2025年浙江省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、單選題

1.（5分）已知全集U=R,集合M={X|X2-2x-3W0}和N={x|x=2后-1,后=1,2,…}的關(guān)系的韋恩（定〃"）

圖如圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有（）

C.1個D.無窮多個

TT——T

2.(5分)已知a=(1,0),b=(1,1),若(入a-b)_Lb,則實(shí)數(shù)入=()

A.-2B.2C.-1D.1

3.（5分）己知函數(shù)/'（X）=sin（2x+與），將/G）的圖象向左平移隼（隼>0）個單位后，得到函數(shù)g（x）

的圖象，若g（x）的圖象與/（x）的圖象關(guān)于了軸對稱，則隼的最小值等于（）

71717171

A.—B.-C.-D.一

12643

4.（5分）將自然數(shù)1,2,3,4,5,……，按照如圖排列，我們將2,4,7,11,16,……都稱為“拐角

數(shù)”，則下列哪個數(shù)不是“拐角數(shù)”.（）

5.（5分）已知某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)競賽決賽的8人的成績（單位：分）為：72,78,80,81,83,86,

88,90,則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）

A.86B.87C.88D.90

6.（5分）已知直線x-y-左=0（左>0）與圓/+/=4交于不同的兩點(diǎn)/、B,O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有

-?—>—>

|。4+?；?百|(zhì)A8|,那么左的取值范圍是（）

A.[V6,+8）B.[V6,2或）C.[V2,+8）D.[V2,2/）

c+3a

7.（5分）在△48C中，角/,B,C的對邊分別是a,b,c,且2acosB=c-a,則的最小值為（）

第1頁（共19頁）

A.2B.2V2C.4D.4V2

8.（5分）已知/（x）的定義域為R,/G+y）tMx-y）=y。）/3），且f（1）=全則￡鬻f?=（）

1212

A.~B.一C.一D.一

3333

二、多選題

（多選）9.（6分）歐拉公式聲=cosx+Zsinx。?為虛數(shù)單位，xGR）是由數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立

了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是（）

7T.V3

A.?3的虛部為《-

B.*=-1

C.|^|=|cosx|+|sinx|

71.

D.e2’的共軌復(fù)數(shù)為-i

（多選）10.（6分）平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼

在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的.已知在平面直角坐標(biāo)系xQy中，A（-2,0）,B（2,0）,

動點(diǎn)P滿足|我〔?|網(wǎng)|=5,其軌跡為一條連續(xù)的封閉曲線C,則下列結(jié)論正確的是（）

A.曲線C與y軸的交點(diǎn)為（0,1）和（0,-1）

B.曲線C關(guān)于x軸、y軸對稱，不關(guān)于原點(diǎn)。對稱

C.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的范圍是[-3,3]

D.|。尸|的取值范圍為[1,2]

（多選）11.（6分）如圖，正方體NBCD-NiBCbDi的棱長為1,動點(diǎn)尸在對角線上，過尸作垂直

于ADi的平面a,記平面a與正方體/BCD-/由1C1D1的截面多邊形（含三角形）的周長為人面積為S,

BP=x,x￡（0,V3）,下面關(guān)于函數(shù)工（x）和S（x）的描述正確的是（）

B.L（x）在刀=苧時取得極大值

第2頁（共19頁）

C.L（x）在（0,苧）上單調(diào)遞增，在（器，g）上單調(diào)遞減

D.S（x）在（0,子）上單調(diào)遞增，在（苧，遮）上單調(diào)遞減

三、填空題

12.（5分）已知隨機(jī)變量X7V卬，。2）,若尸（x<2）=0.2,P（x<3）=0.5,則尸（X<4）的值為.

13.（5分）已知雙曲線E；**l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸i，尸2,離心率為2,過點(diǎn)為

的直線/交E的左支于4,2兩點(diǎn).。兇=|。尸i|（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），記點(diǎn)。到直線/的距離為d,則

d

—?

a

14.（5分）已知△/2C內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,6,c,。為2C的中點(diǎn)，E為4D的中點(diǎn)，延長

交NC于點(diǎn)尸，若b=2,4sinAsinC=3V3sinB,則△/￡尸的面積為.

