猜想03軸對稱（易錯必刷40題13種題型專項訓(xùn)練）一．線段垂直平分線的性質(zhì)（共4小題）二．等腰三角形的性質(zhì)（共9小題）三．等腰三角形的判定（共3小題）四．等腰三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）五．等邊三角形的性質(zhì)（共1小題）六．等邊三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）七．含30度角的直角三角形（共3小題）八．生活中的軸對稱現(xiàn)象（共1小題）九．軸對稱的性質(zhì)（共2小題）十．軸對稱圖形（共2小題）十一．關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)（共8小題）十二．作圖軸對稱變換（共1小題）十三．軸對稱最短路線問題（共2小題）一．線段垂直平分線的性質(zhì)（共4小題）1．（2023春?定邊縣校級期末）如圖，在△ABC中，DE垂直平分BC，分別交BC、AB于D、E，連接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝20°，則∠EFB的度數(shù)為（）A．56° B．58° C．60° D．63°【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得EB＝EC，從而可得∠EBC＝∠ECB，再根據(jù)已知可得CE＝AC，從而利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得∠A＝∠AEC＝80°，然后利用三角形的外角性質(zhì)可得∠EBC＝∠ECB＝40°，再利用角平分線的定義∠FBC＝20°，最后利用三角形的外角性質(zhì)進行計算即可解答．【解答】解：∵DE垂直平分BC，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∵BE＝AC，∴CE＝AC，∵∠ACE＝20°，∴∠A＝∠AEC＝（180°﹣∠ACE）＝80°，∵∠AEC＝∠EBC+∠ECB＝80°，∴∠EBC＝∠ECB＝40°，∵BF平分∠ABC，∴∠FBC＝∠EBC＝20°，∴∠EFB＝∠FBC+∠ECB＝60°，故選：C．【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?漣源市期末）如圖，在足球場內(nèi)，A，B，C表示三個足球運動員，為做折返跑游戲，現(xiàn)準(zhǔn)備在足球場內(nèi)放置一個足球，使它到三個運動員的距離相等，則足球應(yīng)放置在（）A．AC，BC兩邊高線的交點處 B．AC，BC兩邊中線的交點處 C．AC，BC兩邊垂直平分線的交點處 D．∠A，∠B兩內(nèi)角平分線的交點處【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理，即可解答．【解答】解：如圖，在足球場內(nèi)，A，B，C表示三個足球運動員，為做折返跑游戲，現(xiàn)準(zhǔn)備在足球場內(nèi)放置一個足球，使它到三個運動員的距離相等，則足球應(yīng)放置在AC，BC兩邊垂直平分線的交點處，故選：C．【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?吉林期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交BC于點E，AC的垂直平分線交BC于點F．若∠B+∠C＝70°，則∠EAF的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】先利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC＝110°，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得EA＝EB，F(xiàn)A＝FC，從而可得∠B＝∠BAE，∠C＝∠FAC，然后利用等量代換可得∠BAE+∠FAC＝70°，最后利用角的和差關(guān)系進行計算即可解答．【解答】解：∵∠B+∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝110°，∵AB的垂直平分線交BC于點E，AC的垂直平分線交BC于點F，∴EA＝EB，F(xiàn)A＝FC，∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠FAC，∴∠BAE+∠FAC＝70°，∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）＝40°，故選：C．【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?懷化期末）如圖，直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，l與m分別交邊AB于點D和點E．（1）若AB＝10，則△CDE的周長是多少？為什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度數(shù)．【分析】（1）依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得到△CDE的周長＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB；（2）依據(jù)AD＝CD，BE＝CE，即可得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠A+∠B＝55°，進而得到∠ACD+∠BCE＝55°，再根據(jù)∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）進行計算即可．【解答】解：（1）△CDE的周長為10．∵直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，∴AD＝CD，BE＝CE，∴△CDE的周長＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；（2）∵直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，∴AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，又∵∠ACB＝125°，∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACD+∠BCE＝55°，∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．