遼寧省葫蘆島市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在正方體中，點(diǎn)，分別是面對(duì)角線(xiàn)與的中點(diǎn)，若，，，則（）A. B.C. D.2．已知，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上存在一點(diǎn)，使得，設(shè)的面積為，若，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.3．已知直線(xiàn)與直線(xiàn)，若，則（）A.6 B.C.2 D.4．橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.2 B.4C. D.5．現(xiàn)有4本不同的書(shū)全部分給甲、乙、丙3人，每人至少一本，則不同的分法有（）A.12種 B.24種C.36種 D.48種6．在中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為（）A. B.1C. D.27．已知不等式只有一個(gè)整數(shù)解，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.8．如圖，在四面體中，，，，，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則等于（）A B.C. D.9．設(shè)分別為圓和橢圓上的點(diǎn),則兩點(diǎn)間的最大距離是A. B.C. D.10．在空間直角坐標(biāo)系中，為直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，為平面的一個(gè)法向量，且，則（）A. B.C. D.11．在等差數(shù)列中，若，且前n項(xiàng)和有最大值，則使得的最大值n為（）A.15 B.16C.17． D.1812．?dāng)?shù)列中，，，．當(dāng)時(shí)，則n等于（）A.2016 B.2017C.2018 D.2019二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．與直線(xiàn)平行，且距離為的直線(xiàn)方程為_(kāi)_____14．已知函數(shù)，則的導(dǎo)函數(shù)______.15．若，，三點(diǎn)共線(xiàn)，則m的值為_(kāi)__________.16．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，則甲、乙兩人下成和棋的概率為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．（12分）“既要金山銀山，又要綠水青山”.濱江風(fēng)景區(qū)在一個(gè)直徑為100米的半圓形花園中設(shè)計(jì)一條觀光線(xiàn)路（如圖所示）.在點(diǎn)與圓弧上的一點(diǎn)（不同于A，B兩點(diǎn)）之間設(shè)計(jì)為直線(xiàn)段小路，在直線(xiàn)段小路的兩側(cè)（注意是兩側(cè)）種植綠化帶；再?gòu)狞c(diǎn)到點(diǎn)設(shè)計(jì)為沿弧的弧形小路，在弧形小路的內(nèi)側(cè)（注意是一側(cè)）種植綠化帶（注：小路及綠化帶的寬度忽略不計(jì)）.（1）設(shè)(弧度)，將綠化帶總長(zhǎng)度表示為的函數(shù)；（2）試確定的值，使得綠化帶總長(zhǎng)度最大.(弧度公式：，其中為弧所對(duì)的圓心角)19．（12分）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）.20．（12分）已知橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為3，離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(xiàn)與橢圓交于不同兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且滿(mǎn)足,若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為棱的中點(diǎn).（1）求直線(xiàn)與所成角的余弦值；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；（3）求二面角的余弦值.22．（10分）排一張有6個(gè)歌唱節(jié)目和5個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單.（1）任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？（2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由空間向量運(yùn)算法則得,利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，分別是面對(duì)角線(xiàn)與的中點(diǎn)，，，，所以故選:D.2、D【解析】由可得直角三角形，故，且，結(jié)合，聯(lián)立可得，即得解【詳解】由題意，故為直角三角形，，又，，又為直角三角形，故，，即，.故選：D.3、A【解析】根據(jù)兩直線(xiàn)垂直的充要條件得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)，且，所以，解得；故選：A4、C【解析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)得到，求解即可.【詳解】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，橢圓焦點(diǎn)在y軸上，所以有，解得故選：C.5、C【解析】先把4本書(shū)按2，1，1分為3組，再全排列求解.【詳解】先把4本書(shū)按2，1，1分為3組，再全排列，則有種分法，故選：C6、C【解析】由余弦定理求出，利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)二倍角公式得到，即可得到，最后利用面積公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，所以或，即或（舍去），所以，因?yàn)?，所以，所以；故選：C7、B【解析】依據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合去求解即可解決.【詳解】不等式只有一個(gè)整數(shù)解，可化為只有一個(gè)整數(shù)解令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取最大值，當(dāng)時(shí)，恒成立，的草圖如下：，，則若只有一個(gè)整數(shù)解，則，即故不等式只有一個(gè)整數(shù)解，則m的取值范圍是故選：B8、D【解析】根據(jù)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算求解【詳解】由已知，故選：D9、D【解析】轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值加（半徑）.