多個函數(shù).()

2.分段函數(shù)的定義域是其中一個部分的定義域.()

3.分段函數(shù)的值域是各個部分的值域的交集.()

.,x>0

4,若f(x)=<,f(a)+f(-1)=2,則a=1.()

、4-x,x<0

fl

2^-1(x>0)

5.函數(shù)f(x)=<，若f(a)=a,則a=1.()

l-入(x<0)

1.提示：X.分段函數(shù)由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).

2.提示：x.分段函數(shù)的定義域是各個部分的定義域的并集.

3.提示：x.分段函數(shù)的值域是各個部分的值域的并集.

4.提示：x.當(dāng)a>0時,f(a)=y[a,

所以Va+=21所以m=1/a=1.

當(dāng)a<0時，f(a)=,所以=2,

所以=1fa=-1.

所以a=1或2=-1.

5.提示：x.當(dāng)aK)時，有:a-1=a,解得a=-2(舍),

當(dāng)a<0時，有;二a,所以a=-1.

基礎(chǔ)分組正通關(guān)

?題組一分段函數(shù)的定義域、值域

1.已知函數(shù)Kx)二號，則其定義域為()

A

A.RB.(0,+co)

C.(-oo,0)D.(-co,0)U(0,+oo)

選D.要使f(x)有意義，需x#),故定義域為(-8,0)U(0,+8).

2x,x>0,

2.已知函數(shù)f(x)"且f(a)+f(l)=O,貝l」a等于()

x+1,x<0,

A.-3B.-1C.1D.3

選A.當(dāng)a>0時，f(a)+f(l)=2a+2=00a=-1,與a>0矛盾；

當(dāng)a<0時，f(a)+f(l)=a+1+2=0=a=-3,符合題意.

x,xe[0,1]

3.f(x)=<z的定義域為_________值域為________.

[2-x,xe(1,2]

函數(shù)定義域為[0,1]U(1r2]=[0,2].

當(dāng)x￡(l,2]時,f(x)G[0,1),故函數(shù)值域為[0,l)U[0,l]=[0,1].

答案：[0,2][0,1]

?題組二分段函數(shù)求值問題

3x-b,xvl,“5X

1.設(shè)函數(shù)f(x)=<若4f=4,則b=()

2x,X>1,36〃

731

Q?

A.1B.oCZ.7Di

選D.碉=

b

(3X6-)UH-

當(dāng)|-b<l,即b)|時，3xg-b)-b=4,解得b](舍去).

當(dāng)|-bNl,即b<|時，2x(|-b)=4,解得b=1.

^/x,0<x<1,

2.設(shè)f(x)=j若f(a)=f(a+1),則=()

2(x-1),x>l.

A.2B.4C.6D.8

選C.當(dāng)0<a<l時，a+l>l,f(a)=,,

f(a+l)=2(a+1-l)=2a1

因為f(a)=f(a+1),所以g=2a,

解得a=]或a=0(舍去).

所以0=，(4)~2x(4-1)=6.

當(dāng)吟1時，a+1>2,

所以f(a)=2(a-1),f(a+1)=2(a+1-1)=2a,

所以2(a-1)=2a,無解.

綜上詞=6.

x2+2x+2xV0

'"'若f(f(a))=2,則a=________

{-x2,X>0.

當(dāng)a>0時，f(a)=-a2<0,

f(f(a))=a4-2a?+2=2,得a=g(a=0與a=-血舍去)；

當(dāng)空0時,f(a)=a2+2a+2=(a+l)2+l>0,

f(f(a))=-(a2+2a+2)2=2,此方程無解.

綜上可知，a二嫄.

答案：也

4.國內(nèi)某快遞公司規(guī)定：重量在1000克以內(nèi)的包裹快遞郵資標(biāo)準(zhǔn)

如表：

運送距500<x1000<x1500<x

0<x<500???

離x(km)<1000<1500<2000

郵資y(元)5.006.007.008.00???

如果某人從北京快遞90()克的包裹到距北京130()km的某地，他應(yīng)

付的郵資是________.

郵資y與運送距離x的函數(shù)關(guān)系式為y=

〃5.00(0<x<500),

6.00(500<x<l000),

7.00(1000<x<l500),

、8.00(1500<x<2000),

因為1300^(1000,1500],

所以y=7.00.

