2025年中考數(shù)學復(fù)習新題速遞之四邊形

選擇題（共10小題）

1.（2024?汕頭一模）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,BC=3,AC=4.以A8為邊在點C同側(cè)作正

方形ABDE,則正方形A8Z5E的周長為（）

A.12B.16C.20D.25

2.（2024春?句容市期中）如圖，在直角坐標系中，矩形。48C,點3的坐標是（1,3）,則AC的長是（）

A.3B.V7C.V10D.4

3.（2024?長沙開學）在圖中，平行線之間的三個圖形的面積相比，正確的是（）

A.平行四邊形的面積最大

B.三角形的面積最大

C.梯形的面積最大

D.三個圖形的面積都相等

4.（2024春?源匯區(qū)校級期中）如圖，誠誠用橡膠皮和布料自制了一塊四邊形鼠標墊，為了檢驗這塊鼠標

墊是不是標準的矩形，他想出了以下幾種方案，其中合理的是（）

A.測量一組對邊是否平行且相等

B.測量兩組對邊是否分別相等

C.測量其中的三個角是否都為直角

D.測量對角線是否相等

5.（2024春?源匯區(qū)校級期中）李叔叔不慎將一塊平行四邊形的玻璃打碎成如圖所示的四塊，他帶了兩塊

碎玻璃到商店就成功找到了一塊與原來相同的平行四邊形玻璃，他帶的碎玻璃編號是（）

A.①②B.①③C.②③D.③④

6.（2024?青秀區(qū)校級開學）如圖，在平行四邊形ABC。中，若NA=132°,則/C等于（）

7.（2024?青秀區(qū)校級開學）如圖，點E為正方形ABC。外一點，且連接AE,交BD于點尺若

A.27°B.36°C.25°D.30°

8.（2024春?欒城區(qū)校級期末）菱形，矩形，正方形都具有的性質(zhì)是（）

A.四條邊相等，四個角相等

B.對角線相等

C.對角線互相垂直

D.對角線互相平分

9.（2024春?福田區(qū)校級期中）如圖，在口48。。中，A（1,2）,C（4,0）,將口48。0繞點。逆時針方向

旋轉(zhuǎn)90°至MA'B'C。的位置，則點的坐標是（）

10.（2024?肇源縣開學）下列說法不正確的是（）

A.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

B.有一個角是直角的平行四邊形是矩形

C.有一組鄰邊相等，有一個角是直角的平行四邊形是正方形

D.一組鄰邊相等的四邊形是菱形

二.填空題（共5小題）

11.（2024春?句容市期中）面積為24的菱形的一條對角線長為6,則這個菱形的邊長為.

12.（2024?海淀區(qū)校級開學）若一個多邊形的內(nèi)角和為540°,則該多邊形為邊形.若一個多邊

形的每一個角都等于120°,則這個多邊形的邊數(shù)是.

13.（2024春?句容市期中）在平行四邊形ABC。中，NA=125°,則ND=°.

14.（2024春?鎮(zhèn)海區(qū)期末）已知一個多邊形的內(nèi)角和是720度，則這個多邊形是邊形.

15.（2024春?句容市期中）如圖，在矩形A8CZ）中，點E在A。上，且EC平分若BC=2,ZCBE

=45°,則A8=.

三.解答題（共5小題）

16.（2024春?句容市期中）如圖，已知四邊形A3C。是正方形，AB=3,點E為對角線AC上一動點，連

接。￡,過點E作EFLOE,交射線8C于點R以。E,所為鄰邊作矩形。EFG,連CG.

（1）求證：矩形。為正方形;

(2)CE+CG=

17.（2024?永修縣校級模擬）在平行四邊形ABC。中，E為BC上一點,點尸為AE的中點，連接。尸并

延長，交C8的延長線于點G,求證：BG=CE.

18.（2024春?源匯區(qū)校級期中）如圖，在中，ZABC=90°,點、D,E分別是邊BC,AC的中點,

連接ED并延長到點F使DF=ED,連接BE,BF,CF,AD.

（1）求證：四邊形BFCE是菱形；

（2）若BC=6,EF=3,則AD的長為.

