高考數(shù)學一輪復(fù)習收官模擬新課標Ⅱ卷學校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1．[2024春·高一·河北唐山·期中聯(lián)考]已知復(fù)數(shù),則()A. B. C.3 D.51．答案：D解析：,,故選D.2．下列命題中為真命題的是()A.， B.，C.， D.，2．答案：C解析：，，故是假命題.當時，，故是假命題.，，故是真命題.對于方程，，此方程無解，故是假命題.3．已知平面向量，滿足，，且與的夾角為，則()A. B. C. D.33．答案：A解析：，，且與的夾角為，，，.故選A.4．[2023春·高一·四川宜賓·期末?？糫PM2.5是空氣質(zhì)量的一個重要指標，我國PM2.5標準采用世界衛(wèi)生組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在以下空氣質(zhì)量為一級，在之間空氣質(zhì)量為二級，在以上空氣質(zhì)量為超標.如圖是某地11月1日到10日PM2.5日均值（單位：）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，則下列敘述不正確的是()A.從5日到9日，PM2.5日均值逐漸降低B.這10天中PM2.5日均值的平均數(shù)是49.3C.這10天的PM2.5日均值的中位數(shù)是45D.從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機抽出一天的數(shù)據(jù)，空氣質(zhì)量為一級的概率是4．答案：C解析：由題圖可知從5日到9日，PM2.5日均值逐漸降低，故選項A正確；由題圖得平均數(shù)為，故選項B正確；由題圖可知這10天的數(shù)據(jù)從小到大排列為30，32，33，34，45，49，57，58，73，82，故中位數(shù)為，故選項C不正確；由數(shù)據(jù)可知，這10天中PM2.5日均值在以下的有4天，故空氣質(zhì)量為一級的概率是，故選項D正確.故選C.5．已知動圓過定點，且與圓內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程是()A. B. C. D.5．答案：A解析：設(shè)動圓圓心為，半徑為r，則.因為動圓M與圓內(nèi)切，所以，所以，即，由橢圓的定義可知，M的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，所以，，，所以動圓圓心M的軌跡方程為.6．[2024秋·高三·山東泰安·開學考試]曲線與交點個數(shù)是()A.3 B.4 C.5 D.66．答案：A解析：作出曲線與大致圖象,可知,而,由曲線與圖象知,曲線與有3個交點.故選：A.7．如圖，在矩形ABCD中，，，現(xiàn)將沿著對角線BD翻折成，并且滿足，則直線與平面BCD所成最大角的余弦值為()A. B. C. D.7．答案：B解析：如圖，設(shè)點在底面BCD中的射影為H，則是與平面BCD所成的角，.在翻折過程中，，又，則，即H在AB的垂直平分線MN上.取的中點E，連接，，，，.又，從而平面，，而E是的中點，從而，.又，，由，得，在直角梯形BCHM中，，從而的最小值為，當且僅當時取等號.故選B.8．已知函數(shù)的定義域為，當時，.若，則不等式的解集為()A. B. C. D.8．答案：B解析：由，且，得.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.因為，所以.由的定義域為，得，得，所以不等式可以變形為，即，所以，即，所以.故選B.二、多項選擇題9．已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸為直線，其中為常數(shù)，且，則以下結(jié)論正確的是()A.函數(shù)的最小正周期為B.C.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度所得的圖象關(guān)于原點對稱D.函數(shù)在區(qū)間上有67個零點9．答案：ABD解析：因為直線是圖象的一條對稱軸，所以，，所以，.又因為，所以，所以.，故A正確；，故B正確；的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，顯然不關(guān)于原點對稱，故C錯誤；當時，，令，，則，，所以在上有67個零點，故D正確.故選ABD.10．已知拋物線的焦點F到準線l的距離為2，則()A.焦點F的坐標為B.過點恰有2條直線與C有且只有一個公共點C.直線與C相交所得弦長為8D.C與圓交于M，N兩點，則10．答案：ACD解析：由題可知拋物線C的方程為.焦點F的坐標為，故A正確.過點可作C的2條切線；直線過點A且與C只有一個交點，所以共3條直線與拋物線有且只有一個公共點，故B錯誤.設(shè)直線與拋物線C交于，，由得，，則，，，故C正確.由得，解得（舍去），所以交點為，所以，故D正確.11．設(shè)函數(shù)，對于任意給定的實數(shù)K，定義函數(shù)則下列結(jié)論正確的是()A.函數(shù)的零點有3個 B.，使得C.若，，則 D.若存在最大值，則11．答案：BCD解析：，則，令，解得.當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.故在R上有最大值，為.令，則，令，解得.當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.令，則，即，解得該方程的正根為，且.故作出函數(shù)與的大致圖象，如圖1.當時，恒成立，故，由圖1得有2個零點，故A錯誤.由圖1知在上，，故，，又，，所以，使得，故B正確.因為恒成立，所以若，，則，故C正確.當時，，故有最大值，為1；當時，的大致圖象如圖2所示，有最大值；當時，的大致圖象如圖3所示，所以無最大值.綜上，若存在最大值，則，故D正確.三、填空題12．