學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o（\s\up7（）,\s\do5（整體設計）)教學分析1．兩角和與差的正弦公式是在研究了兩角差的余弦公式的基礎上，進一步研究具有“兩角和差"關系的正弦公式的．在這些公式的推導中,教科書都把對照、比較有關的三角函數式，認清其區(qū)別，尋找其聯系和聯系的途徑作為思維的起點,如：比較cos(α－β)與cos(α＋β)，它們都是角的余弦，只是角形式不同，但不同角的形式從運算或換元的角度看都有內在聯系,即α＋β＝α－(－β）的關系，從而由公式Cα－β推得公式Cα＋β，又如：比較sin（α－β）與cos(α－β)，它們包含的角相同但函數名稱不同，這就要求進行函數名的互化，利用誘導公式（5）（6）即可推得公式Sα－β、Sα＋β等．2．通過對“兩角和與差的正弦公式”的推導，揭示了兩角和差的三角函數與這兩角的三角函數的運算規(guī)律，還使學生加深了數學公式的推導、證明方法的理解．因此本節(jié)內容也是培養(yǎng)學生運算能力和邏輯思維能力的重要內容,對培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)新能力,發(fā)現問題和解決問題的能力都有著十分重要的意義．3．本節(jié)的幾個公式是相互聯系的,其推導過程也充分說明了它們之間的內在聯系，讓學生深刻領會它們的這種聯系,從而加深對公式的理解和記憶．本節(jié)幾個例子主要目的是為了訓練學生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習慣,教學中應當有意識地對學生的思維習慣進行引導，例如，在面對問題時，要注意先認真分析條件,明確要求，再思考應該聯系什么公式，使用公式時要具備什么條件等；另外,還要重視思維過程的表述,不能只看最后結果而不顧過程表述的正確性、簡潔性等，這些都是培養(yǎng)學生三角恒等變換能力所不能忽視的．三維目標1．通過讓學生探索、發(fā)現并推導兩角和與差的正弦公式,了解它們之間的內在聯系,并通過強化題目的訓練,加深對公式的理解，培養(yǎng)學生的運算能力及邏輯推理能力．2．通過兩角和與差的正弦公式的運用，會進行簡單的求值、化簡、恒等證明，使學生深刻體會聯系變化的觀點,自覺地利用聯系變化的觀點來分析問題，提高學生分析問題解決問題的能力．3．通過本節(jié)學習，使學生掌握尋找數學規(guī)律的方法,提高學生的觀察分析能力，培養(yǎng)學生的應用意識，提升學生的數學素質．重點難點教學重點：兩角和與差的正弦公式的推導及運用．教學難點：靈活運用所學公式進行求值、化簡、證明．課時安排1課時eq\o(\s\up7(),\s\do5（教學過程）)導入新課思路1。(復習導入）教師先讓學生回顧上節(jié)課所推導的兩角和與差的余弦公式，并把公式默寫在黑板上（或打出幻燈)，注意有意識地讓學生寫整齊．然后教師引導學生觀察cos（α－β）與sin(α＋β)、sin(α－β)的內在聯系，進行由舊知推出新知的轉化過程，從而推導出Sα－β、Sα＋β。本節(jié)課我們共同研究公式的推導及其應用．思路2。（問題導入)教師出示問題，先讓學生計算以下幾個題目，既復習回顧上節(jié)所學公式,又為本節(jié)新課作準備．若sinα＝eq\f（\r（5)，5),α∈（0，eq\f(π,2）)，cosβ＝eq\f(\r（10），10)，β∈(0，eq\f（π,2)),求cos(α－β)，cos(α＋β）的值．學生利用公式Cα－β很容易求得cos(α－β)，從而引出新課題，并由此展開聯想新公式的探究．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究))eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出問題）)eq\a\vs4\al(你能根據所學知識推導出兩角和與差的正弦公式嗎?)