19.（2024春?朝陽區(qū)期末）如圖，在矩形A8CD中，AC,8。相交于點。，E為A8的中點，連接OE并

延長至點尸，使EF=EO,連接ARBF.求證：四邊形AFB。是菱形.

20.（2024?衡陽模擬）閱讀短文，解決問題

定義：三角形的一個角與菱形的一個角重合，且菱形的這個角的對角頂點在三角形的這個角的對邊上,

則稱這個菱形為該三角形的“親密菱形”.例如：如圖1,四邊形人9明為菱形，/BAC與NZME重合，

點產(chǎn)在BC上，則稱菱形AEFD為△ABC的“親密菱形”.

如圖2,在RtZkABC中，ZB=90°,A廠平分/A4C,交BC于點,F,過點尸作尸￡>〃AC,EF//AB.

圖1圖2圖3

(1)求證：四邊形AEFD為△ABC的“親密菱形”；

(2)若AC=12,FC=2V6,求四邊形AEFD的周長；

(3)如圖3,M、N分別是。下、AC的中點，連接MN.若MN=3,求4。2+。尸的值.

2025年中考數(shù)學復(fù)習新題速遞之四邊形（2024年9月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2024?汕頭一模）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,BC=3,AC=4.以4B為邊在點C同側(cè)作正

方形ABDE,則正方形的周長為（）

A.12B.16C.20D.25

【考點】正方形的性質(zhì)；勾股定理.

【專題】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)勾股定理求出A8的長，再求出正方形的周長即可.

【解答】解：在Rt^ABC中，ZACB=90°,BC=3,AC=4,

貝！MB=VAC2+BC2=V32+42=5,

所以，正方形ABOE的周長=448=4X5=20,

故選：C.

【點評】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是關(guān)鍵.

2.（2024春?句容市期中）如圖，在直角坐標系中，矩形OABC,點B的坐標是（1,3）,則AC的長是（）

【考點】矩形的性質(zhì)；坐標與圖形性質(zhì)；勾股定理.

【專題】矩形菱形正方形；幾何直觀；推理能力.

【答案】C

【分析】先求得08的長度，然后根據(jù)矩形的對角線相等求解即可.

【解答】解：連接OB,AC,

OB=Vl2+32=V10,

:四邊形。ABC是矩形，

：.AC=OB=y/10,

故選：C.

【點評】本題考查矩形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是熟練運用數(shù)形結(jié)合的思

想解決問題.

3.（2024?長沙開學）在圖中，平行線之間的三個圖形的面積相比，正確的是（）

A.平行四邊形的面積最大

B.三角形的面積最大

C.梯形的面積最大

D.三個圖形的面積都相等

【考點】平行四邊形的性質(zhì)；平行線之間的距離；三角形的面積.

【專題】線段、角、相交線與平行線；三角形；多邊形與平行四邊形；推理能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線間的距離處處相等，結(jié)合圖形的面積公式進行判斷即可.

【解答】解：設(shè)兩平行線間的距離為/?,

11

由圖可知：平行四邊形的面積為：4/z,三角形的面積為5x8h=4h,梯形的面積為金（2+6）h=4/i；

故三個圖形的面積都相等；

故選：D.

【點評】本題考查平行線間的距離，平行四邊形的性質(zhì)，三角形面積公式，熟練掌握各知識點是解題的

關(guān)鍵.

4.（2024春?源匯區(qū)校級期中）如圖，誠誠用橡膠皮和布料自制了一塊四邊形鼠標墊，為了檢驗這塊鼠標

墊是不是標準的矩形，他想出了以下幾種方案，其中合理的是（）

A.測量一組對邊是否平行且相等

B.測量兩組對邊是否分別相等

C.測量其中的三個角是否都為直角

D.測量對角線是否相等

【考點】矩形的判定.

【專題】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)矩形的判定方法，逐一進行判斷即可.