四、解答題

15.（13分）已知數(shù)列｛即｝中,ai=l,a?=2a?.i+l（心2）.

（I）求｛即｝的通項公式；

⑵求和：町1篇?

16.（15分）如圖，在四棱柱48CD-N/iCbDi中，44」平面/2C。，底面48CD為梯形，AD//BC,BC

=4,AB=AD=DC=AAi=2,0為/。的中點(diǎn).

（1）在上是否存在點(diǎn)尸，使直線C?！ㄆ矫鍺C1P,若存在，請確定點(diǎn)尸的位置并給出證明，若

不存在，請說明理由；

（2）若（1）中點(diǎn)尸存在，求平面NC1P與平面NABi/i所成的銳二面角的余弦值.

17.（15分）現(xiàn)有〃枚質(zhì)地不同的游戲幣ai,。2,…，an（〃>3）,向上拋出游戲幣即后，落下時正面朝

1

上的概率為?。ㄗ?1，2,…，n）.甲、乙兩人用這〃枚游戲幣玩游戲.

2m

（1）甲將游戲幣。2向上拋出10次，用X表示落下時正面朝上的次數(shù)，求X的期望￡（X）,并寫出當(dāng)

左為何值時，P（X=k）最大（直接寫出結(jié)果，不用寫過程）；

第3頁（共19頁）

(2)甲將游戲幣。2,。3向上拋出，用y表示落下時正面朝上游戲幣的個數(shù)，求y的分布列；

(3)將這〃枚游戲幣依次向上拋出，規(guī)定若落下時正面朝上的個數(shù)為奇數(shù)，則甲獲勝，否則乙獲勝，

請判斷這個游戲規(guī)則是否公平，并說明理由.

18.(17分)已知函數(shù)/'(x)—Inx-x+a.

(1)若。=0,求曲線y=/(x)在x=l處的切線方程；

(2)若x>0時，/(%)<0,求a的取值范圍；

(3)若0<aWl,證明：當(dāng)時，/(x)+xW(x-1)，。+1.

3

19.(17分)動點(diǎn)y)到直線I［；y=V^x與直線％：y=—百久的距離之積等于了，且|訓(xùn)<、門|用.記

點(diǎn)M的軌跡方程為「.

(1)求「的方程；

(2)過r上的點(diǎn)尸作圓0：，+(廠4)2=1的切線尸T,T為切點(diǎn)，求|尸7］的最小值；

A——TT

(3)已知點(diǎn)G(0,日)，直線/：y=fcc+2(左>0)交「于點(diǎn)/,3,「上是否存在點(diǎn)。滿足G4+GB+GC=0?

若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

第4頁(共19頁)

2025年浙江省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、單選題

1.（5分）已知全集U=R,集合M={x|/-2x-3W0}和N={x|x=2左-1,左=1,2,…}的關(guān)系的韋恩（如?"）

圖如圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有（）

D.無窮多個

【解答】解：由圖知，陰影部分所示的集合為MHN,

由f-2x-3W0,得到-1WXW3,所以M={x|-1WXW3},又N={x|x=2后-1,k=l,2,???},

所以MCN={1,3},得到陰影部分所示的集合的元素共有2個.

故選：B.

TTTT一、

2.(5分)已知。=(1,0),b=(1,1),若QXa—b)_Lb,則實(shí)數(shù)入=()

A.-2B.2C.-1D.1

TT

【解答】解：a=(1,0),b=(1,1),

->

Aa—b=（入-1,-1）,

TTT

（入a—b）_Lb,

T—T

（Aa—b）?/?=入-1-1=0,

解得實(shí)數(shù)入=2.

故選：B.

