天津市部分學(xué)校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若直線的斜率，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.2．拋物線的準(zhǔn)線方程為，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C. D.3．在長(zhǎng)方體中，若，，則異而直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.4．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則△ABC（）A.一定是銳角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是鈍角三角形 D.是銳角或直角三角形5．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)與拋物線相交于兩點(diǎn)，且，則直線的斜率為（）A. B.C. D.6．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，則橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓中心的距離的取值范圍是（）A. B.C. D.7．拋物線的準(zhǔn)線方程是，則a的值為（）A.4 B.C. D.8．準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.9．過(guò)兩點(diǎn)、的直線的傾斜角為，則的值為（）A.或 B.C. D.10．在等比數(shù)列中，，，則等于（）A. B.5C. D.911．函數(shù)y＝x3＋x2－x＋1在區(qū)間[－2,1]上的最小值為()A. B.2C.－1 D.－412．設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)和，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，，為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若，則的取值范圍是______14．直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)C，若，則直線l的斜率為_(kāi)_____.15．點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_______.16．若斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）書(shū)籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日為世界讀書(shū)日.某研究機(jī)構(gòu)為了解當(dāng)?shù)啬贻p人的閱讀情況，通過(guò)隨機(jī)抽樣調(diào)查了100位年輕人，對(duì)這些人每天的閱讀時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示：（1）求的值；（2）為了進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，研究機(jī)構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時(shí)間位于，和的年輕人中抽取5人，再?gòu)闹腥芜x2人進(jìn)行調(diào)查，求其中至少有1人每天閱讀時(shí)間位于的概率.18．（12分）設(shè)，為雙曲線：（，）的左、右頂點(diǎn)，直線過(guò)右焦點(diǎn)且與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，△為等腰直角三角形（1）求雙曲線的離心率；（2）若雙曲線左支上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)點(diǎn)距離的最小值為3，①求雙曲線方程；②已知直線，分別交直線于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線傾斜角變化時(shí)，以為直徑的圓是否過(guò)軸上的定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)，滿足，記點(diǎn)的軌跡為（1）請(qǐng)說(shuō)明是什么曲線，并寫(xiě)出它的方程；（2）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)且斜率為的直線與交于不同的兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，直線與交于兩點(diǎn)，，請(qǐng)判斷與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論20．（12分）已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別是，，且，是橢圓上異于，的不同的兩點(diǎn)（1）若，證明：直線必過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；（2）設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個(gè)交點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為，若，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程21．（12分）如圖，在四棱柱中，平面，底面ABCD滿足∥BC，且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）已知等差數(shù)列滿足：成等差數(shù)列，成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式：（2）在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)與間插入個(gè)，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和記為，求及.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)斜率的取值范圍，結(jié)合來(lái)求得傾斜角的取值范圍.【詳解】設(shè)傾斜角為，因?yàn)?，且，所?故選：B2、B【解析】由題得，解方程即得解.【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以.故選：B3、C【解析】通過(guò)平移把異面直線平移到同一平面中，所以取，的中點(diǎn)，易知且過(guò)中心點(diǎn)，所以異而直線與所成角為和所成角，通過(guò)解三角形即可得解.【詳解】根據(jù)長(zhǎng)方體的對(duì)稱性可得體對(duì)角線過(guò)中心點(diǎn)，取，的中點(diǎn)，易知且過(guò)中心點(diǎn)，所以異而直線和所成角為和所成角，連接，在中，，，，所以則異而直線與所成角的余弦值為：，故選：C.4、C【解析】由余弦定理確定角的范圍，從而判斷出三角形形狀【詳解】由得－cosC>0，所以cosC<0，從而C為鈍角，因此△ABC一定是鈍角三角形.故選：C5、B【解析】設(shè)直線傾斜角為，由，及，可求得，當(dāng)點(diǎn)在軸上方，又，求得，利用對(duì)稱性即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)直線傾斜角為，由，所以，由，，所以，當(dāng)點(diǎn)在軸上方，又，所以，所以由對(duì)稱性知，直線的斜率.故選：B.6、A【解析】不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)點(diǎn)，則，且有，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)點(diǎn)，則，且有，所以，.故選：A.7、C【解析】先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得其準(zhǔn)線方程，根據(jù)題意，列出方程，即可得答案.【詳解】由題意得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為，又準(zhǔn)線方程是，所以，所以.故選：C8、D【解析】的準(zhǔn)線方程為.【詳解】的準(zhǔn)線方程為.故選：D.9、D【解析】利用斜率公式可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的值.詳解】由斜率公式可得，即，解得.故選：D.10、D【解析】由等比數(shù)列的項(xiàng)求公比，進(jìn)而求即可.