2024-2025學(xué)年度高二9月聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在

本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.給出下列命題：

①零向量的方向是任意的；

②若兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；

③若空間向量晨B滿足同=即則

④空間中任意兩個(gè)單位向量必相等.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

2.如圖，在直三棱柱Z5C—451G中，E為棱4G的中點(diǎn).設(shè)麗=萬，~BBx=b,~BC=c,則礪=

（）

_11_

C.ClH—b7H—cD.-a+b+c

222

3.對(duì)于任意空間向量G,b,c,下列說法正確的是（）

A.若2_Lb,b.Lc,則萬B.a-(b+c)=a-b+a-c

C.若萬石＜0,則5,3的夾角是鈍角D.(S-b)c=a(b-c)

4.設(shè)X/ER,向量2=(x,2,2),3=(2/,2),己=(3,—6,3)且5J_1，bl1c,則5+()

A.3V2B.4V2C.5D,6

5.我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)4-3,4)的直線/

的一個(gè)法向量為(1,—3),則直線/的點(diǎn)法式方程為：lx(x+3)+(—3)x(y—4)=0,化簡(jiǎn)得

x-3y+15=0.類比以上做法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)河(1,2,3)的平面的一個(gè)法向量為

沅=(1,2,-4),則該平面的方程為()

A.x-2v-4z+7=0B.x+2y-4z+7=0

C.x+2y+4z+7=0D.x+2y-4z-7=0

6.已知圓錐尸。的母線長為2,表面積為3兀，。為底面圓心，AB為底面圓直徑，C為底面圓周上一點(diǎn)，

NBOC=60°,河為P8中點(diǎn)，則△MOC的面積為()

V15V151515

A.-----B.-----C.—D.—

8448

7.如圖，在棱長為2的正方體48C?！?81GA中，已知M,N,尸分別是棱弓口，AAX,8c的中點(diǎn),

。為平面上的動(dòng)點(diǎn)，且直線08］與直線OB1的夾角為30。，則點(diǎn)。的軌跡長度為()

兀

A.—B.71C.2兀D.3兀

2

8.在四棱錐尸-48CZ)中，尸2,平面4BCD,底面488為矩形，48=R4.若2C邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)

Q,使得尸0，紗，此時(shí)二面角/-P。-。的余弦值為()

口V30c逅

￡>.----D叵

666

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知平面a與平面，平行，若拓=(2,-4,8)是平面，的一個(gè)法向量，則平面a的法向量可能為()

A.(-l,2,-4)B.(-l,2,4)C.(2,4,-8)D.(-2,4,-8)

10.在空間直角坐標(biāo)系中，有以下兩條公認(rèn)事實(shí)：(

（1）過點(diǎn)片（//o，Zo）,且以您=（應(yīng)九0）伍加。0）為方向向量的空間直線/的方程為

x-x0=y-y0=z-z0

abc

（2）過點(diǎn)尸Go/o/o）,且＜=（加加WO）為法向量的平面。的方程為

m（x-xo）+/7（j-jo）+Z（z-zo）=O.

6x-3y=2.x-1y-3z-4

現(xiàn)已知平面。：x+2歹+3z=6,/］：＜/l:x-3=y=\-z,l:——二』一二——,則

\3y-2z=1,2322-2

（）

A./］_LaB.I211aC.l311aD.lJ/a

11.如圖，正方體48。。-44GD的棱長為1，則下列四個(gè)命題中正確的是（）

IT

A.兩條異面直線DXC和BC］所成的角為:

7T

B.直線BQ與平面/BCD所成的角等于2

4

C.點(diǎn)C到平面BDC,的距離為—

13

D.四面體5￡＞G4的體積是2

113

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.如圖，四棱柱48CD—451GA為正方體.