3.（5分）已知函數(shù)/'（無）=sin（2%+號），將/（x）的圖象向左平移<p（（p>0）個單位后，得到函數(shù)g（x）

的圖象，若g（%）的圖象與/（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，則隼的最小值等于（）

71TC1T71

A.—B.-C.-D.一

12643

【解答】解：g（%）=/（%+0）=s譏（2%+2@+引，要g（x）的圖象與/（x）的圖象關(guān)于歹軸對稱，

則g（%）=/（—%）=sin（-2%+與）=sin（2x+竽）,

第5頁（共19頁）

所以20+耳=q卜2kjt,k€Z,故0=6+卜兀，k€Z,

又隼>0,故0min=*

故選：B.

4.（5分）將自然數(shù)1,2,3,4,5,……，按照如圖排列，我們將2,4,7,11,16,……都稱為“拐角

數(shù)”，則下列哪個數(shù)不是“拐角數(shù)”.（）

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)第〃個“拐角數(shù)”為斯，

則。1=2=1+1,。2=4=1+1+2,。3=7=1+1+2+3,44=11=1+1+2+3+4,…，

歸納可得：斯=1+1+2+3+4+…+?1=1+"1：花）,

由此分析選項：NCD都符合，

對于8,1+也抖=30無整數(shù)解，不符合題意.

故選：B.

5.（5分）已知某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)競賽決賽的8人的成績（單位：分）為：72,78,80,81,83,86,

88,90,則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）

A.86B.87C.88D.90

【解答】解：將數(shù)據(jù)從小到大排序得72,78,80,81,83,86,88,90,

因為8義75%=6,

86+88

所以第75百分位數(shù)是一^—=87.

故選：B.

6.（5分）已知直線x-y-左=0（左>0）與圓，+y=4交于不同的兩點(diǎn)力、B,。是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有

—>—>—>

|。4+。用2KH用，那么左的取值范圍是（）

A.[V6,+8）B.[V6,2V2）C.[V2,+8）D.[V2,2近）

【解答】解：設(shè)中點(diǎn)為。，則8U8,

第6頁（共19頁）

—>—>—>

'：\OA+OB\>yj3\AB\,

：.\20D\>V3\AB\,

->1T

：|ODF+"MB|2=4,

麗223,

,直線x-y-左=0（左>0）與圓/+y2=4交于不同的兩點(diǎn)/、B,

.?.而2<4,

―?

：.4>\OD\2^3,

>3

9：k>0,

：.V6<k<242.

故選：B.

c+3a

7.（5分）在△45C中，角4B,C的對邊分別是〃，b,c,且2QCOS5=C-Q,則一^的最小值為（

b

A.2B.2V2C.4D.4V2

【解答】解：由余弦定理得cosB=——病——,代入2acos5=c-a,

Q2+C2—《2a2+c2—b2_

得2a-—CCL,

2acc

整理得a2+c2-b2=c2-ac,即b1=a1+ac,

c2+6ac+9a2c2+6ac+9a2（^）2+6-^+9

則（k）2=-—=2=*,

Pa+aca

令I(lǐng)d--1

a=t,t>f

則g（t）=（T）2+；（i）+9==t+*+422R+4=8,

當(dāng)且僅當(dāng)力=（時，￡=2,即。=c時等號成立，

此時a=c,cos5=0,即B=3

c+3a「

故當(dāng)△48C為等腰直角三角形時，――取到最小值2a.

b

故選：B.

8.（5分）已知/Xx）的定義域為R,/（x+y）=y（x）/（y）,且/（l）=｝則又譽(yù)于也）=（

第7頁（共19頁）

1212

A.--QB.--QC.—D.一

3333

【解答】解：由題意知，函數(shù)/(x)的定義域為R,

1

/(x+y)+f(x-y)=3f(x)f(y),且/⑴=.