【點評】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．二．等腰三角形的性質(zhì)（共9小題）5．（2022秋?門頭溝區(qū)期末）一個等腰三角形的兩條邊分別是2cm和5cm，則第三條邊的邊長是（）A．2cm B．5cm C．2cm或5cm D．不能確定【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L為2cm，底邊長為5cm時，當(dāng)?shù)妊切蔚难L為5cm，底邊長為2cm時，然后分別進行計算即可解答．【解答】解：分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L為2cm，底邊長為5cm時，∵2+2＝4＜5，∴不能組成三角形；當(dāng)?shù)妊切蔚难L為5cm，底邊長為2cm時，∴等腰三角形的三邊長分別為5cm，5cm，2cm，綜上所述：等腰三角形的第三條邊的邊長是5cm，故選：B．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?番禺區(qū)校級期末）等腰三角形的一條邊長為6，另一邊長為14，則它的周長為（）A．26 B．26或34 C．34 D．20【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L為6，底邊長為14時；當(dāng)?shù)妊切蔚难L為14，底邊長為6時，然后分別進行計算即可解答．【解答】解：分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L為6，底邊長為14時，∵6+6＝12＜14，∴不能組成三角形；當(dāng)?shù)妊切蔚难L為14，底邊長為6時，∴它的周長＝14+14+6＝34；綜上所述：它的周長為34，故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?南開區(qū)校級期末）等腰三角形的一個外角是70°，則它的頂角的度數(shù)為（）A．70° B．70°或40° C．110° D．110°或40°【分析】利用平角定義，進行計算即可解答．【解答】解：如圖：在△ABC中，AB＝AC，當(dāng)∠DAC＝70°時，∴∠BAC＝180°﹣∠DAC＝110°，∴等腰三角形的頂角的度數(shù)為110°，故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋?聊城期末）若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°，則這個等腰三角形的底角的度數(shù)為（）A．20° B．50°或70° C．70° D．20°或70°【分析】分兩種情況討論：①若該等腰三角形為鈍角三角形；②若該等腰三角形為銳角三角形；先求出頂角∠BAC，即可求出底角的度數(shù)．【解答】解：①如圖1，當(dāng)該等腰三角形為鈍角三角形時，∵一腰上的高與另一腰的夾角是50°，∴底角＝（90°﹣50°）＝20°，②如圖2，當(dāng)該等腰三角形為銳角三角形時，∵一腰上的高與另一腰的夾角是50°，∴底角＝[180°﹣（90°﹣50°）]＝70°．故選：D．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及余角和鄰補角的定義；注意分類討論方法的運用，避免漏解．9．（2022秋?平谷區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，D是BA延長線上一點，且∠DAC＝100°，則∠C＝50°．【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠C，再利用三角形的外角性質(zhì)可得∠DAC＝∠B+∠C＝100°，然后進行計算即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠DAC是△ABC的一個外角，∴∠DAC＝∠B+∠C＝100°，∴∠B＝∠C＝50°，故答案為：50°．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?衡山縣期末）已知等腰三角形的兩邊長分別為10和4，則三角形的周長是24．【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L為10，底邊長為4時，當(dāng)?shù)妊切蔚难L為4，底邊長為10時，然后分別進行計算即可解答．【解答】解：分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L為10，底邊長為4時，∴這個等腰三角形的周長＝10+10+4＝24；當(dāng)?shù)妊切蔚难L為4，底邊長為10時，∵4+4＝8＜10，∴不能組成三角形；綜上所述：這個等腰三角形的周長為24，故答案為：24．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋?東昌府區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的是中點，AD＝AE，∠BAD＝30°，求∠EDC的度數(shù)．【分析】先利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD＝30°，然后再利用等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理可得∠ADE＝∠AED＝75°，從而利用角的和差關(guān)系進行計算即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，D為BC的是中點，∴∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD＝30°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠CAD）＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝15°，∴∠EDC的度數(shù)為15°．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋?忠縣期末）如圖△ABC中，點D在AB上，已知AD＝BD＝CD．（1）求∠ACB的大??；（2）若∠A＝30°，AB＝4，求△BCD的周長．