答案：7.00元

?題組三分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用

1,x>0,

1.設(shè)R,XE義符號函數(shù)sgnx=<0,x=0,則函數(shù)f(x)=|x|sgn

「1,x<0,

X的圖象大致是()

-i

ABCD

x,x>0,

選C.因為|x|=<0,x=0,

「x,x<0,

所以f(x)=X的圖象為C中圖象所示.

2.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，則f(x)的解+析式為

當(dāng)-1Wx<0時，設(shè)f(x)=ax+b,

f-a+b=0a=1

由題意<，解得：<,

[b=1[b=l

故f(x)=x+l,x￡[-1,0)；

0<x<l時,設(shè)f(x)=ax,

則f(x)=-x,

x+1XW[-1,0)

故f(x)=Jz,

〔-x,xe[0,1]

x+1,xe[-1,0)

答案：f(x)=<

〔-x,x￡[0,1]

f1

/X#]

3.設(shè)定義域為R的函數(shù)f(x)二伙-II,若關(guān)于x的方程f(x)

[1；x=l

二13有3個不同的解，貝!Jb等于.

[―*—,X/1

函數(shù)f(X)=甘-"的圖象如圖所示：

1zx=1

由圖易得函數(shù)的值域為(0,+8),

由f(x)=b有3個不同的解，可知b=1.

答案：1

易錯易混6場盤

易錯點混淆“一個分兩段的函數(shù)”和“兩個函數(shù)”

x2-Xx<]

1.已知函數(shù)f(x)=x2-x,g(x)=<，記a=f(f(-2)),

x-x2,x>l

b=g(g(-2))/c=g(f(-2))，則()

A.a>b=cB.a>b>c

C.a>c>bD.b>a=c

選A.因為f(-2)=6,a=f(f(-2))=f(6)=30,

c=g(f(-2))=g(6)=-30,因為g(-2)=6,

所以b=g(g(-2))=-30,所以a>b=c.

f(x)-XffX)>x(

2.已知函數(shù)f(x)=x2-x,貝(Jg(x)=〈r的值

x-2-f(x)zf(x)<x

域為()

A.(0,+8)

B.[-2,-1]U(0,+oo)

C.(-8,-2]

D.(-8,-1]U(0,+8)

選B.由f(x)=xr即x?-2x=0,解得x=0,2,

所以當(dāng)x<0或x>2時,f(x)>x,g(x)=x2-2x>0,

當(dāng)0<x<2時,f(x)<x,g(x)=-x2+2x-2e[-2,-1],

所以g(x)的值域為[-2,-l]U(0,+8).

【易錯誤區(qū)】“一個分兩段的函數(shù)”和"兩個函數(shù)”的區(qū)別：一個分兩段

的函數(shù)實質(zhì)為一個函數(shù)，不是兩個函數(shù)，要注意區(qū)分.

仃晚間小練半小時,突破深變重難點！/

關(guān)鍵能力-綜合練

限時30分鐘分值50分戰(zhàn)報得分

一、選擇題(每小題5分，共25分)

x2+1(x<0)

1.已知函數(shù)y"，若f(a)=10,則a的值是()

2x(x>0)

A.3或-3B.-3或5

C.-3D.3或-3或5

選B.若a<0,則f(a)=a2+1=10,

所以a二-3(a-3舍去),

若a>0,則f(a)=2a=10,

所以a=5.

綜上可得，a=5或a=-3.

f1,x>0

2.已知f(x)=]則不等式x+(x+2)-f(x+2)<5的解集是

[-1,x<0

()

A.[-2,1]-2]

-31(3

C.-2,2D.1-8,2

選D.當(dāng)x+2>0時，即x2-2時，f(x+2)=1,由x+(x+2)-f(x+2)<5

可得x+x+2<5,

所以爛|,BP-2<x4，

當(dāng)x+2<0,即x<-2時，f(x+2)=-1,

由x+(x+2>f(x+2注5可得x-(x+2)攔，即?2攔，所以x<-2.