令x=l,y=0,得/(l+O)4/(l-0)=力(1)/(0),

所以f(0)=多

令x=0,得/(0+y)t<(O-y)=3/(0)/(j；),

所以/(-V)=f(y)，

所以/(x)是偶函數(shù)，

令y=l,得/(x+1)+fCx-l)=才(》)/(1)=/(x)①，

所以/(x+2)+f(x)=f(x+1)②，

由①②知/'(x+2)=0,

所以/(x+3)+f(x)=0,f(x+3)=-f(x),

所以f(x+6)=-f(x+3)—f(x),

所以/(x)的一個周期是6,

由②得/⑵+f<0)=/(1),

1

所以/(2)=—可，

同理/(3)=/(2)，

所以7(3)=-|,

119

又由周期性和偶函數(shù)可得：〃4)=/(—2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(I)=1f(6)=/(0)=呈

所以/(I)4/(2)4/(3)+-??+/■(6)=0,

所以E鬻f(k)=337泰/(fc)+/(1)+/(2)+/(3)=-|.

故選：B.

二、多選題

(多選)9.(6分)歐拉公式/'=cosx+isinx(，為虛數(shù)單位，xGR)是由數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立

了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是()

Tt.V3

A.e3的虛部為彳

B.em--1

第8頁(共19頁)

C.|^|=|cosx|+|sinx|

n.

D.e2’的共軟復(fù)數(shù)為-i

【解答】解：對于/中，由附=cos^+溫嗎=整i,其虛部為手，所以《正確；

對于8中，由em=cosn+isiniT=-1,所以8正確；

對于。中，由/=cosx+isinx,則忸叫=A/COS21+=1,所以C錯誤；

對于。中，由言=cos￡+is?W=i,故/的共輾復(fù)數(shù)為-3所以D正確.

故選：ABD.

（多選）10.（6分）平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼

在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的.已知在平面直角坐標(biāo)系xQy中，A（-2,0）,B（2,0）,

動點(diǎn)尸滿足|我卜|尸8|=5,其軌跡為一條連續(xù)的封閉曲線C,則下列結(jié)論正確的是（）

A.曲線C與y軸的交點(diǎn)為（0,1）和（0,-1）

B.曲線C關(guān)于x軸、y軸對稱，不關(guān)于原點(diǎn)。對稱

C.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的范圍是［-3,3］

D.。尸|的取值范圍為［1,2］

【解答】解：已知在平面直角坐標(biāo)系中，A（-2,Q）,B（2,0）,

設(shè)點(diǎn)P（x,夕），

又尸滿足啟卜|依|=5,

則［（x+2）2+y2］,［（x-2）2m=25,

整理得：/+產(chǎn)=V16x2+25—4,

對于N中，當(dāng)x=0時，

解得y=±l,

即曲線C與7軸的交點(diǎn)為（0,-1）,（0,1）,

所以/正確；

對于B中，因為工2+產(chǎn)=V16%2+25-4,

用-y替換y,方程不變，

則曲線C關(guān)于x軸對稱，

用-x替換x,方程不變，

則曲線C關(guān)于y軸對稱，

同時用-x替換x,用-y替換外方程不變，

第9頁（共19頁）

可得曲線C關(guān)于原點(diǎn)對稱，

所以2錯誤；

對于C中，因為%2+y2=416x2+25-4,

即可得產(chǎn)=V16x2+25—4—x2>0,

即“6%2+25>4+x2,

即x4-8x2_9(o,

解得0WX2W9,

即-30W3,

所以點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)的取值范圍是[-3,3],

所以C正確；

對于。中，因為|0P|2=/+y2=W^邏不無一4,

由C項知-3WxW3,

則V16N+25€[5,13],

所以QPFqi,9],

故1力。尸忌3,

所以。錯誤.

故選：AC.