①直線CG的一個(gè)方向向量為（0,0,1）；

②直線3G的一個(gè)方向向量為（0,1,1）；

③平面及C1C5的一個(gè)法向量為(-1,0,0)；

④平面與CD的一個(gè)法向量為(1,1,1).則上述結(jié)論正確的是.(填序號(hào))

13.已知空間向量2=(2,3,切)，3=(0,2,1),3=(2,7,〃)，若G,己共面，則機(jī)"的最小值為

14.設(shè)空間向量/，；,「是一組單位正交基底，若空間向量5滿足對(duì)任意的x,外向-行-0|的最小值

是2,則卜+3q的最小值是o

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)如圖，在直四棱柱450—45]GA中，ABIICD,ABLAD,

AA1=AB=2AD=2CD=4,E,F,G分別為棱。2，g，8片的中點(diǎn).

(1)求M?麗的值；

(2)證明：C,E,F,G四點(diǎn)共面.

16.(15分)如圖，已知平行六面體N5CD—44CQ中，底面/BCD是邊長為1的菱形，CCX=2,

NC、CB=ZBCD=NQCD=60°.

(1)求線段C4]的長;

(2)求證：C4LB}DX.

17.(15分)已知空間中三點(diǎn)/(1,一夜,3),3(0,0,5),C(1,V2,4).

(1)若向量成與方平行，且網(wǎng)=走，求玩的坐標(biāo)；

(2)求向量方在向量正上的投影向量5；

(3)求以C2,。為鄰邊的平行四邊形的面積.

18.(17分)如圖，在四棱錐尸—中，底面N2C。為直角梯形，ZADC=ZBCD=90°,

BC=1,CD=C，PD=2,ZPDA=60°,/尸40=30°,且平面尸4D，平面/BCD,在平面

4BCD內(nèi)過8作80_L4D,交4D于。，連尸O.

(1)求證：尸。，平面4BCD；

(2)求二面角Z—必―C的正弦值；

(3)在線段PN上存在一點(diǎn)使直線8M與平面尸/。所成的角的正弦值為其Z,求P70的長.

7

JT

19.(17分)將菱形48co繞直線AD旋轉(zhuǎn)到/EED的位置，使得二面角E-4D-8的大小為一，連接

3

71

BE,CF,得到幾何體45￡—。。尸.已知45=4,ZDAB=~,M,N分別為/R2。上的動(dòng)點(diǎn)且

3

色=型=〃。=<1).

AFBD

(1)證明：MNH平面CDF；

(2)求8E的長；

(3)當(dāng)?shù)拈L度最小時(shí)，求直線到平面CZE的距離.

2024-2025學(xué)年度高二9月聯(lián)考

數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分意見

1.D【解析】零向量的方向是任意的，并不是沒有方向，故①正確；當(dāng)兩個(gè)空間向量的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也

相同時(shí)，這兩個(gè)向量必相等.但兩個(gè)向量相等，起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定相同，故②錯(cuò)誤；根據(jù)相等向量的定義，

要保證兩個(gè)向量相等，不僅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量G與3的方向不一定相同，故③錯(cuò)

誤；對(duì)于命題④，空間中任意兩個(gè)單位向量的模均為1,但方向不一定相同，故不一定相等，故④錯(cuò)誤.故

選D.

2.A【解析】由題意可得而=函+瓦彳+乖=函+函+g布=函+函+；%=函+方+

-(BC-BA)=-BA+-BC+BB.=-a+-c+b.i^A.

222122

3.B【解析】對(duì)于A,若萬_LB,blc,則晨己不一定垂直，故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,a-(b+c)-a-b+a-c,故B正確，

對(duì)于C,若鼠否夾角為兀，則展B<0成立，故C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,伍％)已表示與c共線的向量，而1(3下)表示與萬共線的向量，所以他%)已與1(。為不一定相

等，故D錯(cuò)誤，故選B.

4.D【解析】因?yàn)?1_己，則鼠己=3x—12+6=0,解得x=2,則@=(2,2,2),因?yàn)榘?己，貝U

g=W，解得y=—4,即5=(2,—4,2),所以，@+3=(4,—2,4),因此，卜+q=J16+4+16=6.故

選D.