【解答】解：A、測量一組對邊是否平行且相等，只能判斷出這塊鼠標墊是不是標準的平行四邊形，不

符合題意；

2、測量兩組對邊是否分別相等，只能判斷出這塊鼠標墊是不是標準的平行四邊形，不符合題意；

C、測量其中的三個角是否都為直角，可以檢驗這塊鼠標墊是不是標準的矩形，符合題意；

。、測量對角線是否相等，不能檢驗這塊鼠標墊是不是標準的矩形，不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查矩形的判定，熟記矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

5.（2024春?源匯區(qū)校級期中）李叔叔不慎將一塊平行四邊形的玻璃打碎成如圖所示的四塊，他帶了兩塊

碎玻璃到商店就成功找到了一塊與原來相同的平行四邊形玻璃，他帶的碎玻璃編號是（）

A.①②B.①③C.②③D.③④

【考點】平行四邊形的判定；全等三角形的應(yīng)用.

【專題】三角形；圖形的全等；多邊形與平行四邊形；推理能力.

【答案】D

【分析】確定平行四邊形的四個頂點，由此即可解決問題.

【解答】解：???只有③④兩塊角的兩邊互相平行，且中間部分相聯(lián)，角的兩邊的延長線的交點就是平行

四邊形的頂點，

帶③④兩塊碎玻璃，就可以確定平行四邊形的大小.

故選：D.

【點評】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，確定有關(guān)平行四邊形，關(guān)鍵是確定平行四邊形的四個頂點.

6.（2024?青秀區(qū)校級開學）如圖，在平行四邊形ABCD中，若/A=132°,則/C等于（）

A.142°B.132°C.25°D.38°

【考點】平行四邊形的性質(zhì).

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)平行四邊形的對角相等即可解答.

【解答】解：???四邊形A8O）是平行四邊形，

.?.NC=NA=132°.

故選：B.

【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，

7.（2024?青秀區(qū)校級開學）如圖，點E為正方形外一點，S.ED=CD,連接AE,交BD于點F.若

A.27°B.36°C.25°D.30°

【考點】正方形的性質(zhì).

【專題】推理能力.

【答案】A

【分析】由正方形的性質(zhì)得CD=AD,ZADC=90°,ZCDF=ZADF=45°,即可得NAOE=126°,

又由￡D=C。得到AO=E。，即得/。4￡=/?！?=27。，最后證明名/（SAS）即可求解.

【解答】解：???四邊形ABCD是正方形，

:.CD=AD,ZADC=90°,ZCDF^ZADF^45°,

VZCD￡=36°,

?.ZADE=9Q°+36°=126°,

,:ED=CD,

:.AD=ED,

在△CD尸和△A。尸中，

CD=AD

乙CDF=^ADF=45°,

、DF=DF

：.ACDF^AADF（SAS）,

：.ZDCF=ZDAF=21°,

故選：A.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)

掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.（2024春?欒城區(qū)校級期末）菱形，矩形，正方形都具有的性質(zhì)是（）

A.四條邊相等，四個角相等

B.對角線相等

C.對角線互相垂直

D.對角線互相平分

【考點】正方形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì).

【專題】常規(guī)題型.

【答案】D

【分析】利用菱形、矩形和正方形的性質(zhì)進行判斷.

【解答】解：菱形，矩形，正方形都具有的性質(zhì)為對角線互相平分.

故選：D.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線相

等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一

切性質(zhì).兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形.

9.（2024春?福田區(qū)校級期中）如圖，在DABC。中，A（1,2）,C（4,0）,將口ABC。繞點。逆時針方向

旋轉(zhuǎn)90°至MA'B'C。的位置，則點的坐標是（）

【考點】平行四邊形的性質(zhì)；坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn).

【專題】多邊形與平行四邊形；運算能力.

【答案】B

【分析】直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)2點對應(yīng)點到原點距離相同，進而得出坐標.

【解答】解：：將nABCO繞。點逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至!!口4'B'C。的位置，B（5,2）,

...點8'的坐標是：（-2,5）.

故選：B.

【點評】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

10.（2024?肇源縣開學）下列說法不正確的是（）

A.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

B.有一個角是直角的平行四邊形是矩形

C.有一組鄰邊相等，有一個角是直角的平行四邊形是正方形

D.一組鄰邊相等的四邊形是菱形

【考點】正方形的判定；菱形的判定；矩形的判定.

【專題】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】D

【分析】由矩形、菱形、正方形的判定方法，即可判斷.