【詳解】由題設(shè)，，∴故選：D11、C【解析】詳解】，令，解得或；令，解得函數(shù)在上遞增，在遞減，在遞增，時(shí)，取極大值，極大值是時(shí)，函數(shù)取極小值，極小值是，而時(shí)，時(shí)，，故函數(shù)的最小值為，故選C.12、B【解析】分析可知，對(duì)任意的恒成立，由參變量分離法可得出，求出在時(shí)的取值范圍，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則，由題意可知對(duì)任意的恒成立，則對(duì)任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，，.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)出半焦距c，用表示出橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，由可得為直角三角形，由此建立關(guān)系即可計(jì)算作答,【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，它們的半焦距為c，于是得，，由橢圓及雙曲線的對(duì)稱性知，不妨令焦點(diǎn)和在x軸上，點(diǎn)P在y軸右側(cè)，由橢圓及雙曲線定義得：，解得，，因，即，而O是線段的中點(diǎn)，因此有，則有，即，整理得：，從而有，即有，又，則有，即，解得，所以的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：①定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率.14、【解析】由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，設(shè)直線為，、，即可得到的坐標(biāo)，再聯(lián)立直線與拋物線方程，消元列出韋達(dá)定理，表示出、的坐標(biāo)，根據(jù)得到方程，求出，即可得解；【詳解】解：拋物線方程為，則焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，設(shè)直線為，、，則，由，消去得，所以，，則，，因?yàn)?，所以，所以，所以，解得，所以，即直線為，所以直線的斜率為；故答案為：15、【解析】利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出【詳解】利用點(diǎn)到直線的距離可得：故答案為:16、-1【解析】根據(jù)給定條件設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再借助“點(diǎn)差法”即可計(jì)算得解.【詳解】依題意，線段的中點(diǎn)在橢圓C內(nèi)，設(shè)，，由兩式相減得：，而，于是得，即，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由頻率之和為1求參數(shù).（2）由分層抽樣的比例可得抽取的5人中，和分別為：1人，2人，2人，再應(yīng)用列舉法寫(xiě)出所有基本事件，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算即可.小問(wèn)1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖得：，解得；【小問(wèn)2詳解】由于，和的頻率之比為：，故抽取的5人中，，和別為：1人，2人，2人，記的1人為，的2人為，，的2人為，，故隨機(jī)抽取2人共有，，，，，，，，，10種，其中至少有1人每天閱讀時(shí)間位于的包含，，，，，，共7種，故概率.18、（1）；（2）①；②定點(diǎn)有兩個(gè)，【解析】（1）由雙曲線方程有、、，根據(jù)已知條件有，即可求離心率.（2）①由題設(shè)有，結(jié)合（1）求雙曲線參數(shù)，寫(xiě)出雙曲線方程即可；②由題設(shè)可設(shè)為，，，聯(lián)立雙曲線方程結(jié)合韋達(dá)定理求，，，，再由、的方程求，坐標(biāo)，若在為直徑的圓上點(diǎn)，由結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，進(jìn)而求出定點(diǎn)坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，若，且，又△為等腰直角三角形，∴，即，則又，可得.【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)，，由（1）有，則，即，①由上可知：雙曲線方程為.②由①知：，且直線的斜率不為0，設(shè)為，，，聯(lián)立直線與雙曲線得：，∴，，則，∴，∴直線為；直線為；∴，，若在為直徑的圓上點(diǎn)，∴，且，∴，令，則，∴，即，∴或，即過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)的②，設(shè)直線為，聯(lián)立直線與雙曲線，應(yīng)用韋達(dá)定理求，，，，進(jìn)而根據(jù)、的方程求，坐標(biāo)，再由圓的性質(zhì)及向量垂直的坐標(biāo)表示求定點(diǎn)坐標(biāo).19、（1）橢圓，（2），證明見(jiàn)解析【解析】（1）結(jié)合橢圓第一定義直接判斷即可求出的軌跡為；（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理；由中點(diǎn)公式求出點(diǎn)，進(jìn)而得出直線方程，聯(lián)立橢圓方程求出，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可求，可轉(zhuǎn)化為，結(jié)合韋達(dá)定理可化簡(jiǎn)，進(jìn)而得證.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，，則因?yàn)椋瑵M足，即動(dòng)點(diǎn)表示以點(diǎn)，為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為的橢圓，其軌跡的方程為；【小問(wèn)2詳解】可以判斷出，下面進(jìn)行證明：設(shè)直線的方程為，，，由方程組，得①，方程①判別式為，由，即，解得且由①得，，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，直線方程為，由方程組，得，，所以又所以.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）設(shè)，首先證明，從而可得到，即得到；進(jìn)而可得到四邊形為平行四邊形；再根據(jù)為的中點(diǎn)，即可證明直線必過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消元，寫(xiě)韋達(dá)；根據(jù)條件可求出直線MN過(guò)定點(diǎn)，從而可得到過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而可得到點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，從而可求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則，即因?yàn)?，，所以因?yàn)?，所以，所?同理可證.因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以直線必過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，整理得，則，，.因?yàn)椋?，因?yàn)椋獾没?當(dāng)時(shí)，直線的方程為過(guò)點(diǎn)A，不滿足題意，所以舍去；所以直線的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，因?yàn)椋灾本€的方程為，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意.故直線過(guò)定點(diǎn).因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以過(guò)定點(diǎn).因?yàn)榇怪逼椒止蚕?，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，該圓的半徑，圓心坐標(biāo)為，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．21、(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)證明，根據(jù)得到，得到證明.(Ⅱ)如圖所示，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量，，計(jì)算向量夾角得到答案.【詳解】(Ⅰ)平面，平面，故.，，故，故.，故平面.(Ⅱ)如圖所示：分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平