期末提分練案復(fù)習(xí)1勾股定理3?？碱}型專練

勾股定理判定直角的五種常用方法方法1利用三邊的數(shù)量關(guān)系判定垂直1.

如圖，在正方形

ABCD

中，

E

是

BC

的中點(diǎn)，

F

在

AB

上，且

AF

∶

FB

＝3∶1.(1)請(qǐng)你判斷

EF

與

DE

的位置關(guān)系，

并說(shuō)明理由；23451

23451(2)若此正方形的面積為16，則

DF

的長(zhǎng)為

?.5

1.

如圖，在正方形

ABCD

中，

E

是

BC

的中點(diǎn)，

F

在

AB

上，且

AF

∶

FB

＝3∶1.23451方法2利用轉(zhuǎn)化為三角形法構(gòu)造直角三角形2.

如圖，△

ABC

的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格

點(diǎn)上.(1)∠

ABC

＋∠

ACB

＝

?；45°

23451(2)利用正方形網(wǎng)格，證明(1)中的結(jié)論.證明：如圖，延長(zhǎng)

BA

到格點(diǎn)

D

，連接

CD

，則

AD2＝12＋22＝5，

CD2＝12＋22＝5，

AC2＝12＋32＝10，所以

AD

＝

CD

，2.

如圖，△

ABC

的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格

點(diǎn)上.AD2＋

CD2＝

AC2.所以∠

ADC

＝90°.又因?yàn)?/p>

AD

＝

CD

，所以∠

DAC

＝∠

DCA

＝45°.所以∠

ABC

＋∠

ACB

＝∠

DAC

＝45°.23451方法3利用倍長(zhǎng)中線法構(gòu)造直角三角形3.

如圖，在△

ABC

中，

D

為

BC

的中點(diǎn)，

AB

＝5，

AD

＝

6，

AC

＝13.求證：

AB

⊥

AD

.

23451證明：如圖，延長(zhǎng)

AD

至點(diǎn)

E

，使

DE

＝

AD

，連接

BE

.

因?yàn)?/p>

D

為

BC

的中點(diǎn)，所以

CD

＝

BD

.

又因?yàn)?/p>

AD

＝

ED

，∠

ADC

＝∠

EDB

，所以△

ADC

≌△

EDB

(SAS).所以

BE

＝

CA

＝13.在△

ABE

中，

AE

＝2

AD

＝12，

AB

＝5，所以

AE2＋

AB2＝122＋52＝169.又因?yàn)?/p>

BE2＝132＝169，所以

AE2＋

AB2＝

BE2.所以△

ABE

是直角三角形，且∠

BAE

＝90°，即

AB

⊥

AD

.

23451

23451解：將△

ABP

繞

A

點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△

ACQ

，連接

PQ

，則

AQ

＝

AP

＝1，

CQ

＝

PB

＝3，∠

QAP

＝90°，所以

PQ2＝

AQ2＋

AP2＝2，且∠

QPA

＝45°.在△

CPQ

中，

PC2＋

PQ2＝7＋2＝9＝

CQ2，所以∠

QPC

＝90°.所以∠

CPA

＝∠

QPA

＋∠

QPC

＝135°.23451方法5利用“三線合一”法構(gòu)造直角三角形5.

如圖，在△

ABC

中，

CA

＝

CB

，∠

ACB

＝90°，

D

為

AB

的中點(diǎn)，

M

，

N

分別為

AC

，

BC

上的點(diǎn)，且

DM

⊥

DN

.

求證：

AB2＝2(

CM

＋

CN

)2.23451證明：如圖，連接

CD

，過(guò)點(diǎn)

D

作

DE

⊥

BC

于點(diǎn)

E

，則∠

DEC

＝∠

DEB

＝90°.因?yàn)?/p>

DM

⊥

DN

，所以∠

MDC

＋∠

CDN

＝90°.因?yàn)椤?/p>

ACB

＝90°，

AC

＝

BC

，

D

為

AB

的中點(diǎn)，所以

CD

⊥

AB

，∠

ACD

＝∠

BCD

＝45°，∠

A

＝∠

B

＝45°.所以∠

CDN

＋∠

NDB

＝90°.所以∠

MDC

＝∠

NDB

.

23451因?yàn)椤?/p>

BCD

＝∠

B

＝45°，∠

DEC

＝∠

DEB

，

DE

＝

DE

，所以△

DBE

≌△

DCE

.

所以

CD

＝

BD

.

所以△

CMD

≌△

BND

(ASA).所以

CM

＝

BN

.

所以