PAGE課時作業(yè)28數(shù)列的概念與簡潔表示法[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．?dāng)?shù)列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一個通項(xiàng)公式是an等于()A.eq\f((－1)n＋1,2)B．coseq\f(nπ,2)C．coseq\f(n＋1,2)πD．coseq\f(n＋2,2)π2．[2024·重慶一中測試]已知數(shù)列{an}滿意a1＝1，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an(n≥2，n∈N*)，則{an}(n≥2)的通項(xiàng)公式為an＝()A．2n－1B．2n－2C．2n＋1－3D．3－2n3．[2024·甘肅蘭州檢測]已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋3n(n≥2，n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝()A.eq\f(3n＋1－9,2)B.eq\f(3n＋1－7,2)C.eq\f(3n－7,2)D.eq\f(3n－9,2)4．[2024·天津一中月考]在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，a1＝2，aeq\o\al(2,n＋1)－2an＋1an－3aeq\o\al(2,n)＝0，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，若Sn＝242，則n＝()A．5B．6C．7D．85．[2024·湖北武漢武昌試驗(yàn)中學(xué)月考]兩千多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上探討數(shù)學(xué)問題．他們在沙灘上畫出點(diǎn)或用小石子表示數(shù)，依據(jù)點(diǎn)或小石子能排列的形態(tài)對數(shù)進(jìn)行分類，如下圖中實(shí)心點(diǎn)的個數(shù)依次為5,9,14,20，…，這樣的一組數(shù)被稱為梯形數(shù)，記此數(shù)列為{an}，則()A．a(chǎn)n＋1＋an＝n＋2B．a(chǎn)n＋1－an＝n＋2C．a(chǎn)n＋1＋an＝n＋3D．a(chǎn)n＋1－an＝n＋36．[2024·吉林遼源月考]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，且Sn－Sn＋1＝Sn·Sn＋1(n∈N*)，則Sn＝()A．nB．n＋1C.eq\f(1,n)D.eq\f(1,n＋1)7．[2024·上海第七中學(xué)月考]在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，且數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿意4Sn＋1－3Sn＝4，n∈N*，則an＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n－1B.eq\f(3n,4n－1)C．4－eq\f(3n,4n－1)D．4＋eq\f(3n,4n－1)8．[2024·遼寧錦州八中月考]已知數(shù)列{an}滿意：a1＝eq\f(1,7)，對隨意正整數(shù)n，an＋1＝eq\f(7,2)an(1－an)，則a2024－a2024＝()A.eq\f(4,7)B.eq\f(3,7)C．－eq\f(4,7)D．－eq\f(3,7)9．[2024·山西河津二中月考]設(shè)數(shù)列{an}滿意a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝eq\f(n,2)(n∈N*)，則{an}的通項(xiàng)公式為an＝()A.eq\f(1,2n)B.eq\f(1,2n－1)C.eq\f(1,2n)D.eq\f(1,2n＋1)10．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－2λn(n∈N*)，則“λ<1”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件二、填空題11．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n,n＋1)，那么這個數(shù)列是________數(shù)列．(填“遞增”或“遞減”或“搖擺”)12．[2024·湖北八校聯(lián)考]已知數(shù)列{an}滿意an＝2an－1＋2n－1(n∈N*，n≥2)，若a4＝65，則a1＝________.13．[2024·遼寧大連檢測]數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n，則an＝________.14．[2024·湖北武漢部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考]已知an＝eq\f(n－7,n－5\r(2))(n∈N*)，設(shè)am為數(shù)列{an}的最大項(xiàng)，則m＝________.[實(shí)力挑戰(zhàn)]15．[2024·黑龍江哈師大附中月考]設(shè)數(shù)列{an}滿意a1＝2，且對隨意正整數(shù)n，總有(an＋1－1)(1－an)＝2an成立，則數(shù)列{an}的前2024項(xiàng)的乘積為()A.eq\f(1,2)B．1C．2D．316．[2024·福建泉州一中檢測]已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((3－a)n－3，n≤7，,an－6，n>7))(n∈N*)，若{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(3,6)B．(1,2)C．(1,3)D．(2,3)17．[2024·開封市模擬考試]若數(shù)列{an}滿意a2－eq\f(1,2)a1＜a3－eq\f(1,2)a2＜…＜an－eq\f(1,2)an－1＜…，則稱數(shù)列{an}為“差半遞增”數(shù)列．若數(shù)列{an}為“差半遞增”數(shù)列，且其通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn滿意Sn＝2an＋2t－1(n∈N*)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________．課時作業(yè)281．解析：令n＝1,2,3，…，逐一驗(yàn)證四個選項(xiàng)，易得D項(xiàng)正確．