5.B【解析】根據(jù)題意進(jìn)行類比，在空間任取一點(diǎn)尸(x,y,z),則礪=(x-l,y—2,z—3),?.?平面的法向

量為比=(1,2,—4),.■.lx(x-l)+2x(j-2)-4x(z-3)=0,x+2y—4z+7=0.故選B.

6.A【解析】設(shè)底面圓的半徑為r,則2兀外+兀/=3兀，解得外=1或廠=—3(舍去)，則

(1、

OP=V4^1=V3,如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則0(0,0,0),C—,-,0,

1故反=［走」,0

,所叫困=1,|而:|=1,故

I22J122’2’而=1畛倒

77

____j.______

cosNGW="=工=),所以sin/O(W=J1—=叵，所以

10cH0M1X14N⑷4

SAMOC=；xlxlxNp^=1^,故選A.

7.C【解析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD],所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則尸(1,2,0),M(0,l,2),N(2,0,l),￡>(0,0,0),4(2,2,2),

故函=(2,2,2),PA/=(-l,-l,2),/W=(l,-2,1),設(shè)平面PAW的法向量為比=(x,y,z),則

"上=(”辦(-12)-2z=0,令.J得，—=],

故式=(1/,1).因?yàn)?/p>

m-PN=(x,y,z)-(1,-2,l)=x—2y+z=0,

DB1=2m,故。平面PAW,0為平面尸MN上的動(dòng)點(diǎn)，直線。片與直線的夾角為30。,

平面PAW,設(shè)垂足為S,以S為圓心，r=J5]S為半徑作圓,即為點(diǎn)。的軌跡，其中

131

40=麗|='4+4+4=2百,由對(duì)稱性可知，BxS=^BxD=4i,故半徑r=】￡xG=l,故點(diǎn)。

的軌跡長度為2限故選C.

8.C【解析】尸/1.平面48c。，。0匚平面45。。，；.尸幺_1。。，又尸。，￡>。，PACPQ=P，

PQ,P/u平面尸/Q,二。。J_平面P/0,又NQu平面P/Q,.?.￡)2，/。；設(shè)PA=4B=2,

AD=t(t>0),BQ=m(0<m<t),:.AQ~=4+m2,DQ2=4+(r-m)2,AD~=t2,

4+7772+4+(r-m)2=r,即機(jī)2-加J+4=o關(guān)于陰的方程有且僅有一個(gè)[o,4范圍內(nèi)的解，曲線

y=掰2-/加+4的對(duì)稱乾為機(jī)=人，；.△=/-16=0,解得：/=4,.,.加=2.以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD,

.2

AB,方的方向分別為x,y,z軸的正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則/(0,0,2),￡>(4,0,0),。(2,2,0),.,.而=(4,0,-2),麗=(—2,2,0),ly軸，平面尸4D,.?.平

?力=4x—2z=0,

?n=-2x+2y=0,

??\m-n\1KV6

令X=l,解得：y=lfz=2,.-.H=(l,l,2),cos(m,n)==—,由圖形可知：二面

網(wǎng).同<66

角4—PD—Q為銳二面角，，二面角A-PD-Q的余弦值為—.故選C.

6

9.AD【解析】設(shè)平面，的法向量為成，則由題意可得比〃為，對(duì)于A選項(xiàng)，m=(-l,2,-4)=-1zi,滿

足題意；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)(-1,2,4)=2(2,-4,8),4無解，所以不符合題意；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)

(2,4,—8)=4(2,—4,8),X無解，所以不符合題意；對(duì)于D選項(xiàng)，玩=(―2,4,—8)=—為，滿足題意.故選

AD.