【分析】（1）先利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，然后利用三角形的內(nèi)角和定理，進行計算即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論，在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得BC＝AB＝2，然后再根據(jù)已知可得AD＝BD＝CD＝2，從而利用三角形的周長公式，進行計算即可解答．【解答】解：（1）∵AD＝BD＝CD，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，∵∠A+∠ACD+∠BCD+∠B＝180°，∴2∠ACD+2∠BCD＝180°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠ACB＝90°；（2）∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，AB＝4，∴BC＝AB＝2，∵AD＝BD＝CD，∴AD＝BD＝CD＝AB＝2，∴△BCD的周長為6．【點評】本題考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?開封期末）已知在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m﹣2．（1）求m的取值范圍；（2）若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周長．【分析】（1）利用三角形的三邊關(guān)系可得：20﹣8＜2m﹣2＜20+8，然后進行計算即可解答；（2）分兩種情況：當(dāng)AB＝AC＝20時；當(dāng)BC＝AC＝8時，然后分別進行計算即可解答．【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m﹣2．∴20﹣8＜2m﹣2＜20+8，解得：7＜m＜15；∴m的取值范圍為：7＜m＜15；（2）∵△ABC是等腰三角形，∴分兩種情況：當(dāng)AB＝AC＝20時，∴△ABC的周長＝20+20+8＝48；當(dāng)BC＝AC＝8時，∵8+8＝16＜20，∴不能組成三角形；綜上所述，△ABC的周長為48．【點評】本題考查了三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形三邊關(guān)系，以及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三．等腰三角形的判定（共3小題）14．（2022秋?平橋區(qū)校級期末）線段AB在如圖所示的8×8網(wǎng)格中（點A、B均在格點上），在格點上找一點C，使△ABC是以∠B為頂角的等腰三角形，則所有符合條件的點C的個數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根據(jù)題意可得，以點B為圓心，BA長為半徑畫圓，圓與格點的交點即為符合條件的點C．【解答】解：如圖所示：使△ABC是以∠B為頂角的等腰三角形，所以所有符合條件的點C的個數(shù)是6個．故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的判定，解決本題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定．15．（2022秋?臥龍區(qū)校級期末）如圖，正方形的網(wǎng)格中，點A，B是小正方形的頂點，如果C點是小正方形的頂點，且使△ABC是等腰三角形，則點C的個數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】當(dāng)AB是腰長時，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出一個小正方形與A、B頂點相對的頂點，連接即可得到等腰三角形；當(dāng)AB是底邊時，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，AB垂直平分線上的格點都可以作為點C，然后相加即可得解．【解答】解：如圖，分情況討論：①AB為等腰△ABC的底邊時，符合條件的C點有4個；②AB為等腰△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有4個．所以△ABC是等腰三角形，點C的個數(shù)為8個，故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形．分類討論思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．16．（2022秋?邳州市期末）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格的交點稱為格點，已知A，B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則符合條件的點C的個數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】分AB是腰長時，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出一個小正方形與A、B頂點相對的頂點，連接即可得到等腰三角形，AB是底邊時，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，AB垂直平分線上的格點都可以作為點C，然后相加即可得解．【解答】解：①AB為等腰△ABC底邊時，符合條件的C點有4個；②AB為等腰△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有4個．故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的特點是解題的關(guān)鍵，要注意分AB是腰長與底邊兩種情況討論求解．四．等腰三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）17．（2022秋?潢川縣校級期末）如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分線交于點E，過點E作MN∥BC分別交AB、AC于M、N，則△AMN的周長為（）A．4 B．6 C．7 D．8【分析】利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證△MEB和△NEC是等腰三角形，從而可得MB＝ME，NE＝NC，然后利用等量代換可得△AMN的周長＝AB+AC，進行計算即可解答．