活動：引導學生觀察思考幻燈中的兩角和與差的余弦公式，怎樣才能得到兩角和與差的正弦公式呢？我們利用什么公式來實現正、余弦的互化呢？學生可能有的想到利用誘導公式來化余弦為正弦（也有的想到利用同角的平方和關系式sin2α＋cos2α＝1來互化，這些想法都很好．鼓勵學生試一試．從誘導公式cos（eq\f(π，2)－α)＝sinα，sin(eq\f（π,2）－α)＝cosα，我們可以得到：sin(α＋β）＝cos［eq\f(π,2）－（α＋β）]＝cos[（eq\f(π,2)－α)－β]＝cos(eq\f(π,2)－α）cosβ＋sin(eq\f（π，2)－α)sinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ。在上述公式中β用－β代之，則sin（α－β)＝sin［α＋(－β)］＝sinαcos(－β)＋cosαsin（－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ。因此我們得到兩角和與差的正弦公式,分別簡記為Sα＋β、Sα－β.eq\x(\a\al（sinα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβSα＋β，sinα－β＝sinαcosβ－cosαsinβSα－β）)討論結果：略．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(應用示例)）思路1例1求sin75°,sin15°的值．活動:引導學生進行拆角轉化．本例直接應用公式，可由學生自己完成．解：sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝eq\f（\r（2）,2）·eq\f（\r（3)，2）＋eq\f(\r(2),2)·eq\f(1,2）＝eq\f（\r（6）＋\r（2),4）;sin15°＝sin(45°－30°）＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝eq\f（\r(2)，2)·eq\f（\r(3）,2）－eq\f(\r(2），2）·eq\f（1，2)＝eq\f(\r(6)－\r(2），4）。變式訓練1．已知cos(α－eq\f（π,6））＋sinα＝eq\f（4,5）eq\r(3）,則sin(α＋eq\f（7π，6))的值是（)A．－eq\f(2\r(3),5）B.eq\f（2\r（3),5）C．－eq\f（4，5）D.eq\f（4，5)答案：C2．已知sinα＝－eq\f（3,5)，α是第四象限角，求sin（eq\f(π，4）－α），cos(eq\f(π，4）＋α)的值．解：由sinα＝－eq\f(3，5)，α是第四象限角，得cosα＝eq\r（1－sin2α)＝eq\r（1－－\f(3,5）2）＝eq\f(4，5），于是有sin(eq\f（π，4）－α)＝sineq\f(π,4)cosα－coseq\f（π,4）sinα＝eq\f(\r(2)，2）×eq\f(4，5）－eq\f（\r(2),2）×(－eq\f（3,5)）＝eq\f（7\r(2）,10），cos(eq\f（π,4)＋α)＝coseq\f（π,4)cosα－sineq\f(π,4)sinα＝eq\f(\r（2)，2）×eq\f(4,5)－eq\f（\r(2）,2)×（－eq\f（3，5）)＝eq\f(7\r（2），10）。例2已知向量eq\o（OP,\s\up6(→））＝(3,4），逆時針旋轉45°到eq\o（OP′,\s\up6（→)）的位置．求點P′(x′，y′)的坐標(圖1）．解：設∠xOP＝α。圖1因為｜OP｜＝eq\r（32＋42)＝5,所以cosα＝eq\f（3,5),sinα＝eq\f（4,5）。