6x-3v=2,

10人(2【解析】平面1:》+2曠+32=6,則平面法向量為爐=(1,2,3),對(duì)/1：-則

[3v-2z=l,

x_laI

3x-l=^=z+~,即一^=4=—2,所以/過點(diǎn)方向向量為4=[±2,1],所以

221211^32)1(33)

33

云=34，所以刃/瑪，所以《La,故A正確，D錯(cuò)誤；對(duì).x—3=y=l—z,即T=；=

所以4過點(diǎn)(3,0/)，方向向量為&=(1J—1)，點(diǎn)(3,0』)代入平面方程》+2〉+32=6成立，所以4與平

面a有公共點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)所以4過點(diǎn)(1，3,4),方向向量為

語=(2,2,—2),因?yàn)?(1,2,3>(2,2,—2)=2+4—6=0,所以所以"ua或&〃a，但點(diǎn)

(1,3,4)代入平面方程x+2y+3z=6不成立，故。仁1，所以4〃a，所以C正確.故選AC.

11.BCD【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系?！酰瑒t。(0,0,0),￡>1(0,0,1),C(0,l,0),

5(i,i,o),q(0,1,1).

對(duì)A：瓦=(0,1,-1),5Q=(-1,0,1),故cos麻,J=」,故(瓦，西)=如，

'/v2xV22''3

TT

即異面直線。。和3C]所成的角為故A錯(cuò)誤；

對(duì)B：5Q=(-1,0,1),由z軸，平面48cD,故平面4BCD的一個(gè)法向量為羽=(0,0,1),則

cos/5C；,m\=^^=—,故直線BQ與平面/BCD所成的角為巴，故B正確；

對(duì)C：0=(—1,0,0),麗=(1,1,0),5Q=(-1,0,1),設(shè)平面5DC]的法向量為力=(x,y,z),則有

fx+v=0,-\BC-n\1-11V3

4"令x=l,則亢=(1,—1,1),故點(diǎn)C到平面8￡>G的距離="=故C正

[-x+z=0,1\n\V33

確；

對(duì)D：易得四面體ADG4為正四面體，則

^BDCXAX^^ABCD-^-By14X3義？*11X13，故DI卜：^^0.

12.①②③【解析】設(shè)正方體的棱長為1.因?yàn)?41〃CC「且數(shù)=(0,0,1),所以①正確；因?yàn)?/p>

ADJIBG，7瓦=(0,1,1),所以②正確；因?yàn)镃D,平面與GC8,CD=(-1,0,0),所以③正確；因

為正方體中平面48CC1，8C]U平面48cq,所以CDLBC],又BC]，4C,

51CC|CD=C,Bg,COu平面4CD,所以Bq，平面片CD,而8。與Zg相交，不平行，則

ZG與平面8]CD不垂直，故數(shù)=(1,1,1)不是平面8。。的法向量，所以④錯(cuò)誤.故答案為①②③.

13.-1【解析】因?yàn)镚,b,/共面，a,己不共線，所以設(shè)B=+〃己，即

「22+2//=0,2

(0,2,1)=2(2,3,機(jī))+〃(2,7,〃)=(22+2〃,32+7〃,2機(jī)+〃〃)，即<34+7〃=2,解得<〃=g,所

2m+Lin=1,

[n-m=2,

以〃=加+2,mn=m(jn+2)=m2+2m=(m+1)2—1,因?yàn)?加+1)220,所以的最小值為-1.故答

案為-L

14.1【解析】以『，],1的方向分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則;=(1,0,0),

j=(0,1,0),k-(0,0,1),設(shè)1=(r,s,/),則卜_*_力|=—x)2+(s-y)2+一,當(dāng)「=》，s=y

時(shí)，歸-xi-歷|的最小值是2,=±2。取@=(x,y,2),則G+3]=(x,y,5),

|a+3^|=A/X2+v2+52o又YX,y是任意值，；.忸+3可的最小值是5.取3=(x,y,-2),貝!!

G+3G=(x,y,l),.[歸+3q="1+'+]2.又x,y是任意值,5+3q的最小值是1.故答案為1.

15.(1)解：在直四棱柱45CD—44cl2中，ABLAD,

易得，AD,AAX,45兩兩垂直.

故以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD,48所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系.

AAX=AB=2AD=2CD=4,

C(2,0,2),￡(2,2,0),尸(1,4,0),G(0,2,4).