(多選)11.(6分)如圖，正方體48CD-NL8CLDI的棱長為1,動點(diǎn)尸在對角線5Di上，過尸作垂直

于ADi的平面a,記平面a與正方體/BCD-/出ICLDI的截面多邊形(含三角形)的周長為人面積為S,

BP=X,久6(0,V3),下面關(guān)于函數(shù)L(x)和S(x)的描述正確的是()

A.S(x)最大值為一^

4

B.L(x)在％時取得極大值

C.L(x)在(0,5)上單調(diào)遞增，在(5，百)上單調(diào)遞減

第10頁(共19頁)

D.S（x）在（0,孚）上單調(diào)遞增，在（苧，b）上單調(diào)遞減

【解答】解：當(dāng)xe（o,停］時，截面為等邊三角形，如圖:

因為AP=x,所以￡T=J^x,

所以：L（x）=3V6x,S（x）=^^x2,久e（0,字］?

此時工（x）,S（x）在（0,字］上單調(diào)遞增，且3vLS（x）<

當(dāng)比e（李，孥）時截面為六邊形，如圖：

設(shè)N￡=K則/￡=NF=CG=C"=3iN=3iM=K

所以六邊形EFGHMN的周長為：3&t+372(1-t)=3四為定值;

做MV」平面/BQ)于Ni,MWi_L平面/5CD于A/i.

設(shè)平面所GMW與平面N5C￡＞所成的角為a,則易求cosa=字.

^i^SEFDHMN-cosa—SFAN1M1CG,

在te（o,芻上遞增，在te［稱,1）上遞減，

所以截面面積的最大值為次6+4季，此時t='即“率

乙乙44LL

所以SG）在（冬的上遞增，在（象普3）上遞減.％=*時，S（X）最大，為羋.

第11頁（共19頁）

當(dāng)xe(2f,時，易得：

L(x)=3V6(V3-x),S(x)=^(V3-x)2

此時￡(x),S(x)在(竽，遮)上單調(diào)遞減，L(x)<3V2,SQ)V等.

綜上可知：40是正確的，8C錯誤.

故選：AD.

三、填空題

12.(5分)已知隨機(jī)變量X-NR,小)，若尸(矛<2)=0.2,P(x<3)=0.5,則尸(X<4)的值為0.8.

【解答】解：因為隨機(jī)變量X?N(n，。2),若尸(X<2)=0.2,P(X<3)=0.5,

則對稱軸為H=3,

則尸(2<X<3)=0.5-0.2=0.3,

則尸(X<4)=0.54-0.3=0.8.

故答案為：0.8.

13.(5分)已知雙曲線E：l(a>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為尸i,F2,離心率為2,過點(diǎn)尸i

,d

的直線/交E的左支于N,8兩點(diǎn).|。8|=。為|(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，記點(diǎn)。到直線/的距離為小則一=

CL

1+V7

2-,

【解答】解：令雙曲線E的半焦距為c,由離心率為2,得c=2a,

取為2的中點(diǎn)D,連接。。，由Q3|=|OQ|,得。。，F(xiàn)出，則QD|=d,

連接五28,由。為歹1仍的中點(diǎn)，得毋'2〃。，|/0=2d,BF2-LBF1,\F\B\=2d-2a,

因此IBF2E+|B%|2=EBE，即(2d)2+(2d-2a)2=(4a)2,整理得(，>一!一忘=0,

A-d1+V7

而一>0,所以一=---.

aa2

第12頁(共T9頁)

14.（5分）已知△45。內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,。為5C的中點(diǎn)，/為/。的中點(diǎn)，延長5E

交4c于點(diǎn)R若b=2,4sinAsinC=3y/3sinB,則△4跖的面積為一

—8_

【解答】解：連接。RV^sinAsinC=S^SsinB,4asinC=3V3b=6V3,/.asinC=—,

SAABC=^absinC=^-

???。為5c中點(diǎn)，:?S"BD=S“DC，

又E為中點(diǎn)，:?SAAEF=S^EFD,S“BE=SABDE,S^BFD=S^DCF^

,_1_y[^AT^T7_1,3^3A/3、_\[3

cccA==

??^ADCF=^^AABC=~2^zx/1/ir24----2~J

故答案為：二.

o

四、解答題

15.（13分）已知數(shù)列｛即｝中,ai=l,an=2an-i+\（42）.

