永州市2024年上期高一期末質(zhì)量監(jiān)測試卷數(shù)學(xué)注意事項：1.本試卷共150分，考試時量120分鐘.2.全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效.3.考試結(jié)束后，只交答題卡.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，故選：D2.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A=“第一枚硬幣正面朝上”，事件B=“第二枚硬幣反面朝上”，則A與B的關(guān)系為（）A互斥 B.相互對立 C.相互獨立 D.相等【答案】C【解析】【分析】列舉全部可能出現(xiàn)的結(jié)果，即可根據(jù)對立事件以及互斥事件以及相互獨立事件的定義求解.【詳解】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，按順序共出現(xiàn)（正正）（正反）（反正）（反反）這4種情況，事件A包括（正正）（正反），事件B包括（正反）（反反），故不相等，故D錯誤，由于事件A與事件B能同時發(fā)生，所以不為互斥事件，也不為對立事件，故AB錯誤；因為事件A是否發(fā)生與事件B無關(guān)，事件B是否發(fā)生也與事件A無關(guān)，故事件A和事件B相互獨立，故C正確.故選：C.3.在杭州亞運會期間，共有1.8萬多名賽會志愿者參與服務(wù)，據(jù)統(tǒng)計某高校共有本科生4400人，碩士生400人，博士生200人參與志愿者服務(wù).現(xiàn)用分層抽樣的方法從該高校志愿者中抽取部分學(xué)生了解服務(wù)心得，其中博士生抽取了10人，則本科生抽取的人數(shù)為（）A.250 B.220 C.30 D.20【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的每層中抽取樣本比例相同，列式計算即可.【詳解】設(shè)本科生抽取的人數(shù)為人，由分層抽樣每層中抽取樣本比例相同，可得，解得.故選：.4.在中，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理、余弦定理可得答案.【詳解】若，則由正弦定理得，可設(shè)，由余弦定理得.故選：A.5.已知，，與的夾角為，則在上的投影向量是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)投影向量公式計算即可.【詳解】在上的投影向量為.故選：D.6.若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為4，則下列說法錯誤的是（）A.數(shù)據(jù)的平均數(shù)為13B.數(shù)據(jù)的方差為12C.D.【答案】B【解析】【分析】利用平均數(shù)、方差的定義，逐項計算判斷作答.【詳解】依題意，，，對于A，，A正確；對于B，依題意，，所以數(shù)據(jù)的方差為：，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，由，解得，D正確.故選：B7.已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點.已知平面內(nèi)點，點，把點繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到點，則點的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，計算出，再根據(jù)向量的坐標(biāo)運算法則計算出點P的坐標(biāo).【詳解】因為,所以，將向量順時針方向旋轉(zhuǎn)，即逆時針旋轉(zhuǎn)，得到化簡得，所以P點坐標(biāo)為；故選：C.8.已知正方體的棱長為2，P為底面ABCD內(nèi)一動點，直線與平面ABCD所成角為，為正方形的中心，點為線段上一動點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】需要先找到點位置，再將立體問題平面化，根據(jù)三點共線距離最短求解.詳解】因為直線與平面ABCD所成角為，又因為面所以為直線與平面所形成的角，即，又，所以，所以點的軌跡為以為圓心，半徑的圓落在四邊形內(nèi)的部分，即四分之一圓弧.分析可知，點為和圓弧的交點時，最小.此時可將面沿著翻折到面所在平面.根據(jù)長度關(guān)系，翻折后的圖形如圖所示，其中分別為正方體上下底面的中心，當(dāng)三點共線時，最小.因為，所以最小值為故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，，則下列說法正確的是（）A. B.存在實數(shù)，使得為實數(shù)C.若為純虛數(shù)，則 D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長計算判斷A選項，應(yīng)用實數(shù)和純虛數(shù)定義判斷B,C選項，根據(jù)模長及乘方運算判斷D選項.