綜上，不等式的解集為]x^l；

3.在自然數(shù)集N上定義的函數(shù)f(n)=

n-3(n>l000),

1則f(90)的值是()

f(n+7)(n<1000),

A.997B.998C.999D.1000

選A.n<1000時，有f(n)=f(n+7),

所以f(90)=f(97)=f(104)=.?.

=f(l000)=1000-3=997.

x2(x>0)fx(x>0)

4.(多選)已知f(x)=],g(x)=)，則（)

x(x<0)[-x2(x<0)

A.f(g(-3))=-9B.g(f(-3))=9

C.f(f(-3))=-3D.g(g(-3))=-81

選ACDJ(g(-3))=f(-9)=-9,

g(f(-3))=g(-3)=-9,

f(f(-3))=f(-3)=-3,

g(g(-3))=g(-9)=-81.

5.（多選）已知具有性質(zhì)：（￡

-f（x）的函數(shù),我們稱為滿足“倒負(fù)”

變換的函數(shù)，下列函數(shù)中滿足倒負(fù)”變換的函數(shù)是（）

B.f(x)=x+g

A.f(x)=x--

x,0<x<l,

C.f(x)=S°，x=1，D,f(x)=^-^

I1+x

--,X>1.

IX'

選ACD對于A,f(x)=x-I,

A

=|-x=-f(x),滿足；

對于B,=:+x=f(x),不滿足；

rii

HL

對于c，C)=Ki=i,

L-X，,-x>1，,

fl,

3>1,

即G)=<O,x=l,

、-x,0<x<l,

故G)=-'⑸，滿足?

i-1

門、1xX-1

對于D,因為d-=—7=--=-f(x),所以滿足.

w1+工x+1

X

綜上可知，滿足倒負(fù)”變換的函數(shù)是ACD.

二、填空題（每小題5分，共15分）

2,x>0,

6.設(shè)函數(shù)f(x)=S若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,

x2+bx+c,x<0,

貝(Jf(x)的解+析式為f(x)=

因為f(-4)=f(0),f(-2)=-2,

(-4)2-4b+c=c,

b=4,

解得<

[c=2.

[2,x>0,

所以f(x)".

[x?+4x+2,x<0.

[2,x>0,

答案：L

x2+4x+2,x<0

7,函數(shù)f(x)的定義域為［-2,+8),它的圖象由線段AB和拋物線

的一部分組成，如圖，

則函數(shù)f(x)的解+析式為<1(-1))=.

設(shè)線段AB對應(yīng)的解+析式為y=kx+m,則由題圖可得m=3,-1

=-2k+m,所以m=3,k=2,

所以當(dāng)-2<x<0時,所)=2x+3,

設(shè)拋物線對應(yīng)的解+析式為y=ax2+bx+c,

則由圖可得C=2,-五=2,4a+2b+c=

-2,解得a=1zb=-4zc=2.

所以當(dāng)x>0時，f(x)=x2-4x+2,

所以函數(shù)f(x)的解+析式為f(x)二

2x+3,-2<x<0,

<

x2-4x+2,x>0,

所以?-l))=f(0=-1.

⑵+3,-2<x<0

答案：f(x)=1,-1

W-4x+2,x>0

8.定義新運算"★”：當(dāng)m>n時，m^n=m；當(dāng)m<n時，m^n=n2.

設(shè)函數(shù)f(x)=(2^x)x-(4^x),xE[l,41,則函數(shù)f(x)的值域為

由題意知，

2x-4,x￡[1,2],

f(x)=]

卜3-4,x￡(2,4],

當(dāng)x￡[l,2]時，f(x)W[-2,()]；

當(dāng)x￡(2,4]時，f(x)￡(4,60],

故當(dāng)xe[i,4]時,f(x)e[-2,0]U(4,60].

答案：[-2,0]U(4,60]

三、解答題

ri

i+-/X>1,

9.(10分)已知函數(shù)f(x)=<X?+1,-1<X<1,

、2x+3,x<-1.

⑴求f{f[f(-2)]}的值；

3

⑵若f(a)=]，求a.

⑴因為-2v-1,

所以f(-2)=2x(-2)+3=-1,

fff(-2)l=f(-1)=2,

13

所以-2)]}=f(2)=1+]=2.