（1）求｛斯｝的通項公式；

⑵求和：￡匚篇?

【解答】解：（1）因為。"=2?！耙?+1（〃22）,

所以即+1=2（a?_i+D（〃22）,又m+l=2,

所以數(shù)列｛斯+1｝為首項為2,公比為2的等比數(shù)列，

n

所以an+1=2,

所以｛斯｝的通項公式為an=2n-1.

（2）設(shè)勾Sn=￡L管，則必=61+62+63+...+d,

J.ICt.71L—J-?Cli

9n_1

由（1）可得bn=吟J,

所以Sn=去+或+*+…+231,

所以#=++或+言+??-+^+r-

相減可得1+1+72+…+2^T一瑞康,

第13頁（共19頁）

11

llJ15—河2n-l

所以］Sn=5+口—尹，

2

所以Sn=1+4(±-*)_211,

所以Sn=3

所非M篇=3-丹拉

16.(15分)如圖，在四棱柱4BCD-N/iCbDi中，44」平面底面4BCD為梯形，AD//BC,BC

=4,AB=AD=DC=AAi=2,。為/。的中點(diǎn).

(1)在上是否存在點(diǎn)P,使直線。。〃平面NC1P,若存在，請確定點(diǎn)P的位置并給出證明，若

不存在，請說明理由；

(2)若(1)中點(diǎn)尸存在，求平面ZC1P與平面所成的銳二面角的余弦值.

B

【解答】解：(1)存在，證明如下：

在四棱柱/BCD-NiBiCbDi中，因為平面A8CD〃平面//iCiDi,

所以可在平面481cbDi內(nèi)作CLP〃C。，

由平面幾何知識可證△CLDIP之△8。，所以。尸=。。，可知尸是4D1中點(diǎn),

因為CiPu平面/。尸，所以C?！ㄆ矫鍺GP.

即存在線段4G的中點(diǎn)，滿足題設(shè)條件.

滿足條件的點(diǎn)只有一個，證明如下：

當(dāng)C0〃平面/GP時，因為C?！ㄆ矫嫘v。。1,

所以過Ci作平行于C。的直線既在平面4cbp內(nèi)，也在平面481cLDi內(nèi)，

而在平面A\B\C\D\內(nèi)過Ci只能作一條直線C1P//CQ,

故滿足條件的點(diǎn)P只有唯一一個.

所以，有且只有4D1的中點(diǎn)為滿足條件的點(diǎn)P,使直線C?！ㄆ矫?C1P,

(2)過點(diǎn)。作BC,垂足為尸，又因為平面/BCD,

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所以ZX4,DF,￡>Di兩兩互相垂直,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以。/,DF,所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系D-

xyz,

則A(2,0,0),P(1,0,2),右(一1,V3,2),Ai(2,0,2),B(3,用,0),

P4=(l,0,-2),PC\=(-2,V3,0),48=(1,陋,0),AH】=(0,0,2),

設(shè)平面HC1的法向量為￡=(久，y,z),

7-JT

nVPAann-PA=Q,

則有T-,即3-

nlPCi(n.PCi=0,

即,-2z=0,

(—2%+V3y=0.

令x=2百，得y=4,z-V3,

所以I=(2舊，4,V3),

設(shè)平面的法向量為益=(x,y,z),

則有《--m-=0/

?7H=0,

即卜+圾7=0,

(2z=0.

令％=遍，得>=-1,z=0,

所以—1/0),

—>—>

n-m_6-4+0_731

所以cosVn,m>——>—>

171117nl-2聞-3T'

V31

故平面AGP與平面ABB團(tuán)所成的銳二面角的余弦值為句.

17.(15分)現(xiàn)有"枚質(zhì)地不同的游戲幣ai,02,…，an(〃>3),向上拋出游戲幣而后，落下時正面朝

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1

上的概率為丁(爪=1，2,…，n).甲、乙兩人用這〃枚游戲幣玩游戲.