【詳解】設(shè)，圓心為，則，當(dāng)時(shí)，取到最大值，∴最大值為故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查圓上點(diǎn)與橢圓上點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是圓上的點(diǎn)轉(zhuǎn)化為圓心，利用圓心到動(dòng)點(diǎn)距離的最值加（或減）半徑得出結(jié)論10、B【解析】由已知條件得出，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)椋瑒t，解得.故選：B.11、A【解析】由題可得，則，可判斷，，即可得出結(jié)果.【詳解】前n項(xiàng)和有最大值，，，，，，，使得的最大值n為15.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)判斷，解題的關(guān)鍵是得出.12、B【解析】根據(jù)已知條件用逐差法求得的通項(xiàng)公式，再根據(jù)裂項(xiàng)求和法求得，代值計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，則,即，則，故，又，即，解得.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解析】由題意，設(shè)所求直線(xiàn)方程為，根據(jù)兩平行直線(xiàn)間的距離公式即可求解.【詳解】解：由題意，設(shè)所求直線(xiàn)方程為，因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)的距離為，所以，解得或，所以所求直線(xiàn)方程為或，故答案為：或.14、【解析】利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及積的求導(dǎo)法則計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，則，所以.故答案為：15、【解析】根據(jù)三點(diǎn)共線(xiàn)與斜率的關(guān)系即可得出【詳解】由，，三點(diǎn)共線(xiàn)，可知所在的直線(xiàn)與所在的直線(xiàn)平行，又，由已知可得，解得故答案為：16、##【解析】直接根據(jù)概率和為1計(jì)算得到答案.【詳解】.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減化簡(jiǎn)可得，再對(duì)等式兩邊同時(shí)減去1，化簡(jiǎn)可證得結(jié)論，（2）由（1）得，然后利用分組求和可求出【小問(wèn)1詳解】由已知得，.當(dāng)時(shí)，.兩式相減得，.于是，即，又，，，所以滿(mǎn)足上式，所以對(duì)都成立，故數(shù)列是等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，.18、（1）；（2）.【解析】（1）在直角三角形中，求出，在扇形中利用弧長(zhǎng)公式求出弧的長(zhǎng)度，則可得函數(shù)；（2）利用導(dǎo)數(shù)可求得結(jié)果.【詳解】（1）如圖，連接在直角三角形中，所以由于則弧的長(zhǎng)為（2）由（1）可知，令得，因?yàn)樗?，?dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，使得綠化帶總長(zhǎng)度最大.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：仔細(xì)審題，注意題目中的關(guān)鍵詞“兩側(cè)”和“一側(cè)”是解題關(guān)鍵.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的加法運(yùn)算法則，結(jié)合常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的加法和乘法的運(yùn)算法則，結(jié)合常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】；【小問(wèn)2詳解】.20、(1)(2)，或【解析】（1）由橢圓的性質(zhì)可知：，解得a和c的值，即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將直線(xiàn)方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理求得：，，λ，根據(jù)向量的坐標(biāo)坐標(biāo)，（x1+1，y1）＝λ（x2+1，y2），求得，由，代入即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍【詳解】(1)由已知，解得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由已知,設(shè)，聯(lián)立方程組，消得，由韋達(dá)定理得①②因?yàn)?，所以，所以③，將③代入①②，，消去得，所?因?yàn)?，所以，即，解得，所以，?【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，向量的坐標(biāo)表示，不等式的解法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題21、（1）；（2）；（3）.【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè).（1）寫(xiě)出、的坐標(biāo)，利用空間向量法計(jì)算出直線(xiàn)與所成角的余弦值；（2）求出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，利用空間向量法可計(jì)算得出直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；（3）求出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【詳解】平面，四邊形為正方形，設(shè).以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則、、、、、.（1），，，所以，異面直線(xiàn)、所成角的余弦值為；（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，由，可得，取，可得，則，，，因此，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為；（3）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，由，可得，得，取，則，，所以，平面的一個(gè)法向量為，，由圖形可知，二面角為銳角，因此，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線(xiàn)所成角、線(xiàn)面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對(duì)應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算向量的夾角（兩直線(xiàn)的方向向量、直線(xiàn)的方向向量與平面的法向