【解答】解：A、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故A不符合題意；

8、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故2不符合題意；

C、有一組鄰邊相等，有一個角是直角的平行四邊形是正方形，故C不符合題意；

。、一組鄰邊相等的四邊形可能不是平行四邊形，所以也不一定是菱形，故。符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查矩形、菱形、正方形的判定，關(guān)鍵是掌握矩形、菱形、正方形的判定方法.

—.填空題（共5小題）

11.（2024春?句容市期中）面積為24的菱形的一條對角線長為6,則這個菱形的邊長為5.

【考點】菱形的性質(zhì)；勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】5.

【分析】由菱形的面積求出另一條對角線的長度，再利用勾股定理即可求解.

【解答】解：設(shè)菱形的另一條對角線長為X,

1

由題意得，一xX6=24,

2

?\x=8,

即菱形的另一條對角線長為8,

:菱形的對角線互相垂直平分，

菱形的邊長=J.）2+（務(wù)2=5,

故答案為：5.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.（2024?海淀區(qū)校級開學）若一個多邊形的內(nèi)角和為540。，則該多邊形為五邊形.若一個多邊形

的每一個角都等于120°,則這個多邊形的邊數(shù)是六.

【考點】多邊形內(nèi)角與外角.

【專題】多邊形與平行四邊形；運算能力.

【答案】五，六.

【分析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為小則（?-2）*180°=540°再解方程即可；先求解多邊形的每一個外

角，再利用多邊形的外角和為360°,從而可得答案.

【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為小

（力-2）780°=540°,

解得：〃=5,

???若一個多邊形的內(nèi)角和為540°，則該多邊形為五邊形，

...一個多邊形的每一個內(nèi)角都等于120°,

，這個多邊形的每一個外角為：180。-120°=60°,

???這個多邊形的邊數(shù)為：-=6,

若一個多邊形的每一個角都等于120°,則這個多邊形的邊數(shù)是六，

故答案為：五，六.

【點評】本意主要考查多邊形的內(nèi)角與外角，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵.

13.（2024春?句容市期中）在平行四邊形A3CD中，NA=125°,則/￡>=55°.

【考點】平行四邊形的性質(zhì).

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【答案】55.

【分析】根據(jù)平行四邊形對邊平行得到一組鄰角互補，即/D+/A=180°,據(jù)此可得答案.

【解答】解：：在平行四邊形A8CD中，

；./。+/4=180°,

VZA=125°,

：.ZD=55°,

故答案為：55.

【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的靈活運用.

14.（2024春?鎮(zhèn)海區(qū)期末）己知一個多邊形的內(nèi)角和是720度，則這個多邊形是六邊形.

【考點】多邊形內(nèi)角與外角.

【專題】多邊形與平行四邊形；運算能力.

【答案】六.

【分析】“邊形的內(nèi)角和可以表示成（"-2）780。，設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)是小就得到方程，從而求

出邊數(shù).

【解答】解：這個正多邊形的邊數(shù)是m則

（n-2）.180°=720°,

解得：〃=6.

則這個多邊形是六邊形.

故答案為：六.

【點評】本題考查了多邊形內(nèi)角和定理，此題比較簡單，只要結(jié)合多邊形的內(nèi)角和公式，尋求等量關(guān)系，

構(gòu)建方程求解.

15.（2024春?句容市期中）如圖，在矩形ABC。中，點E在AD上，且EC平分/BED,若BC=2,ZCBE

=45°,則

【考點】矩形的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；矩形菱形正方形；幾何直觀；推理能力.

【答案】V2.

【分析】由矩形的性質(zhì)和角平分線的定義得出NDEC=/￡a=NBEC,推出BE=BC,進而求得2E=

AB-V2.

【解答】解：???四邊形A8CL1是矩形，

J.AD//BC.

：.ZDEC=ZBCE.

,；EC平分/BED,

：.ZDEC=ZBEC.

：.ZBEC=ZECB.

：.BE=BC=2,

:四邊形ABC。是矩形，

AZA=ZABC=90°,

VZCB￡=45°,

AZABE=90°-45°=45°,

AZABE=ZAEB=45°.AB2+AE1=BEl,

：.AB=AE=*BE=&.