13

(2)當(dāng)a>l時，f(a)=1+』=5，所以a=2>l；

d乙

當(dāng)-l<a<l時，f(a)=a?+1二|,

所以a=土￡[-1,1]；

3

當(dāng)av-1日寸，f(a)=2a+3=2,

3

所以a=-寧>7(舍去).

綜上,a=2或a=.

自我挑戰(zhàn)區(qū)

ax+b,x<0,

設(shè)函數(shù)f(x)"fif(-2)=3,f(-l)=f(l).

12X,x>0,

⑴求f(x)的解+析式；

(2)畫出f(x)的圖象.

7(-2)=3,

⑴由<

f(-1)=f(1)

f-2a+b=3,a=-1,

得<解得<

[-a+b=2,[b=l,

-x+1,x<0,

所以f(x)=

2X,x>0.

(2)作出f(x)的圖象如圖所示.

教師

專用【變式備選】

如圖，底角ZABE=45。的直角梯形ABCD,底邊BC長為4cm,腰

長AB為mcm，當(dāng)一條垂直于底邊BC的直線1從左至右移動(與

梯形ABCD有公共點)時,直線1把梯形分成兩部分，令BE=x,試

寫出陰影部分的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)大致圖象.

根據(jù)題意得，當(dāng)直線1從點B移動到點A時，OvxM,y=1x2；

當(dāng)直線1從點A移動到點D時,2<x<4/y=2X2X2+(x-2)-2,即y

=2x-2.

所以陰影部分的面積y與X的函數(shù)關(guān)系式為

fl

zx2,xe(0,2],

y=y函數(shù)圖象如圖所示.

2x-2,xe(2,4],

仃周末抽出一小時,階段復(fù)長再提升/

考點綜合?提升練5

限時60分鐘分值100分戰(zhàn)報得分

一、選擇題(每小題5分，共30分，在每小題給出的選項中，只有一

個正確選項)

1.下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是()

①f(x)=q-2x3與g(x)=xyj-2x；

②f(x)=x與g(x)二代；

③f(x)=x。與g(x)==；

A

④f(x)=X2-X+1與g(t)=t2-t+1.

A.①②B.①③C.③④D.①④

選C.①f(x)=4-2x3與g(x)=?2x的定義域是｛x|xS0｝；而①f(x)

=-2x3=--2x,故這兩個函數(shù)不是同一函數(shù)；

②f(x)=X與g(x)=的定義域都是R,g(x)=4?=|x|,這兩個函

數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系不相同，故這兩個函數(shù)不是同一函數(shù)；

③。的定義域是,而的定義域是，,故這

f(x)=x{x|xH0}g(x)=A.{x|x0}

兩個函數(shù)是同一函數(shù);

④f(x)=X?-X+1與g(t)=t2-t+1是同一函數(shù).

x+a,-l<x<0

2.已知函數(shù)f(x)=<2，若，”=也,則a)二

5-x,0<x<lI)2

()

633

A?-gB.0C.gD.-g

選B.因為,

123

以

所

--今-

25a-5

因此f(-a)=-|j=-|+|=0.

3.如圖，函數(shù)f(x)的圖象是曲線OAB,其中點O,A,B的坐標(biāo)分

-1-

別為(0,0),(1,2),(3,1),則f755"的值為()

A.1B.2C.3D.4

選B.由題意可得f(3)=L所以備=1,

所以｛志]=f(D=2.

[x-2(x>10)

4,設(shè)f(x)=J，則f(5)=()

lf[f(x+6)](x<10)

A.10B.11C.12D.13

[x-2(x>10)

選B.因為f(X)=Ir/\-i/\/

+6)J(x<10)

所以f(5)=f[f(ll)]=f(9)=f[f(15)]=f(13)=ll.

[x2+1(x<l)

5.已知f(x)=]，則f[f(2)]=()

I-2x+3(x>l)

A.5B.-1C.-7D.2

x2+l(x<l)

選D.因為f(x)",

-2x+3(x>l)

所以f(2)=-2x2+3=-1,

所以=1)=(-1產(chǎn)+1=2.