又因為x′＝5cos(α＋45°)＝5（cosαcos45°－sinαsin45°)＝5（eq\f（3，5）·eq\f（\r(2),2）－eq\f（4，5）·eq\f（\r(2）,2））＝－eq\f(\r（2)，2），y′＝5sin(α＋45°）＝5(sinαcos45°＋cosαsin45°)＝5(eq\f（4，5)·eq\f(\r(2),2)＋eq\f(3，5)·eq\f(\r(2），2)）＝eq\f(7\r(2），2)，所以P′(－eq\f（\r(2),2)，eq\f(7\r(2），2））.變式訓練已知點P(x,y)，與原點的距離保持不變，逆時針旋轉θ角到點P′（x′，y′)（圖2）．求證：eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x′＝xcosθ－ysinθ，,y′＝xsinθ＋ycosθ.)）圖2證明：設∠xOP＝α，｜OP｜＝r，則cosα＝eq\f(x，r），sinα＝eq\f（y，r)。從而x′＝rcos（α＋θ)＝r（cosαcosθ－sinαsinθ)＝xcosθ－ysinθ,y′＝rsin(α＋θ）＝r（sinαcosθ＋cosαsinθ）＝xsinθ＋ycosθ，即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x′＝xcosθ－ysinθ，，y′＝xsinθ＋ycosθ.））例3求證：cosα＋eq\r(3）sinα＝2sin(eq\f(π，6）＋α)．活動：本題雖小但其意義很大,從形式上就可看出來，左邊是兩個函數，而右邊是一個函數，教師引導學生給予足夠的重視．對于此題的證明，學生首先想到的證法就是把等式右邊利用公式Sα＋β展開，化簡整理即可得到左邊，這是很自然的，教師要給予鼓勵．同時教師可以有目的的引導學生把等式左邊轉化為公式Sα＋β的右邊的形式，然后逆用公式化簡即可求得等式右邊的式子,這種證明方法不僅僅是方法的變化，更重要的是把兩個三角函數化為了一個三角函數．證明：方法一:右邊＝2(sineq\f(π，6）cosα＋coseq\f(π，6）sinα)＝2（eq\f（1，2）cosα＋eq\f(\r(3)，2）sinα）＝cosα＋eq\r（3）sinα＝左邊．方法二：左邊＝2（eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3)，2）sinα）＝2(sineq\f(π,6)cosα＋coseq\f（π,6）sinα)＝2sin(eq\f(π，6)＋α)＝右邊．點評:本題給出了兩種證法,方法一是正用公式的典例,而方法二則是逆用公式證明的，此法也給了我們一種重要的轉化方法，要求學生熟練掌握其精神實質．本例的證法二將左邊的系數1與eq\r（3）分別變?yōu)榱薳q\f（1，2）與eq\f（\r(3),2)，即輔助角eq\f(π，6)的正、余弦．關于形如asinx＋bcosx（a，b不同時為零)的式子引入輔助角變形為Asin（x＋φ)的形式，其基本想法是“從右向左”用和角的正弦公式,把它化成Asin（x＋φ）的形式．一般情況下，如果a＝Acosφ，b＝Asinφ,那么asinx＋bcosx＝A(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝Asin(x＋φ)．由sin2φ＋cos2φ＝1，可得:A2＝a2＋b2，A＝±eq\r（a2＋b2），不妨取A＝eq\r(a2＋b2）,于是得到cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)),sinφ＝eq\f(b，\r(a2＋b2))，因此asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，通過引入輔助角φ,可以將asinx＋bcosx這種形式的三角函數式化為一個角的一個三角函數的形式．化為這種形式可解決asinx＋bcosx的許多問題，比如值域、最值、周期、單調區(qū)間等．教師應提醒學生注意，這種引入輔助角的變換思想很重要,即把兩個三角函數化為了一個三角函數,實質上是消元思想，這樣就可以根據三角函數的圖象與性質來研究它的性質．