【解答】解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠ABE＝∠EBC，∠ACE＝∠ECB，∵MN∥BC，∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，∴∠ABE＝∠MEB，∠ACE＝∠NEC，∴MB＝ME，NE＝NC，∵AB＝3，AC＝4，∴△AMN的周長＝AM+MN+AN＝AM+ME+EN+AN＝AM+MB+CN+AN＝AB+AC＝3+4＝7，故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證等腰三角形是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋?荊門期末）如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點G、F，若FG＝4，ED＝8，求EB+DC＝12．【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證△EBG和△DFC是等腰三角形，從而可得EB＝EG，DF＝DC，進而可得EB+DC＝ED+FG，然后進行計算即可解答．【解答】解：∵ED∥BC，∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，∵BG平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠ABG＝∠CBG，∠ACF＝∠FCB，∴∠EBG＝∠EGB，∠DFC＝∠ACF，∴EB＝EG，DF＝DC，∵FG＝4，ED＝8，∴EB+DC＝EG+DF＝ED+FG＝12，故答案為：12．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證等腰三角形是解題的關(guān)鍵．五．等邊三角形的性質(zhì)（共1小題）19．（2022秋?睢陽區(qū)期末）已知△ABC為等邊三角形，AB＝10，M在AB邊所在直線上，點N在AC邊所在直線上，且MN＝MC，若AM＝16，則CN的長為4或36．【分析】分兩種情形：①當(dāng)點M在AB的延長線上時，作MD⊥AC于D．②當(dāng)點M在BA的延長線上時，作MD⊥CN于D．分別求解即可．【解答】解：由題意可知，BM＝AN＝6，①如圖，當(dāng)點M在AB的延長線上時，作MD⊥AC于D．在Rt△AMD中，∵∠ADM＝90°，∠A＝60°，AM＝16，∴AD＝AM＝8，∴CD＝AC﹣AD＝2，∵MN＝MC，MD⊥CN，∴DN＝CD，∴CN＝2CD＝4．②如圖，當(dāng)點M在BA的延長線上時，作MD⊥CN于D，在Rt△AMD中，∵∠ADM＝90°，∠DAM＝60°，AM＝16，∴AD＝AM＝8，∴CD＝AD+AC＝18，∵MN＝MC，MD⊥CN，∴DN＝CD，∴CN＝2CD＝36，故答案為：4或36．【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會添加常用輔助線面構(gòu)造直角三角形解決問題．六．等邊三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）20．（2022秋?岳麓區(qū)校級期末）如圖，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，∠DEB＝∠EBC＝60°，若BE＝5，DE＝2，則BC＝7．【分析】作出輔助線后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出△BEM為等邊三角形，得出BM＝EM＝BE＝5，從而得出BN的長，進而求出答案．【解答】解：延長ED交BC于M，延長AD交BC于N，如圖，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠EBC＝∠DEB＝60°，∴△BEM為等邊三角形，∴BM＝EM＝BE＝5，∠EMB＝60°，∵DE＝2，∴DM＝3，∵AN⊥BC，∴∠DNM＝90°，∴∠NDM＝30°，∴NM＝DM＝，∴BN＝BM﹣MN＝5﹣＝，∴BC＝2BN＝7．故答案為：7．【點評】本題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意構(gòu)造含30°的直角三角形是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋?東洲區(qū)期末）如圖，直線a∥b，△ABC是等邊三角形，點A在直線a上，邊BC在直線b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如圖①）；繼續(xù)以上的平移得到圖②，再繼續(xù)以上的平移得到圖③，…；請問在第100個圖形中等邊三角形的個數(shù)是400．【分析】先證出陰影的三角形是等邊三角形，又觀察圖可得，第n個圖形中大等邊三角形有2n個，小等邊三角形有2n個，據(jù)此求出第100個圖形中等邊三角形的個數(shù)．【解答】解：如圖①∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∵A′B′∥AB，BB′＝B′C＝BC，∴B′O＝AB，CO＝AC，∴△B′OC是等邊三角形，同理陰影的三角形都是等邊三角形．又觀察圖可得，第1個圖形中大等邊三角形有2個，小等邊三角形有2個，第2個圖形中大等邊三角形有4個，小等邊三角形有4個，第3個圖形中大等邊三角形有6個，小等邊三角形有6個，…依次可得第n個圖形中大等邊三角形有2n個，小等邊三角形有2n個．故第100個圖形中等邊三角形的個數(shù)是：2×100+2×100＝400．故答案為：400．【點評】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)及平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是據(jù)圖找出規(guī)律．七．含30度角的直角三角形（共3小題）22．（2022秋?白云區(qū)校級期末）若等腰三角形腰上的高是腰長的一半，則這個等腰三角形的底角是（）A．75°或15° B．75° C．15° D．75°和30°【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時；當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時；然后分別進行計算即可解答．