人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE18．3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)課標(biāo)要求素養(yǎng)要求了解隨機(jī)變量χ2的意義，通過對典型案例分析，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和方法.通過運(yùn)用列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).新知探究山東省教育廳大力推行素質(zhì)教育，增加了高中生的課外活動時間，某校調(diào)查了學(xué)生的課外活動方式，結(jié)果整理成下表：問題如何判定“喜歡體育還是文娛與性別是否有聯(lián)系”？〖提示〗可通過表格與圖形進(jìn)行直觀分析，也可通過統(tǒng)計分析定量判斷．1.臨界值χ2統(tǒng)計量也可以用來作相關(guān)性的度量．χ2越小說明變量之間越獨(dú)立，χ2越大說明變量之間越相關(guān)χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).忽略χ2的實(shí)際分布與該近似分布的誤差后，對于任何小概率值α，可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立．我們稱xα為α的臨界值，這個臨界值就可作為判斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn)．2．獨(dú)立性檢驗(yàn)基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯誤的概率不超過α；當(dāng)χ2＜xα?xí)r，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立．這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡稱獨(dú)立性檢驗(yàn)(testofindependence)．下表給出了χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8283.應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題的大致步驟(1)提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨(dú)立，并給出在問題中的解釋；(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計算χ2的值，并與臨界值xα比較；(3)根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論；(4)在X和Y不獨(dú)立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律．拓展深化〖微判斷〗1．概率值α越小，臨界值xα越大．(√)2．獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想類似于反證法．(√)3．獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論是有多大的把握認(rèn)為兩個分類變量有關(guān)系．(√)〖微訓(xùn)練〗1．如果根據(jù)小概率α＝0.01的χ2檢測試驗(yàn)，認(rèn)為H0成立，那么具體算出的數(shù)據(jù)滿足()附表：α0.050.0250.0100.0050.001xα3.8415.0246.6357.87910.828A.χ2＞6.635 B．χ2＞5.024C．χ2＞7.879 D．χ2＞3.841〖答案〗A2．某校為了研究“學(xué)生的性別”和“對待某一活動的態(tài)度”是否有關(guān)，運(yùn)用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計算χ2＝7.069，則認(rèn)為“學(xué)生性別與支持某項(xiàng)活動有關(guān)系”的犯錯誤的概率不超過()A．0.1% B．1%C．99% D．99.9%〖解析〗∵χ2＝7.069>6.635＝x0.01，∴認(rèn)為“學(xué)生性別與支持某項(xiàng)活動有關(guān)系”的犯錯誤的概率不超過1%.〖答案〗B〖微思考〗1．有人說：“在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙和患肺病有關(guān)，是指每100個吸煙者中就會有99個患肺病的．”你認(rèn)為這種觀點(diǎn)正確嗎？為什么？〖提示〗觀點(diǎn)不正確．犯錯誤的概率不超過0.01說明的是吸煙與患肺病有關(guān)的程度，不是患肺病的百分?jǐn)?shù)．2．應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想對兩個變量間的關(guān)系作出的推斷一定是正確的嗎？〖提示〗不一定．所有的推斷只代表一種可能性，不代表具體情況．題型一有關(guān)“相關(guān)的檢驗(yàn)”〖例1〗某校對學(xué)生課外活動進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果整理成下表，用你所學(xué)過的知識進(jìn)行分析，能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為“喜歡體育還是文娛與性別有關(guān)系”？體育文娛合計男生212344女生62935合計275279解零假設(shè)為H0：喜歡體育還是喜歡文娛與性別沒有關(guān)系∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79，∴χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝eq\f(79×（21×29－23×6）2,44×35×27×52)≈8.106>7.879＝x0.005.根據(jù)小概率值α＝0.005的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為喜歡體育還是喜歡文娛與性別有關(guān)系，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005.規(guī)律方法獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體做法①根據(jù)實(shí)際問題的需要確定允許推斷“兩個分類變量有關(guān)系”犯錯誤的概率的上界α，然后查表確定臨界值xα.