因此在歷年高考試題中出現的頻率非常高,是三角部分中高考的熱點，再結合后續(xù)內容的倍角公式，在解答高考物理試題時也常常被使用，應讓學生領悟其實質并熟練地掌握它。變式訓練1．化簡下列各式:（1)eq\r（3）sinx＋cosx;（2）eq\r(2)cosx－eq\r（6）sinx.解：(1）原式＝2（eq\f（\r(3),2)sinx＋eq\f（1，2）cosx)＝2（coseq\f(π，6)sinx＋sineq\f（π，6）cosx)＝2sin（x＋eq\f（π,6)）．（2)原式＝2eq\r（2)（eq\f（1，2）cosx－eq\f（\r（3），2)sinx）＝2eq\r(2）(sineq\f（π,6）cosx－coseq\f（π，6）sinx）＝2eq\r(2)sin（eq\f(π,6)－x）。2。求函數y＝asinx＋bcosx的最大值、最小值和周期，其中a，b是不同時為零的實數．解：考察以（a，b）為坐標的點P（a，b）（圖3），設以OP為終邊的一個角為θ，則cosθ＝eq\f（a，\r(a2＋b2)），sinθ＝eq\f（b，\r(a2＋b2)）。圖3于是y＝eq\r(a2＋b2)(eq\f（a,\r(a2＋b2））sinx＋eq\f（b，\r（a2＋b2））cosx）＝eq\r（a2＋b2)(cosθsinx＋sinθcosx)＝eq\r(a2＋b2）sin(x＋θ),其中cosθ＝eq\f（a，\r(a2＋b2）），sinθ＝eq\f(b,\r（a2＋b2）).所以函數y＝asinx＋bcosx的最大值是eq\r（a2＋b2),最小值是－eq\r(a2＋b2)，周期是2π.思路2例1若sin(eq\f(3π，4）＋α）＝eq\f（5,13），cos(eq\f（π，4）－β)＝eq\f(3，5），且0〈α<eq\f(π，4）〈β<eq\f(3π，4），求cos(α＋β）的值．活動：本題是一個典型的變角問題，也是一道經典例題，對訓練學生的運算能力以及邏輯思維能力很有價值．盡管學生思考有點難度，但教師仍可放手讓學生探究討論,教師不可直接給出解答．對于探究不出的學生,教師可恰當點撥引導，指導學生解決問題的關鍵是尋找所求角與已知角的內在聯系,引導學生理清所求的角與已知角的關系,觀察選擇應該選用哪個公式進行求解，同時也要特別提醒學生注意：在求有關角的三角函數值時，要特別注意確定準角的范圍，準確地判斷好三角函數符號，這是解決這類問題的關鍵．學生完全理清思路后，教師應指導學生的規(guī)范書寫，并熟練掌握它．對于程度比較好的學生可讓其擴展本題，或變化條件，或變換所求的結論等．如教師可變換α,β角的范圍,進行一題多變訓練，提高學生靈活應用公式的能力，因此教師要充分利用好這個例題的訓練價值．解：∵0〈α<eq\f(π,4)〈β〈eq\f(3π,4），∴eq\f(3π，4)<eq\f(3π，4）＋α〈π,－eq\f(π,2)〈eq\f(π,4）－β〈0.又已知sin(eq\f（3π,4）＋α)＝eq\f（5,13），cos(eq\f（π,4)－β）＝eq\f（3,5)，∴cos(eq\f(3π，4)＋α)＝－eq\f(12，13)，sin(eq\f(π，4)－β）＝－eq\f（4，5）?！郼os（α＋β)＝sin［eq\f(π，2)＋（α＋β)］＝sin[(eq\f(3π,4)＋α)－（eq\f（π，4）－β）］＝sin(eq\f（3π,4）＋α)cos(eq\f（π,4）－β)－cos（eq\f(3π，4)＋α）sin(eq\f（π,4)－β)＝eq\f（5,13)×eq\f(3,5)－（－eq\f（12，13））×(－eq\f(4，5)）＝－eq\f(33,65).點評：本題是典型的變角問題，即把所求角利用已知角來表示,實際上就是化歸思想．這需要巧妙地引導，充分讓學生自己動手進行角的變換，培養(yǎng)學生靈活運用公式的能力。