【解答】解：分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時，如圖：在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，∵BD＝AB，∴∠BAD＝30°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝75°，∴這個等腰三角形的底角是75°；當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時，如圖：在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，∵BD＝AB，∴∠BAD＝30°，∴∠ABC+∠C＝30°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝∠BAD＝15°，∴這個等腰三角形的底角是15°；綜上所述：這個等腰三角形的底角是75°或15°，故選：A．【點評】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．23．（2022秋?洪山區(qū)校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC．則下列等式成立的是（）A．BD＝3DC B．AD＝2DC C．AB＝4DC D．BD＝2AC【分析】根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出BD＝3DC，BD＝AC，BC＝4DC，AC＝2DC．【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴BC＝2AC，∠C＝60°，∵AD⊥BC，∴∠DAC＝30°，∴AC＝2DC，∴B不符合要求；∴BC＝4DC，∴C不符合要求；∴BD＝3DC，∴A符合要求；∵AC＝2DC，BC＝4DC∴BD＝AC，∴D不符合要求；故選：A．【點評】本題考查了含30度角的直角三角形，掌握此定理，應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)30°的角所對的直角邊，點明斜邊，是解題的關(guān)鍵．24．（2022秋?楊浦區(qū)期末）已知，如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，且AD＝BC，AE⊥BC．（1）求證：∠CAE＝∠B；（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求AB的長．【分析】（1）根據(jù)三角形的中線定義可得BD＝DC＝BC，從而可得AD＝DC＝BD，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠BAD，∠C＝∠DAC，再利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠B+∠C＝90°，最后根據(jù)垂直定義可得∠AEC＝90°，從而可得∠CAE+∠C＝90°，進而根據(jù)同角的余角相等即可解答；（2）在Rt△AEC中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AC的長，然后在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可解答．【解答】（1）證明：∵AD為BC邊上的中線，∴BD＝DC＝BC，∵AD＝BC，∴AD＝DC＝BD，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠DAC，∵∠B+∠BAD+∠DAC+∠C＝180°，∴2（∠B+∠C）＝180°，∴∠B+∠C＝90°，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE+∠C＝90°，∴∠CAE＝∠B；（2）解：∵∠AEC＝90°，∠CAE＝30°，CE＝2，∴AC＝2CE＝4，∵∠B+∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝90°，∵∠B＝∠CAE＝30°，∴AB＝AC＝4，∴AB的長為4．【點評】本題考查了含30度角的直角三角形，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．八．生活中的軸對稱現(xiàn)象（共1小題）25．（2022秋?高陽縣校級期末）如圖是跳棋盤，其中格點上的黑色點為棋子，剩余的格點上沒有棋子，我們約定跳棋游戲的規(guī)則是：把跳棋棋子在棋盤內(nèi)沿直線隔著棋子對稱跳行，跳行一次稱為一步，已知點A為乙方一枚棋子，欲將棋子A跳進對方區(qū)域（陰影部分的格點），則跳行的最少步數(shù)為（）A．2步 B．3步 C．4步 D．5步【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，由軸對稱的性質(zhì)判定正確選項．【解答】解：觀察圖形可知：先向右跳行，在向左，最后沿著對稱的方法即可跳到對方那個區(qū)域，所以最少是3步．故選B．【點評】此題考查軸對稱的基本性質(zhì)，注意：對稱軸垂直平分對應(yīng)點的連線．通過對稱的性質(zhì)找到最短的路線是解題的關(guān)鍵．九．軸對稱的性質(zhì)（共2小題）26．（2022秋?大連期末）如圖，在2×2的正方形格紙中，有一個以格點為頂點的△ABC，在格紙中能畫出與△ABC成軸對稱且也以格點為頂點的三角形（不包括△ABC本身），這樣的三角形共有3個【分析】依據(jù)大正方形的對稱軸，即可畫出與△ABC成軸對稱且也以格點為頂點的三角形．【解答】解：如圖所示，與△ABC成軸對稱且也以格點為頂點的三角形有3個：故答案為：3．【點評】本題考查軸對稱圖形的定義與判斷，如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側(cè)的圖形能完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形．折痕所在的這條直線叫做對稱軸．27．（2022秋?華容區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，點B關(guān)于AC的對稱點B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，則∠ACB的度數(shù)為（）A．45° B．α﹣45° C．α D．90°﹣α【分析】連接AB'，BB'，過A作AE⊥CD于E，依據(jù)∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE＝∠BAD＝，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和以及三角形外角性質(zhì)，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣．【解答】解：如圖，連接AB'，BB'，過A作AE⊥CD于E，∵點B關(guān)于AC的對稱點B'恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB'，∴AB＝AB'，∴∠BAC＝∠B'AC，∵AB＝AD，∴AD＝AB'，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B'AE，∴∠CAE＝∠BAD＝，又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，∴四邊形AOB'E中，∠EB'O＝180°﹣，∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°﹣﹣90°＝90°﹣，∴∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣，故選：D．【點評】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和以及三角形外角性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造四邊形AOB'E，解題時注意：如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線．一十．軸對稱圖形（共2小題）28．（2022秋?海安市期末）觀察如圖的網(wǎng)絡(luò)圖標(biāo)，其中可以看成軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．【解答】解：選項C的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，選項A、B、D的圖形均不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，故選：C．【點評】此題主要考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．29．（2023?岳麓區(qū)校級三模）“致中和，天地位焉，萬物育焉．”對稱美是我國古人和諧平衡思想的體現(xiàn)，常被運用于建筑、器物、繪畫、標(biāo)識等作品的設(shè)計上，使對稱之美驚艷了千年的時光．下列大學(xué)的校徽圖案是軸對稱圖形的是（）A．清華大學(xué) B．北京大學(xué) C．中國人民大學(xué) D．浙江大學(xué)【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：A，C，D選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；B選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：B．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．一十一．關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)（共8小題）30．（2022秋?天河區(qū)校級期末）下列說法正確的是（）A．已知點M（2，﹣5），則點M到x軸的距離是2 B．若點A（a﹣1，0）在x軸上，則a＝0 C．點A（﹣1，2）關(guān)于x軸對稱的點坐標(biāo)為（﹣1，﹣2） D．點C（﹣3，2）在第一象限內(nèi)【分析】分別根據(jù)點的幾何意義；在x軸上的點的縱坐標(biāo)為零；關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；各個象限上的點的坐標(biāo)符號逐一判斷即可．【解答】解：A．已知點M（2，﹣5），則點M到x軸的距離是|﹣5|＝5，故本選項不合題意；B．若點A（a﹣1，0）在x軸上，則a可以是全體實數(shù)，故本選項不合題意；C．點A（﹣1，2）關(guān)于x軸對稱的點坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），故本選項符合題意；D．C（﹣3，2）在第二象限內(nèi)，故本選項不合題意；故選：C．【點評】本題考查了關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)以及點的坐標(biāo)，掌握平面直角坐標(biāo)系中的點的坐標(biāo)特點是解答本題的關(guān)鍵．31．（2022秋?廣宗縣期末）若點A（a，3），B（2，﹣b）關(guān)于y軸對稱，則點M（a，b）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)“關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”求出a、b的值，即可得到結(jié)論．【解答】解：∵點A（a，3）、點B（2，﹣b）關(guān)于y軸對稱，∴a＝﹣2，﹣b＝3，解得：a＝﹣2，b＝﹣3，∴點M（a，b）在第三象限，故選：C．【點評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)以及各點所在象限的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標(biāo)規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；（3）關(guān)于原點對稱的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．32．（2022秋?扶溝縣校級期末）已知點M（a，3）和N（4，b）關(guān)于y軸對稱，則a﹣b＝﹣7．【分析】直接利用關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì)（橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變）得出a，b的值，進而得出答案．【解答】解：∵點M（a，3）和N（4，b）關(guān)于y軸對稱，∴a＝﹣4，b＝3，∴a﹣b＝﹣4﹣3＝﹣7．故答案為：﹣7．【點評】此題主要考查了關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì)，正確掌握橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．33．（2022秋?靈寶市期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點A（1+m，1﹣n）與點B（﹣1，2）關(guān)于y軸對稱，則m+n＝﹣1．【分析】關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變．