【詳解】因為所以，A正確；因為,無實數(shù)解，B選項錯誤；因為純虛數(shù)，則，即，C選項正確；當(dāng)時，，則，D選項錯誤.故選：AC.10.如圖，連接正方體各個面的中心得到一個每個面都是正三角形的八面體，如果四邊形是邊長為2的正方形，則（）A.異面直線與所成角的大小為B.二面角的平面角的余弦值為C.平面平面D.此八面體的外接球表面積為【答案】ACD【解析】【分析】通過可判斷A項正確，作出二面角的平面角根據(jù)余弦定理求解，可知B項錯誤，使用面面垂直的判定定理即可得到C正確；證明為外接球球心，即可判斷D.【詳解】由題可知四點共面，又，所以四邊形為菱形，所以，故異面直線與所成角即為異面直線與所成角,又每個面都是正三角形，故異面直線與所成角的大小為，故A項正確；對于B項，連接，為BE中點,又每個面都是正三角形，所以，所以為二面角的平面角，所以，由余弦定理得，所以二面角的平面角的余弦值為，故B項錯誤；由于三點共線，在直線上，故四點共面.又由于兩兩垂直，且在平面內(nèi)交于點，故平面.而在平面內(nèi)，故平面平面，C正確；由于該八面體的每個面都是邊長為的正三角形，故,所以點為幾何體外接球的球心，且外接球的半徑為，從而外接球的表面積為，D正確.故答案為：ACD.11.已知點在所在的平面內(nèi)，則下列命題正確的是（）A.若為的垂心，且，則B.若，則的面積與的面積之比為C.若，則動點的軌跡經(jīng)過的外心D.若E，F(xiàn)，G分別為，，的中點，且，，則的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】A將轉(zhuǎn)化為，然后求數(shù)量積；B將拆成，然后根據(jù)線性運算得到，然后求面積比即可；C由題意得，然后根據(jù)得到，即可得到動點的軌跡經(jīng)過的外心；D根據(jù)得到點的軌跡，將轉(zhuǎn)化為，然后求數(shù)量積，根據(jù)點的軌跡求最值.【詳解】A選項，，故A正確；B選項，設(shè)中點為，中點為，，即，所以點為中位線靠近點的三等分點，所以，故B錯；C選項，設(shè)中點為，則，結(jié)合題設(shè)所以，所以，又的中點為，所以在的中垂線上，所以動點的軌跡經(jīng)過的外心，故C正確；D選項，設(shè)中點為，因為，所以點的軌跡為以為直徑的圓，結(jié)合上圖，,當(dāng)為直徑時最大，最大為，故D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：數(shù)量積的計算方法（1）定義法；（2）坐標(biāo)法；（3）轉(zhuǎn)化法；（4）幾何意義法.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知事件與事件發(fā)生的概率分別為，，且，則______.【答案】0.7##【解析】【分析】根據(jù)概率的加法公式代入求解即可.【詳解】因為事件與事件發(fā)生的概率分別為，，且，所以.故答案為：0.7.13.已知某圓臺的上底面和下底面的面積之比為，軸截面面積為6，母線長為上底面半徑的倍，則該圓臺的體積為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件，利用軸截面面積求得圓臺得底面半徑和高，然后根據(jù)圓臺體積公式計算即可.【詳解】如圖所示，設(shè)圓臺的上下底面中心分別為,為其軸截面.由題意得，設(shè)，則，在軸截面中過點作⊥于點，則，故，由勾股定理，軸截面的面積為，解得，故圓臺上底面半徑，下底面半徑，高，故該圓臺的體積為.故答案為：14.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的最大值是______.【答案】##【解析】【分析】由明確邊上的高等于邊的一半，做出邊上的高，設(shè)，用表示出，再結(jié)合換元法和基本不等式，求的最大值.【詳解】如圖：過作于.因為，所以.設(shè)，則設(shè)，則若，則；若，則；當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)即時取“”）.所以故答案為：【點睛】方法點睛：求取值范圍得問題，常用的方法有：（1）結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值；（2）利用基本不等式，求最值；（3）利用三角函數(shù)的有界性求最值；（4）判斷函數(shù)的單調(diào)性，求最值.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某市高一年級36000名學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)競賽，為了解本次競賽情況，隨機抽取了500名學(xué)生的成績，并根據(jù)這500名學(xué)生成績，繪制頻率分布直方圖如圖所示.（1）求a的值，并估計該市高一年級的及格（60分以上）人數(shù)；（2）估計該市高一年級學(xué)生成績的分位數(shù).