變式訓練已知α，β∈（eq\f（3π，4）,π），sin(α＋β)＝－eq\f（3，5),sin(β－eq\f(π,4））＝eq\f(12,13），求cos（α＋eq\f(π,4)）的值．解:∵α，β∈(eq\f(3π,4),π），sin（α＋β）＝－eq\f(3，5)，sin（β－eq\f（π,4））＝eq\f(12，13),∴eq\f(3π，2)<α＋β〈2π，eq\f（π，2)<β－eq\f（π，4)<eq\f(3π，4）?！郼os（α＋β)＝eq\f（4,5)，cos（β－eq\f(π,4)）＝－eq\f(5,13）.∴cos(α＋eq\f（π，4））＝cos［（α＋β)－(β－eq\f（π,4））］＝cos(α＋β）cos(β－eq\f(π，4))＋sin(α＋β）sin(β－eq\f（π,4）)＝eq\f（4,5)×（－eq\f(5,13))＋(－eq\f（3，5)）×eq\f(12,13）＝－eq\f(56,65)。例2化簡eq\f(sinα－β,sinαsinβ）＋eq\f（sinβ－θ,sinβsinθ)＋eq\f（sinθ－α，sinθsinα).解：原式＝eq\f（sinαcosβ－cosαsinβ，sinαsinβ)＋eq\f(sinβcosθ－cosβsinθ,sinβsinθ）＋eq\f（sinθcosα－cosθsinα，sinθsinα)＝eq\f（sinαcosβsinθ－cosαsinβsinθ,sinαsinβsinθ)＋eq\f(sinαsinβcosθ－sinαcosβsinθ，sinαsinβsinθ）＋eq\f（sinθsinβcosα－cosθsinβsinα,sinθsinβsinα)＝eq\f（0，sinθsinβsinα）＝0.變式訓練化簡eq\f(sinα＋β－2sinαcosβ,2sinαsinβ＋cosα＋β）。解:原式＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ－2sinαcosβ,2sinαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ）＝eq\f（cosαsinβ－sinαcosβ,sinαsinβ＋cosαcosβ)＝eq\f(sinβ－α，cosβ－α)＝tan(β－α)。例3已知三個電流瞬時值的函數式分別是I1＝eq\r（2)sinωt,I2＝2sin(ωt－45°）,I3＝4sin(ωt＋45°)．求它們合成后的電流瞬時值的函數式，并指出這個函數的振幅和初相．解：I＝I1＋I2＋I3＝eq\r(2)sinωt＋2sin（ωt－45°)＋4sin(ωt＋45°）＝eq\r（2)sinωt＋2（sinωtcos45°－cosωtsin45°）＋4(sinωtcos45°＋cosωtsin45°)＝4eq\r(2）sinωt＋eq\r（2)cosωt＝eq\r（34）(eq\f（4,\r(17))sinωt＋eq\f（1,\r（17)）cosωt）＝eq\r（34)(sinωtcosθ＋cosωtsinθ）＝eq\r(34）sin(ωt＋θ），其中θ＝arctaneq\f（1，4）≈14°2′。所以I＝eq\r(34)sin（ωt＋14°2′),振幅為eq\r(34)，初相為14°2′。點評：由本例可知：幾個振幅和初相不同，但頻率相同的正弦波之和，總是等于另一個具有相同頻率的正弦波，同時可求得這個正弦波的振幅和初相．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課堂小結）)1．先由學生回顧本節(jié)課都學到了哪些數學知識和數學方法，有哪些收獲與提高，在公式推導中你悟出了什么樣的數學思想？對于公式應如何對比記憶？其中正切公式的應用有什么條件限制?怎樣用公式進行簡單三角函數式的化簡、求值與恒等式證明．2．教師畫龍點睛：我們本節(jié)課要理解并掌握兩角和與差的正弦公式及其推導，明白從已知推得未知，理解數學中重要的數學思想—-“轉化思想”，并要正確熟練地運用公式解題．