已知為等差數(shù)列，公差為-2，且，則前10項和_________.12．答案：110解析：依題意，有.因為，所以，所以，解得，所以.13．已知，，，則___________.13．答案：解析：，，.又，，，..14．把6張座位編號分別為1，2，3，4，5，6的電影票全部分給4個人，每個人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，那么不同的分法共有_________種.（用數(shù)字作答）14．答案：144解析：根據(jù)題意，可分為兩步進行：①先將票分為符合條件的4份，4人分6張票，且每人至少1張，至多2張，則有2個人各1張，2個人各2張，且分得的票必須連號，相當于將1，2，3，4，5，6這6個數(shù)字用3個板子隔開，分為四部分且不存在三連號，即在其中的5個空隙中插入3個板子，有種情況，其中出現(xiàn)三連號的有123，4，5，6；1，234，5，6；1，2，345，6；1，2，3，456，共4種情況不滿足題意，所以有種情況；②再將分好的4份全排列，對應(yīng)到4個人，有種情況.由分步乘法計數(shù)原理可得共有種不同的分法.四、解答題15．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求A；（2）點D在線段BC上，，，求的值.15．答案：（1）（2）解析：（1）由結(jié)合正弦定理可得.因為，所以，所以，即.因為，所以，因為，所以.（2）如圖，在中，，在中，，，由正弦定理可得，故，即，所以.16．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且.（1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）證明：在上僅有一個零點，且.16．答案：（1）（2）證明見解析解析：（1）由，得，所以，所以，即，所以所求切線方程為，即.（2）由（1）知，則.當時，，，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.又，，所以函數(shù)在上存在唯一零點，且，所以，即，所以.由，得，所以，所以，得證.17．[2024屆·江蘇南通·模擬考試]如圖，圓柱上、下底面圓的圓心分別為O，，該圓柱的軸截面為正方形，三棱柱的三條側(cè)棱均為圓柱的母線，且，點P在軸上運動.（1）證明：不論P在何處，總有；（2）當P為的中點時，求平面與平面夾角的余弦值.17．答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）證明：連接，，，且連接AO并延長，交BC于點M，交圓柱側(cè)面于點N，如圖所示.因為，，所以，所以，所以，所以M為BC中點，所以.又在圓柱中，平面，平面ABC，所以.又，平面，所以平面.因為不論P在何處，總有平面，所以.（2）設(shè)，則.在中，，則.所以.如圖，以為原點，，所在直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標系，其中軸，y軸是在平面內(nèi)的垂直平分線，則，，，，所以，，，.設(shè)平面的法向量為，則有即取，得.設(shè)平面的法向量為，則有即取，得.設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18．[2024秋·高二·江西宜春·月考校考]“英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實施，到2023年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學生.為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從中學里挑選優(yōu)秀學生參加數(shù)學、物理、化學學科夏令營活動.（1）若數(shù)學組的7名學員中恰有3人來自A中學，從這7名學員中選取3人，表示選取的人中來自A中學的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.（2）在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學科知識競答活動，規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答2道題，若小組答對題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利.已知甲、乙兩位同學組成一組，甲、乙答對每道題的概率分別為，.假設(shè)甲、乙兩人每次答題相互獨立，且互不影響.當時，求甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝的概率的最大值.18．答案：（1）分布列見解析，數(shù)學期望為（2）解析：（1）由題意知，的可能取值為0，1，2，3，，，，.所以的分布列為0123P.（2）因為甲、乙兩人每次答題相互獨立，設(shè)甲答對題數(shù)為，則，設(shè)乙答對題數(shù)為，則.設(shè)“甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝”，則.由，及，得，則.又，所以.設(shè)，則，.易知當時，取得最大值.所以甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝的概率的最大值為.19．在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線與橢圓，A，B分別為的左、右頂點，點P在雙曲線上，且位于第一象限.（1）直線OP與橢圓相交于第一象限內(nèi)的點M，設(shè)直線PA，PB，MA，MB的斜率分別為，，，，求的值；（2）直線AP與橢圓相交于點N（異于點A），求的取值范圍.19．答案：（1）0（2）解析：（1）方法一：設(shè)直線，由得，所以解得.設(shè)（，），則所以.由