②利用公式χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)計算χ2.③如果χ2＞xα，則“X與Y有關(guān)系”這種推斷犯錯誤的概率不超過α；否則，就認(rèn)為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠的證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”．〖訓(xùn)練1〗打鼾不僅影響別人休息，而且可能與患某種疾病有關(guān)．下表是一次調(diào)查所得的數(shù)據(jù)：患心臟病未患心臟病合計每一晚都打鼾30224254不打鼾2413551379合計5415791633根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為每一晚都打鼾與患心臟病有關(guān)系？解零假設(shè)為H0：打鼾與患心臟病無關(guān)系由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得χ2＝eq\f(1633×（30×1355－224×24）2,254×1379×54×1579)≈68.033>10.828＝x0.001.根據(jù)小概率值α＝0.001的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為打鼾與患心臟病有關(guān)系，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.題型二有關(guān)“無關(guān)的檢驗(yàn)”〖例2〗為了探究學(xué)生選報文、理科是否與對外語的興趣有關(guān)，某同學(xué)調(diào)查了361名高二在校學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如下：理科生對外語有興趣的有138人，無興趣的有98人，文科生對外語有興趣的有73人，無興趣的有52人．試分析學(xué)生選報文、理科與對外語的興趣是否有關(guān)？解零假設(shè)為H0：選報文、理科與對外語的興趣無關(guān)．列出2×2列聯(lián)表理文合計有興趣13873211無興趣9852150合計236125361代入公式得χ2的觀測值χ2＝eq\f(361×（138×52－73×98）2,236×125×211×150)≈1.871×10－4.∵1.871×10－4＜2.706＝x0.1，根據(jù)小概率值α＝0.1的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，即選報文、理科與對外語的興趣無關(guān).規(guī)律方法獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)注點(diǎn)在2×2列聯(lián)表中，如果兩個分類變量沒有關(guān)系，則應(yīng)滿足ad－bc≈0，因此|ad－bc|越小，關(guān)系越弱；|ad－bc|越大，關(guān)系越強(qiáng)．〖訓(xùn)練2〗某教育機(jī)構(gòu)為了研究成年人具有大學(xué)專科以上學(xué)歷(包括大學(xué)?？?和對待教育改革態(tài)度的關(guān)系，隨機(jī)抽取了392名成年人進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示：積極支持教育改革不太贊成教育改革合計大學(xué)專科以上學(xué)歷39157196大學(xué)?？埔韵聦W(xué)歷29167196合計68324392對于教育機(jī)構(gòu)的研究項(xiàng)目，根據(jù)上述數(shù)據(jù)能得出什么結(jié)論？解零假設(shè)為H0：成年人具有大學(xué)專科以上學(xué)歷(包括大學(xué)?？?和對待教育改革態(tài)度無關(guān)．根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算得χ2＝eq\f(392×（39×167－157×29）2,196×196×68×324)≈1.78.因?yàn)?.78<2.706＝x0.1，根據(jù)小概率值α＝0.1的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，所以我們沒有理由說成年人具有大學(xué)?？埔陨蠈W(xué)歷(包括大學(xué)?？?和對待教育改革態(tài)度有關(guān)．題型三獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用〖例3〗某高校共有學(xué)生15000人，其中男生10500人，女生4500人．為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間的情況，采用分層隨機(jī)抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間(單位：時)的樣本數(shù)據(jù)．(1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？(2)根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間的頻率分布直方圖(如圖)，其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為〖0，2〗，(2，4〗，(4，6〗，(6，8〗，(8，10〗，(10，12〗．估計該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間超過4小時的概率．(3)在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運(yùn)動時間超過4小時，請完成每周平均體育運(yùn)動時間與性別的列聯(lián)表，并判斷是否認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動時間與性別有關(guān)”．附：α0.1000.0500.0100.005xα2.7063.8416.6357.879χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).解(1)由分層隨機(jī)抽樣可得300×eq\f(4500,15000)＝90，所以應(yīng)收集90位女生的樣本數(shù)據(jù)．(2)由頻率分布直方圖得學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間超過4小時的頻率為1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間超過4小時的概率的估計值為0.75.