試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學(xué)年山西省高一下學(xué)期3月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知平面向量，且，則（）A．2 B．-2 C． D．【答案】C【分析】由題意利用兩個向量共線的性質(zhì)，求得的值．【詳解】解：向量，且．，則，故選：C．2．的內(nèi)角的對邊分別為，已知，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，由余弦定理即可求解.【詳解】解：因為，所以由余弦定理得，所以，故選：B.3．在中，內(nèi)角的對邊分別是，已知，則（）A．1或2 B．1或 C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)余弦定理，直接求邊.【詳解】由余弦定理知，，∴，化簡得，c2﹣3c+2＝0，解得c＝1或2．故選：A．4．在中，，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，利用數(shù)量積公式求得，從而求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，∵，即，即，得，故選：D.5．已知是平面內(nèi)兩個不共線的向量，，且三點共線，則（）A． B．2 C．4 D．【答案】D【分析】由，求出向量，根據(jù)平面向量共線定理，設(shè)，從而列出關(guān)于和的方程組即可求解．【詳解】解：，，，，，三點共線，設(shè)，即，，解得．故選：D．6．在平行四邊形中，已知，則點的坐標為（）A．(6，2) B．(，) C．(6，1) D．(，)【答案】B【分析】設(shè)，先求出、的坐標，再利用建立方程組即可求解．【詳解】解：設(shè)，則，，，，，，，解得，所以點的坐標為，故選：B．7．在平行四邊形中，，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的線性運算和平面向量基本定理，得到，，比較即可求解．【詳解】解：如圖，在平行四邊形中，，，，，，，，，．故選：A．8．在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】C【分析】運用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的余弦公式和余弦定理，以及勾股定理的逆定理，即可得解三角形的形狀．【詳解】解：在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，因為，可得，整理可得，由余弦定理可得，整理可得，則為直角，即有為直角三角形．故選：C．9．為捍衛(wèi)國家南海主權(quán)，我國海軍在南海海域進行例行巡邏，某天，一艘巡邏艦從海島A出發(fā)，沿南偏東75°的方向航行到達海島B，然后再從海島B出發(fā)，沿北偏東45°的方向航行了海里到達海島C.若巡邏艦從海島A以北偏東60°的航向出發(fā)沿直線到達海島C，則航行路程AC(單位：海里)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件分別得到，，，再結(jié)合正弦定理，即可求解．【詳解】解：由題意可得，，，在中，運用正弦定理得，．故選：D．10．圭表(圭是南北方向水平放置測定表影長度的刻板，表是與圭垂直的桿)是中國古代用來確定節(jié)令的儀器，如圖1，利用正午時太陽照在表上，表在圭上的影長來確定節(jié)令.已知某地夏至和冬至正午時，太陽光線與地面所成角分別約為，如圖2，若表高AB=2尺，則表影長之差CD(單位：尺)為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意在中，，利用正弦定理可得，在直角三角形中，可求，代入利用兩角差的正弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．【詳解】解：在中，，則，所以，因為，在直角三角形中，，即，所以．故選：A．11．如圖，在中，點是線段上一動點.若以為圓心?半徑為1的圓與線段交于兩點，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)為的中點，將用表示出來，然后利用向量運算法則，即可將問題轉(zhuǎn)化為的最小值，即到線段的距離的平方．【詳解】解：由題意，，且，，所以，，所以，易知，當時，最小，所以，即，解得，故的最小值為．故選：B．12．在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，則的面積是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，及正弦定理得，再利用余弦定理可解得或，分情況討論利用三角形面積公式即可求解．【詳解】解：在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，若，，利用正弦定理，整理得，由余弦定理得，即，解得或，①當時，，所以，所以，不滿足，故舍去，②當時，由，得，所以，故選：C．二、填空題13．已知平面向量且則___________.【答案】【分析】利用向量垂直的坐標表示即可求解．【詳解】解：，，，，，即，解得，故答案為：．14．在中，內(nèi)角所對的邊分別是若則___________.【答案】【分析】先利用正弦定理及和差角公式求出，即可求出A.【詳解】因為由正弦定理得：即，即，因為，所以，所以，因為，所以.故答案為：15．在中，內(nèi)角所對的邊分別是已知，則的面積為___________.【答案】【分析】由已知可得，由于，可得，進而根據(jù)余弦定理可得，的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：因為，所以，即，由于，故，即，因為，所以由余弦定理，可得，解得，可得，因為，所以，所以．故答案為：．16．已知平面向量，，滿足，，則的最大值是___________.【答案】20【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義式，結(jié)合兩向量與的夾角、模的變化求解．【詳解】解：設(shè)，，讓保持不動，易知：當都與反向時，，都最大，且最大值分別為5，4，且，此時也最大為1，所以（當且僅當都與反向時取等號）．故答案為：20．三、解答題17．已知平面向量滿足且（1）求；（2）當時，求向量與的夾角的值.【答案】（1）1；（2）．【分析】（1），即，又，即可求解，（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解．【詳解】解：（1），，又，．（2），．∵，∴.18．如圖，在直角梯形中（1）若求的值；（2）若，求與夾角的余弦值.【答案】（1）；（2）．【分析】（1）分別以的方向為軸，軸的正方向，點為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，，，，，結(jié)合平面向量的數(shù)量積的定義，即可求解，（2）運用向量模的公式，可求、的值，結(jié)合平面向量的數(shù)量積的公式，即可求解．【詳解】解：（1）分別以的方向為軸，軸的正方向，點為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，，，，，，，，，．（2）當時，，，，．19．的內(nèi)角的對邊分別為，已知（1）求；（2）若，且的面積等于求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先利用正弦定理及和差角公式求出，即可求出A.（2）由已知條件及面積公式求出，利用余弦定理求出，即可求出的值.【詳解】（1）因為，由正弦定理得：，因為，所以，所以，可得：，因為，所以，所以，可得：.（2）因為的面積為，所以.又，由余弦定理得：，配方得：整理化簡得：，所以.20．如圖，在中，，且，交于點（1）求；（2）.【答案】（1）1；（2）.【分析】以為坐標原點，為軸建立直角坐標系，求出已知點的坐標，設(shè)出的坐標，利用、、，和、、兩個三點共線聯(lián)立方程，求出的坐標即可求解．【詳解】解：由題意，如圖建立平面直角坐標系，由，，，且，，交于點，可得，，，即，，．設(shè)，由、、三點共線和、、兩個三點共線得，所以，解得，故．（1）；（2）．21．的內(nèi)角的對邊分別為，已知是銳角，（1）求；（2）若，延長線段至點，使得，且的面積為，求線段的長度.【答案】（1）；（2）2.【分析】（1）由正弦定理可得，進而可得，從而；（2）設(shè)，過點作延長線的垂線，垂足為，設(shè)，分別由和的面積為可得關(guān)于的方程，解方程組可得，進而可得.【詳解】（1）由及正弦定理可得，又，所以，又是銳角，所以，所以，即，從而.（2）設(shè)，依題意知，；過點作延長線的垂線，垂足為，設(shè)，依題意知，.在直角中，，，由勾股定理得：，即①由得：，即②由①②得，故.22．在中，且均為整數(shù)（1）求；（2）設(shè)的中點為，，求的長.【答案】（1）;（2）．【分析】（1）因為，可得，若，利用正切函數(shù)的性質(zhì)可得，可得，都大于，與矛盾，從而可得，得解．（2）由，利用兩角和的正切公式可得，由，均為整數(shù)，且