直接利用關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì)得出m，n的值，進而得出答案．【解答】解：∵點A（1+m，1﹣n）與點B（﹣1，2）關(guān)于y軸對稱，∴m+1＝1，1﹣n＝2，解得：m＝0，n＝﹣1，∴m+n＝0﹣1＝﹣1．故答案為：﹣1．【點評】此題主要考查了關(guān)于y軸對稱點的特征，點P（x，y）關(guān)于y軸的對稱點P′的坐標(biāo)是（﹣x，y）．34．（2022秋?辛集市期末）規(guī)定：在平面直角坐標(biāo)系中，一個點作“0”變換表示將它向右平移一個單位，一個點作“1”變換表示將它關(guān)于x軸作對稱點，一個點作“2”變換表示將它關(guān)于y軸作對稱點．由數(shù)字0，1，2組成的序列表示一個點按照上面描述依次連續(xù)變換．例如：如圖，點A（﹣2，3）按序列“012”作變換，表示點A先向右平移一個單位得到A1（﹣1，3），再將A1（﹣1，3）關(guān)于x軸對稱得到A2（﹣1，﹣3），再將A2（﹣1，﹣3）關(guān)于y軸對稱得到A3（1，﹣3）…依次類推．點（1，1）經(jīng)過“012012012…”100次變換后得到點的坐標(biāo)為（）（注：“012”算3次變換）A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，﹣1）【分析】根據(jù)變換的定義解決問題即可．【解答】解：點B（1，1）按序列“012”作變換，表示點B先向右平移一個單位得到B1（2，1），再將A1（2，1）關(guān)于x軸對稱得到B2（2，﹣1），再將B2（2，﹣1）關(guān)于y軸對稱得到B3（﹣2，﹣1）…依次類推，點（1，1）經(jīng)過“012”變換得到點（﹣2，﹣1），點（﹣2，﹣1）經(jīng)過“012”變換得到點（1，1），說明經(jīng)過6次變換回到原來的位置，100÷6＝16……4，所以點（1，1）經(jīng)過“012012012…”100次變換后得到點的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）．故選：D．【點評】本題考查規(guī)律型：點的坐標(biāo)，平移變換，旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．35．（2022秋?金牛區(qū)校級期末）已知有序數(shù)對（a，b）及常數(shù)k，我們稱有序數(shù)對（ka+b，a﹣b）為有序數(shù)對（a，b）的“k階結(jié)伴數(shù)對”．如（3，2）的“1階結(jié)伴數(shù)”對為（1×3+2，3﹣2）即（5，1）．若有序數(shù)對（a，b）（b≠0）與它的“k階結(jié)伴數(shù)對”關(guān)于y軸對稱，則此時k的值為（）A．﹣2 B．﹣ C．0 D．﹣【分析】根據(jù)新定義可得：有序數(shù)對（a，b）（b≠0）的“k階結(jié)伴數(shù)對”是（ka+b，a﹣b），并根據(jù)y軸對稱：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，可列方程組，從而可解答．【解答】解：∵有序數(shù)對（a，b）（b≠0）的“k階結(jié)伴數(shù)對”是（ka+b，a﹣b），∴，解得：k＝﹣．故選：B．【點評】本題考查了解二元一次方程組，新定義“k階結(jié)伴數(shù)對”的理解和運用，能根據(jù)題意列出方程組是解此題的關(guān)鍵．36．（2022秋?寧波期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點A（﹣3，﹣4）平移后能與原來的位置關(guān)于y軸對稱，則應(yīng)把點A（）A．向左平移6個單位 B．向右平移6個單位 C．向下平移8個單位 D．向上平移8個單位【分析】關(guān)于y軸成軸對稱的兩個點的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，那么向右平移兩個橫坐標(biāo)差的絕對值即可．【解答】解：∵點A（﹣3，﹣4）平移后能與原來的位置關(guān)于y軸軸對稱，∴平移后的坐標(biāo)為（3，﹣4），∵橫坐標(biāo)增大，∴點是向右平移得到，平移距離為|3﹣（﹣3）|＝6．故選：B．【點評】本題考查了平移中點的變化規(guī)律及點關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的知識點，用到的知識點為：兩點關(guān)于y軸對稱，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；點的左右移動只改變點的橫坐標(biāo)．37．（2022秋?欽州期末）下列各點中，點M（1，﹣2）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是（）A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答．【解答】解：點M（1，﹣2）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為（1，2）．故選：A．【點評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標(biāo)規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．一十二．作圖軸對稱變換（共1小題）38．（2022秋?盱眙縣期末）△ABC在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，其中A（﹣3，5），B（﹣5，2），C（﹣1，3），直線l經(jīng)過點（0，1），并且與x軸平行，△A′B′C′與△ABC關(guān)于線1對稱．（1）畫出△A′B′C′，并寫出△A′B′C′三個頂點的坐標(biāo)：A'（﹣3，﹣3），B'（﹣5，0），C'（﹣1，﹣1）；（2）觀察圖中對應(yīng)點坐標(biāo)之間的關(guān)系，寫出點P（a，b）關(guān)于直線l的對稱點P′的坐標(biāo)：（a，2﹣b）；（3）若直線l′經(jīng)過點（0，m），并且與x軸平行，根據(jù)上面研究的經(jīng)驗，寫出點Q（c，d）關(guān)于直線l′的對稱點Q′的坐標(biāo)：（c，2m﹣d）．【分析】（1）分別作出各點關(guān)于直線l的對稱點，再順次連接即可；（2）根據(jù)（1）中各對應(yīng)點坐標(biāo)之間的關(guān)系即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)（2）中各對應(yīng)點坐標(biāo)之間的