而=(-2,2,2),=(-1,2,0).

CG-EF=-2x(-l)+2x2+0=6.

(2)證明：由(1)得：屋=(0,2,—2).

0=-2m-n,

令CE=mCG+nEF,即<2=2m+

-2=2m,

m=-1.

解得八

n=2,

:.CE=-CG+2EF.

故C,E,F,G四點(diǎn)共面.

16.(1)解：設(shè)麗=5,CB=b,CCx=c,則同=忖=1,同=2.

???ZC.CB=ZBCD=ZC.CD=60°,則展3=3N=2xlxcos60。=1,

_1

a-b=lxlxcos60°=—.

2

?：CAx=CD^CB^CCx=a+b+c,

\CA^=+B+W=+B+^)2=J^2+片+^2+2(N?B+H+b-c)=

^1+1+4+2XQ+1+1^=V1T,故線段C4的長為而.

(2)證明：：的二麗二一通+函=〃一認(rèn)

:.CA^-B^=(a+b+c)-(a-b)=a2-b2-b-c+a-c=l-l-l+l=0,

故，8a.

17.解：(1)由已知可得方=(—1,2夜,2),

因?yàn)橄蛄砍膳c方平行，設(shè)成=2萬，其中2eR,

則\m\=|2|-|2g|=|2|Jl+8+4=V13|2|=V13,解得X=±1.

所以，比=方=(―1,272,2)或成=-AB=(1,-2A/2,-2).

(2)由k=(0,2虛,1),可得明=3,

又由=3,可得向量"的單位向量為。=1(0,2A/2,1),

故向量存在向量％上的投影向量]="G=[O,迎

99

(3)由題可得：G4=(0,-2A/2,-1),C5=(-1,0,1),

所以cos〈C4c5〉=

G4l-|C5|V9xV26

V34

所以sinC二

所以，以CB,a為鄰邊的平行四邊形的面積為|百|(zhì)13卜也0=3'虛義叵=&7.

18.解：(1)?/BOLAD,ZADC=ZBCD=90°,

二四邊形20DC為矩形，.?.Z)0=8C=l.

在△PDO中，PD=2,DO=1,ZPDA=60°,

則PO=yjPD2+OD2-2PD-ODcos600=G,

PO2+DO2=PD~,POLAD.

又平面「40,平面48CD,尸Ou平面尸4D,

平面PADA平面ABCD=AD,

PO1平面ABCD.

(2)以。為原點(diǎn)，04為無軸，。3為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示,

?.?尸。=百，NP4D=30。，可得幺。=3,

則。(0,0,0),2(3,0,0),尸(0,0,G),5(0,V3,0),C(-l,43,0).

設(shè)平面"2的法向量為前=(x,y,z),可=(3,0,—G),而=(0,君,-百),

PA-m=3x-Mz=0,

取玩=(1,6,6).

PB-in=My-Gz=0,

設(shè)平面CPB的法向量為五=(a,8c),PC=(-1,V3,-A/3),

n-PB=y/3b-y/3c=0,

取元=(0,1,1).

n-PC——a+V3Z)-V3c=0,

I應(yīng).司2A/3_V42

設(shè)二面角Z—PB—C的平面角為。，則cos9|=^^

\m\-\n\77x0-7'

sin0=A/1-COS20=

O7J7

二面角A—PB—C的正弦值為—

7

(3)設(shè)加=2萬，則兩=豆+而=(3,—g,0)+2(—3,0,g)=(3—3%—有，后)，

又平面PAD的一個(gè)法向量為OB=(0,50),

直線8M與平面尸/D所成的角的正弦值為cos〈礪，就〉=7~"==—

11GxJ(3-34)2+3+3方7

33

解得幾=二，顯然幾=三時(shí)，M在線段加上,

44

PM=~AP=UP()2+0#=—.

442

19.(1)證明：在“。上取點(diǎn)〃，使得把=也=網(wǎng)=4(0＜幾＜1),連