【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和等于即可求出，求出及格的頻率，再乘以即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖中百分位數(shù)的求法求解即可.【小問1詳解】由題意，，解得，高一年級的及格的頻率為，則估計該市高一年級的及格（60分以上）人數(shù)為人；小問2詳解】因為，，所以高一年級學(xué)生成績的分位數(shù)在區(qū)間上，設(shè)為，則，解得，所以估計該市高一年級學(xué)生成績的分位數(shù)為.16.已知向量，.（1）若，求的值；（2）若，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先分別求出，得坐標(biāo)，再根據(jù)向量垂直得坐標(biāo)表示即可得解；（2）根據(jù)向量的模的坐標(biāo)公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【小問1詳解】由，，得，因為，所以，即，解得；【小問2詳解】，則，當(dāng)時，取得最小值.17.甲、乙兩人進行象棋比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且各局比賽的勝負互不影響.有兩種比賽方案供選擇，方案一：三局兩勝制（先勝2局者獲勝，比賽結(jié)束）；方案二：五局三勝制（先勝3局者獲勝，比賽結(jié)束）.（1）用拋擲骰子的方式?jīng)Q定比賽方案，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察兩枚骰子向上的點數(shù)，若兩枚骰子向上的點數(shù)之差的絕對值不大于1，則選擇方案一，否則選擇方案二.試判斷哪種方案被選擇的可能性更大，并說明理由；（2）若選擇方案一，求甲獲勝的概率.【答案】（1）方案二被選擇的可能性更大，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）列舉出向上的點數(shù)所有情況和點數(shù)之差的絕對值不大于1的情況，求出概率，得到結(jié)論；（2）分三種情況，求出相應(yīng)概率相加即可.【小問1詳解】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)向上的點數(shù)為，則共有36種情況，如下：，，，其中兩枚骰子向上的點數(shù)之差的絕對值不大于1的情況有：，共16種情況，故選擇方案一的概率為，則選擇方案二的概率為，因為，所以方案二被選擇的可能性更大；【小問2詳解】若甲在前兩局獲勝，概率為，若第一局，第三局獲勝，概率為，若第二局，第三局獲勝，概率為，三種情況互斥，故選擇方案一，甲獲勝的概率為.18.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，且，，，點E，F(xiàn)分別為棱，的中點.（1）若平面平面，①求證：；②求三棱錐的體積；（2）若，請作出四棱錐過點，，三點的截面，并求出截面的周長.【答案】（1）①證明見解析.②（2）【解析】【分析】（1）①利用面面垂直的性質(zhì)定理證明結(jié)合面面垂直的定義求證即可.②利用兩條相互平行的直線其中一條垂直于一個平面，另外一個也垂直于這個平面計算這個三棱錐的高.（2）利用兩條平行線確定一個平面，將截面找到，利用解三角形的知識求解各個邊的邊長，從而求出截面圖形的周長.【小問1詳解】①因為平面平面平面平面又因為底面為直角梯形，其中所以又因為面所以面又因為面所以②由①知面取的中點設(shè)為連結(jié)則則面則點到面的距離為又因為在直角梯形中，，解得所以在等腰三角形中三棱錐的體積【小問2詳解】取線段的中點，連接，因為，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又分別為線段，所以，所以，則四邊形為四棱錐過點及棱中點的截面，則，，，在中，，，所以，則，所以截面周長為.19.當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，使得的點為的“費馬點”；當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時，最大內(nèi)角的頂點為的“費馬點”.已知在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，P是的“費馬點”.（1）若，，.①求；②設(shè)的周長為，求的值；（2）若，，求實數(shù)的最小值.【答案】（1）①；②（2）【解析】【分析】（1）①利用正弦定理將題目中的條件.轉(zhuǎn)換成僅含有角的值，再利用副助角公式求解出；②在中，由余弦定理得到的關(guān)系，再結(jié)合等面積法建立的另外一個等式關(guān)系，進而求解出所要求的等量關(guān)系.（2）先利用角的三角函數(shù)的關(guān)系，判斷出三角形是直角三角形，接