6.函數(shù)f(x)=/x+1+J—的定義域為()

Y2-x

A.(-1,2)U(2,+oo)B.[-1,2)U(2,+oo)

C.(1/2)U(2,+oo)D.[1,2)U(2,+oo)

選B.由題意，函數(shù)f(x)=1￡Ti+一]一有意義，

v2-x

x+l>0

則滿足〈，解得瘧-1且x中2,

2-x卻

即函數(shù)f(x)的定義域為［-1,2)U(2,+8).

二、選擇題(每小題5分，共10分，在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的

得3分)

7.如果二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且過點(0,0),則此二

次函數(shù)的解+析式可以是()

A.f(x)=x2-1B.f(x)=-(x-1)2+1

C.f(x)=(x-1)2+1D.f(x)=(x-I)2-1

2

選BD.由題意設(shè)f(x)=a(x-l)+b;由于點(0,0)在圖象上，所以a

+b=0,a=-b,故符合條件的是BD.

8.中國清朝數(shù)學(xué)家李善蘭在1859年翻譯的《代數(shù)學(xué)》中首次將

“functio屋譯做怪?jǐn)?shù)、沿用至今，為什么這么翻譯，書中解釋說“凡

此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”.1930年美國人給出了我們課

本中所學(xué)的集合論的函數(shù)定義，已知集合M={-1,1,2,4},N二

{1,2,4,16},給出下列四個對應(yīng)關(guān)系，請由函數(shù)定義判斷，其中

能構(gòu)成從M到N的函數(shù)的是()

A.y=2xB.y=x+2

C.y=2|x|D.y=x2

選CD.在A中，當(dāng)x=4時，y=8枷，故A錯誤;

在B中，當(dāng)x=l時，y=3EN,故B錯誤；

在C中，任取x￡M，總有y=2|』eN,故C正確;

在D中，任取x@M，總有y=X2^N,故D正確.

三、填空題(每小題5分，共20分)

9.若2f(x)+f(-x)=3x,則函數(shù)的解+析式為f(x)=.

由2f(x)+f(-x)=3x可得2f(-x)+f(x)=-3x,兩式解方程組可得

f(x)=3x.

答案：3x

x,X￡(_A,t),

10.設(shè)f(x)=<「、若f(3)=27,則t的取值范圍為

3

X,x￡|_tf+ooj.

當(dāng)乜3時，f(3)=33=27,滿足題意；

當(dāng)t>3時，f(3)=3,不滿足題意；故t的取值范圍為(-8,3].

答案：(-8,3]

11.若函數(shù)y=f(x)的定義域是[-1,1],則y=f(x+1)的定義域是

由-iWx+lWl得-23x4),

所以y=f(x+1)的定義域是[-2,0].

答案：[-2,0]

12.已知函數(shù)f(x)=-x,g(x)=x2-2,設(shè)函數(shù)y=M(x),當(dāng)f(x)>g(x)

時，M(x)=f(x)；當(dāng)g(x)>f(x)時，M(x)=g(x),則M(x)=

函數(shù)y=M(x)的最小值是________________.

解不等式f(x)>g(x),即-x>x2-2,解得-2<x<l,

即-2<x<l時,M(x)=-x,解不等式f(x)<g(x),即-x<x2-2,解得

xW-2或瘧1,即爛-2或x21時,M(x)=x2-2,

X2-2,X￡(-8,-2]U[1,+8)

即M(x)=Jz、

、-x,x1-2,1)

當(dāng)xg-2或xNl時，M(x)mill=M(l)=-1,

當(dāng)-2VXV1時，M(X)min>M(l)=-1,

即函數(shù)y=M(x)的最小值是-1.

2

x-2,xW(-8,-2jU[l+8)

答案:

-X,x4-2,1)

四、解答題(每小題io分，共40分)

13.函數(shù)f(x)=區(qū)的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如，[-3.5]

=-4,[2.1]=2.當(dāng)xe(-2.5,3]時,寫出函數(shù)f(x)的解+析式,并畫

出函數(shù)的圖象.

-3)-2.5<x<-2

-2,-2<x<-1

-1,-l<x<0

f(x)=50,0<x<l

1,l<x<2

2,2<x<3

、3,x=3

函數(shù)圖象如圖所示：

3

2

1

-3-2-\O123x

-1-1

0-0

4-x2,x>0

14.已知函數(shù)f(x)=<2,x=0