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（作業(yè)）)1．課本本節(jié)練習B組1～4。2．已知函數f（x)＝2sineq\f（x，4)coseq\f(x,4）－2eq\r（3)sin2eq\f(x，4)＋eq\r（3）。（1)求函數f(x)的最小正周期及最值;(2）令g（x）＝f(x＋eq\f（π,3）），判斷函數g(x）的奇偶性，并說明理由．解：（1）∵f(x）＝sineq\f（x,2)＋eq\r（3)(1－2sin2eq\f（x，4)）＝sineq\f（x，2)＋eq\r(3）coseq\f(x,2）＝2sin(eq\f(x，2)＋eq\f（π,3))，∴f（x)的最小正周期T＝eq\f(2π，\f(1,2）)＝4π.當sin（eq\f(x,2)＋eq\f(π，3）)＝－1時,f(x)取得最小值－2；當sin（eq\f(x,2)＋eq\f(π,3)）＝1時,f（x)取得最大值2.(2）由（1）知f（x）＝2sin(eq\f(x，2）＋eq\f(π,3）)，又g（x）＝f(x＋eq\f（π，3））,∴g（x）＝2sin［eq\f(1，2）(x＋eq\f（π，3）)＋eq\f(π，3)］＝2sin(eq\f（x，2）＋eq\f（π，2）)＝2coseq\f（x,2)。∴g（－x)＝2cos(－eq\f（x,2））＝2coseq\f（x，2)＝g（x)．∴函數g(x）是偶函數．eq\o（\s\up7(），\s\do5(設計感想）)1．本節(jié)課是典型的公式教學模式，本節(jié)課是在兩角差的余弦公式的基礎上進行的，因此本教案的設計流程是“提出問題→轉化推導→分析記憶→應用訓練”；引導學生利用舊知識推導、證明新知識，并學會記憶公式的方法，靈活運用公式解決實際問題，從而使學生領會了數學中重要的數學思想--“轉化思想”，并培養(yǎng)他們主動利用“轉化思想”指導探索解決數學問題的能力．2．縱觀本教案的設計,知識點集中，容量較大，重點是公式的推導證明、記憶以及簡單的應用等，通過本節(jié)的學習,使學生深刻理解公式的推導證明方法,熟練會用公式解決簡單的問題．同時教給學生發(fā)現規(guī)律，探索推導，獲取新知的方法,讓他們真正體驗到自己發(fā)現探索數學知識的喜悅和成功感．eq\o（\s\up7（)，\s\do5(備課資料））一、三角函數知識口訣三角函數是函數，象限符號坐標注；函數圖象單位圓,周期奇偶增減現．同角關系很重要，化簡證明都需要；同角僅是正余切，平方商除有技巧．誘導公式就是好,負化正后大化?。蛔兂射J角好查表，化簡證明少不了．三角公式就是美，二的一半整數倍；千變萬化有規(guī)律，奇數化余偶不變．將其后者視銳角，符號原來函數判；兩角和的余弦值，化為單角好求值．計算證明角先行，注意結構函數名;保持基本量不變,繁難向著簡易變．換角變形眾公式，抓住角的相對性；公式雖多巧記憶，互余角度變名稱．二、備用習題1．在△ABC中，sinAsinB〈cosAcosB,則△ABC是（）A．直角三角形B．鈍角三角形C．銳角三角形D．等腰三角形2.eq\r(3)coseq\f(π，12)－sineq\f（π,12）的值是()A．0B．－eq\r（2)C.eq\r（2)D．23．在△ABC中，有關系式tanA＝eq\f(cosB－cosC，sinC－sinB)成立，則△ABC為（)A．等腰三角形B．A＝60°的三角形C．等腰三角形或A＝60°的三角形D．不能確定4．若cos（α－β)＝eq\f(1,3），cosβ＝eq\f(3,4)，α－β∈（0,eq\f(π，2））,β∈(0，eq\f(π,2））,則有(）A．α∈（0，eq\f（π，2）)B．α∈（eq\f(π,2）,π）C．α∈（－eq\f(π,2），0)D．α＝eq\f（π,2）5．求值：eq\f（2cos5°－sin25°，cos25°)＝__________。6．若sinα·sinβ＝1，則cosα·cosβ＝__________。7．已知cos(α＋β）＝e