答案：D2．解析：∵Sn＝2an(n≥2，n∈N*)，∴n≥3時，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥3)，易得a2＝1，∴an＝2n－2(n≥2)，故選B項(xiàng)．答案：B3．解析：∵a1＝1，an＝an－1＋3n(n≥2，n∈N*)，∴a2－a1＝32，a3－a2＝33，a4－a3＝34，…，an－an－1＝3n，累加得an－1＝32＋33＋…＋3n，∴an＝eq\f(3n＋1－7,2)，故選B項(xiàng)．答案：B4．解析：由aeq\o\al(2,n＋1)－2an＋1an－3aeq\o\al(2,n)＝0，得(an＋1－3an)(an＋1＋an)＝0，即an＋1＝3an或an＋1＝－an，又{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，所以an＋1＝3an.因?yàn)閍1＝2，an＋1＝3an，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，則由Sn＝eq\f(2(1－3n),1－3)＝242，解得n＝5，故選A項(xiàng)．答案：A5．解析：由已知可得a2－a1＝4，a3－a2＝5，a4－a3＝6，…，由此可以得到an＋1－an＝n＋3.故選D項(xiàng)．答案：D6．解析：∵Sn－Sn＋1＝Sn·Sn＋1(n∈N*)，∴eq\f(1,Sn＋1)－eq\f(1,Sn)＝1.∵a1＝1，∴eq\f(1,S1)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，∴eq\f(1,Sn)＝n，∴Sn＝eq\f(1,n)，故選C項(xiàng)．答案：C7．解析：∵4Sn＋1－3Sn＝4，∴Sn＋1－4＝eq\f(3,4)(Sn－4)，∴{Sn－4}是公比為eq\f(3,4)的等比數(shù)列，又a1＝1，∴S1－4＝－3，∴Sn－4＝－eq\f(3n,4n－1)，∴Sn＝4－eq\f(3n,4n－1)，∴n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n－1，又a1＝1滿意上式，∴對一切n∈N*，an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n－1，故選A項(xiàng)．答案：A8．解析：∵a1＝eq\f(1,7)，an＋1＝eq\f(7,2)an(1－an)，∴a2＝eq\f(3,7)，a3＝eq\f(6,7)，a4＝eq\f(3,7)，a5＝eq\f(6,7)，…，∴n≥2時，{an}的奇數(shù)項(xiàng)為eq\f(6,7)，偶數(shù)項(xiàng)為eq\f(3,7)，∴a2019－a2018＝eq\f(6,7)－eq\f(3,7)＝eq\f(3,7)，故選B項(xiàng)．答案：B9．解析：∵a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝eq\f(n,2)(n∈N*)，∴易知n≥2時，2n－1an＝eq\f(1,2)，又a1＝eq\f(1,2)，∴對一切n∈N*,2n－1an＝eq\f(1,2)，∴an＝eq\f(1,2n)，故選C項(xiàng)．答案：C10．解析：若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ對隨意的n∈N*都成立，于是有3>2λ，λ<eq\f(3,2).由λ<1可推得λ<eq\f(3,2)，但反過來，由λ<eq\f(3,2)不能得到λ<1，因此“λ<1”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的充分不必要條件，故選A.答案：A11．解析：法一令f(x)＝eq\f(x,x＋1)，則f(x)＝1－eq\f(1,x＋1)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．法二∵an＋1－an＝eq\f(n＋1,n＋2)－eq\f(n,n＋1)＝eq\f(1,(n＋1)(n＋2))>0，∴an＋1>an，∴數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．答案：遞增12．解析：∵an＝2an－1＋2n－1(n∈N*，n≥2)，a4＝65，∴2a3＋24－1＝65，得a3＝25，∴2a2＋23－1＝25，得a2＝9，∴2a1＋22－1＝9，得a1＝3.答案：313．解析：∵Sn＝2n，∴n≥2時，an＝2n－2n－1＝2n－1，又a1＝2，不滿意上式，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,2n－1，n≥2.))答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,2n－1，n≥2))14．解析：an＝eq\f(n－7,n－5\r(2))＝1＋eq\f(5\r(2)－7,n－5\r(2))(n∈N*)，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)n≤7或n≥8時，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列．因?yàn)楫?dāng)n≤7時，an<1，當(dāng)n≥8時，an>1，所以a8為最大項(xiàng)，可知m＝8.答案：815．解析：由題意，知1－an≠0，所以an＋1＝1＋eq\f(2an,1－an).又a1＝2，所以a2＝1＋eq\f(2a1,1－a1)＝－3，a3＝1＋eq\f(2a2,1－a2)＝－eq\f(1,2)，a4＝1＋eq\f(2a3,1－a3)＝eq\f(1,3)，a5＝1＋eq\f(2a4,1－a4)＝2＝a1，….由此可得數(shù)列{an}是周期為4的數(shù)列．又a1a2a3a4＝1，所以數(shù)列{an}的前2024項(xiàng)的乘積為(a1a2a3a4)504·a1a2a3＝2×(－3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3.故選D.答案：D16．解析：∵數(shù)列{an}是遞增數(shù)列且an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((3－a)n－3，n≤7，,an－6，n>7，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－a>0，,a>1，,7(3－a)－3<a2，))解得2<a<3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,3)，故選D.答案：D17．解析：由題意知，Sn＝2an＋2t－1①，當(dāng)n＝1時，a1＝2a1＋2t－1，得a1＝1－2t；