(3)由(2)知，300位學(xué)生中有300×0.75＝225(人)的每周平均體育運(yùn)動時間超過4小時，75人的每周平均體育運(yùn)動時間不超過4小時．樣本數(shù)據(jù)中有210份是關(guān)于男生的，90份是關(guān)于女生的，可得每周平均體育運(yùn)動時間與性別的列聯(lián)表如下：男生女生合計每周平均體育運(yùn)動時間不超過4小時453075每周平均體育運(yùn)動時間超過4小時16560225合計21090300零假設(shè)為H0：該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動時間與性別無關(guān)．結(jié)合列聯(lián)表可算得χ2＝eq\f(300×（45×60－30×165）2,75×225×210×90)≈4.762>3.841＝x0.05.根據(jù)小概率值α＝0.1的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動時間與性別有關(guān)”，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.規(guī)律方法(1)解答此類題目的關(guān)鍵在于正確利用χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)計算χ2的值，再用它與臨界值xα的大小作比較來判斷假設(shè)檢驗(yàn)是否成立，從而使問題得到解決．(2)此類題目規(guī)律性強(qiáng)，解題比較格式化，填表計算分析比較即可，要熟悉其計算流程，不難理解掌握．〖訓(xùn)練3〗某校高三年級在一次全年級的大型考試中，數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學(xué)生中，物理、化學(xué)、總分成績優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示，能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分成績優(yōu)秀有關(guān)系？物理優(yōu)秀化學(xué)優(yōu)秀總分優(yōu)秀數(shù)學(xué)優(yōu)秀228225267數(shù)學(xué)非優(yōu)秀14315699注：該年級在此次考試中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的有360人，非優(yōu)秀的有880人．解零假設(shè)為H0：數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分成績優(yōu)秀都無關(guān)系．列出數(shù)學(xué)成績與物理成績的2×2列聯(lián)表如下：物理優(yōu)秀物理非優(yōu)秀合計數(shù)學(xué)優(yōu)秀228132360數(shù)學(xué)非優(yōu)秀143737880合計3718691240將表中數(shù)據(jù)代入公式，得χeq\o\al(2,1)＝eq\f(1240×（228×737－132×143）2,360×880×371×869)≈270.1>10.828＝x0.001.列出數(shù)學(xué)成績與化學(xué)成績的2×2列聯(lián)表如下：化學(xué)優(yōu)秀化學(xué)非優(yōu)秀合計數(shù)學(xué)優(yōu)秀225135360數(shù)學(xué)非優(yōu)秀156724880合計3818591240將表中數(shù)據(jù)代入公式，得χeq\o\al(2,2)＝eq\f(1240×（225×724－156×135）2,360×880×381×859)≈240.6>10.828＝x0.001.列出數(shù)學(xué)成績與總分成績的2×2列聯(lián)表如下：總分優(yōu)秀總分非優(yōu)秀合計數(shù)學(xué)優(yōu)秀26793360數(shù)學(xué)非優(yōu)秀99781880合計3668741240將表中數(shù)據(jù)代入公式，得χeq\o\al(2,3)＝eq\f(1240×（267×781－93×99）2,360×880×366×874)≈486.1>10.828＝x0.001.根據(jù)小概率值α＝0.001的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分成績優(yōu)秀都有關(guān)系，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．對獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于數(shù)學(xué)中的反證法．先假設(shè)“兩個分類變量沒有關(guān)系”成立，計算χ2的值，如果χ2值很大，說明假設(shè)不合理，χ2越大，兩個分類變量有關(guān)系的可能性越大．二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．對兩個分類變量A，B的下列說法中正確的個數(shù)為()①A與B無關(guān)，即A與B互不影響；②A與B關(guān)系越密切，則χ2的值就越大；③χ2的大小是判定A與B是否相關(guān)的唯一依據(jù)A．0 B．1C．2 D．3〖解析〗①正確，A與B無關(guān)即A與B相互獨(dú)立；②不正確，χ2的值的大小只是用來檢驗(yàn)A與B是否相互獨(dú)立；③不正確，例如借助三維柱形圖、二維條形圖等．故選B.〖答案〗B2．高二第二學(xué)期期中考試，按照甲、乙兩個班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀和及格統(tǒng)計人數(shù)后，得到如下列聯(lián)表：優(yōu)秀及格合計甲班113445乙班83745合計197190則χ2的觀測值約為()A．0.600 B．0.828C．2.712 D．6.004〖解析〗根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得χ2＝eq\f(90×（11×37－34×8）2,45×45×19×71)≈0.600.故選A.〖答案〗A3．考察棉花種子經(jīng)過處理跟生病之間的關(guān)系得到下表數(shù)據(jù)：種子處理種子未處理合計得病32101133不得病61213274合計93314407根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可得出()A．種子是否經(jīng)過處理跟是否生病有關(guān)B．種子是否經(jīng)過處理跟是否生病無關(guān)C．種子是否經(jīng)過處理決定是否生病D．以上都是錯誤的〖解析〗由χ2＝eq\f(407×（32×213－61×101）2