2m

(1)甲將游戲幣。2向上拋出10次，用X表示落下時正面朝上的次數(shù)，求X的期望E(X),并寫出當(dāng)

先為何值時，P(X=k)最大(直接寫出結(jié)果，不用寫過程)；

(2)甲將游戲幣。2,。3向上拋出，用y表示落下時正面朝上游戲幣的個數(shù)，求y的分布列；

(3)將這〃枚游戲幣依次向上拋出，規(guī)定若落下時正面朝上的個數(shù)為奇數(shù)，則甲獲勝，否則乙獲勝，

請判斷這個游戲規(guī)則是否公平，并說明理由.

1

【解答】解：(1)由題意可知，X?8(五，10),

15

E(X)="x10=J,

當(dāng)左=2時，P(X=k)最大；

(2)記事件4為“第勰枚游戲幣向上拋出后，正面朝上”，

則P(力k=1,2,3,Y可取0,1,2,3,

則P(y=0)=PGM2&)=P(a)PG42)P(4)=(1-f)(l-力(1一卷)=卷

P(y=1)=P(&討+A；A2A3+再用&)=P(公砌)+「7遇2不)+P(硒2&)

135,115,13123

=2X4X6+2X4X6+2X4X6=48,

————11111111

P(Y=2)=PGM24)+PGM24)+PGM2。)=1xAx(l-A)+ix(l-A)x1+(l-A)xix

1

6

15,13.113

=8X6+T2X4+2X24=16,

1111

P(Y=3)=PGM2&)=/廣卷=蘇

故y的分布列為：

Y0123

P52331

16481648

(3)不妨假設(shè)按照公，…，斯的順序拋這〃枚游戲幣，

記拋第四枚游戲幣后，正面朝上的游戲幣個數(shù)為奇數(shù)的概率為尸bk=l,2,…，小

于是Pk=Pi.(1-加+(1-Pi)?克=Pk-i-賓+擊一%1=(1-+基

”―111

即人="$一1+蘇即kPk=(k-l)Pj+*，k>2,

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1

記bk=kPk，則瓦一瓦_(dá)i=2，k>2,

故數(shù)列｛加｝為首項是1XP1=1公差為二的等差數(shù)列，

,L

11k

故瓦=2+(k—1)x2=1,

k

則女尸女=

1

故Pk=2，k=1,2,3,…，n,

則%=去因此公平.

18.(17分)已知函數(shù)/(x)=lnx-x+a.

(1)若a=0,求曲線>=/(%)在％=1處的切線方程；

(2)若x>0時，/(%)<0,求Q的取值范圍；

(3)若OVaWl,證明：當(dāng)工21時，/(x)+x<(x-1)，。+1.

1

【解答】解：(1)當(dāng)a=0時，f(x)=lnx-x,則，(x)=--1,所以k=f(1)=0,

又/(I)=7,所以切線方程為八1=0.

⑵八%)=;1=詈

當(dāng)0<x<l時，f(x)>0,f(.x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>l時，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

所以/(x)守(1)=-1+a,又/(x)<0,

所以-l+a<0,即a<l,

所以。的取值范圍為(-8,1).

(3)證明：由/(x)+xW(x-1)可得(x-1)^a-lnx+\-a^O,

即證當(dāng)0<aWl,時，(x-1)a-加x+1-a20,

令g(a)=(x-1)a-lnx+1-a,

則g，(a)=(x-1)，"?(-1)-1=(1-x)

由可知，g'(a)<0,故g(a)在(0,1］上單調(diào)遞減，

所以g(a)>g(1)=(x-1)1-Inx,

_1-1

令h(x)=(x-1)/1-Inx,則/i(%)=ex~r+(%—l)ex-1——=%ex-1—

1

當(dāng)時，xe^121,—<1,所以〃'(x)20,

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故〃(%)在［1,+8)上單調(diào)遞增，

所以〃(X)2〃(1)=0,

所以g(a)2g(1)=h(x)20,即(x-1)/a-lnx+1-

所以/(x)+xW(x-1)"+1成立.