故答案為：V2.

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，證出是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

16.（2024春?句容市期中）如圖，已知四邊形A8CO是正方形，48=3,點E為對角線AC上一動點，連

接。E,過點E作交射線BC于點尸，以DE,EF為鄰邊作矩形DEFG,連CG.

（1）求證：矩形。所G為正方形；

（2）CE+CG=3企.

【考點】正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；運算能力.

【答案】（1）見解析；

（2）3V2.

【分析】（1）過點E作EMLBC于M,ENLCD于N,證ADEN經(jīng)AFEM,得DE=EF,即可證矩形

OEFG為正方形；

（2）證明△AOE絲△CZ5G,可得AE=CG,由此可推得CE+CG=AC,利用勾股定理計算即可.

【解答】（1）證明：如圖，過點￡作四，8（?于ENLCD=^N,則NMEN=90°.

，。4平分/8。,

5L'：EM±BC,EN±CD,

：.EM=EN.

■:/DEF=NMEN=90°,

AZDEN+ZNEF=90°,ZMEF+ZNEF=90°,

：.ZDEN=ZMEF.

在ADEN和△尸EM中,

'/DEN=ZMEF

'EN=EM，

、乙DNE=AFME=90°

???4DEN"AFEM(ASA).

：.DE=EF,

???四邊形OEFG是矩形，

???矩形G是正方形.

(2)解：,??四邊形A8CD與四邊形EFGH為正方形，

：.DE=DG,AD=CD=AB=3,ZADC=ZEDG=90°,

???/ADE+ZCDE=ZCDG+ZCDE=90°,

NADE=NCDG,

在△ADE與△COG中，

AD=CD

Z.ADE=乙CDG,

DE=DG

???△AOE之△CDG(SAS),

：.AE=CG.

：.CE+CG=CE+AE=AC=VXO2+CD2=V32+32=3&.

故答案為：3A/2.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，

化為最簡二次根式，解決本題的關(guān)鍵是熟練運用相關(guān)性質(zhì)定理.

17.(2024?永修縣校級模擬)在平行四邊形ABC。中，E為8C上一點，點尸為AE的中點，連接。尸并

延長，交CB的延長線于點G,求證：BG=CE.

【考點】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的全等；多邊形與平行四邊形；幾何直觀；推理能力.

【答案】證明見解答過程.

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明△AFD之△EFG,得到GE=BC,即可證明.

【解答】證明：：點/為AE的中點,

C.AF^FE,

V四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC,

：.ZADF^ZEGF,

'：ZAFD=ZEFG,

：.(AAS),

：.AD=GE,

:.GE=BC,

:.BG=CE.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

18.(2024春?源匯區(qū)校級期中)如圖，在RtzMBC中，NA8C=90°,點。，E分別是邊8C,AC的中點,

連接即并延長到點E使DF=ED,連接BE,BF,CF,AD.

(1)求證：四邊形8FCE是菱形；

(2)若8C=6,EF=3,則AD的長為3位.

【考點】菱形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理.

【專題】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】(1)見解析；

(2)3V2.

【分析】(1)證明BD=CD,又由DF=ED即可證明四邊形BFCE是平行四邊形，證明DE是△ABC

的中位線，貝!得到。E_LBC,即可證明四邊形BFCE是菱形；

11Q

(2)先求出8。=於。=3,ED=^EF=^,由。E是△ABC的中位線得到AB=2DE=3,再由勾股

定理即可求出答案.

【解答】（1）證明：：點。是8C的中點，

:.BD=CD,

:DF=ED,

，四邊形BFCE是平行四邊形，

；點、D,E分別是邊8C,AC的中點，

DE是△ABC的中位線，

：.DE//AB,

：.ZCDE=ZABC=90°,

即DELBC,

四邊形BPCE是菱形；

（2）解：：BC=6,EF=3,

：.BD==3,ED=^EF=1

：DE是△ABC的中位線，

：.AB=2DE=3,

：.AD=<AB2+BD2=3V2,

故答案為：3a.

【點評】此題考查了菱形的判定、勾股定理、三角形的中位線等知識，證明四邊形BFCE是菱形是解題

的關(guān)鍵.

19.（2024春?朝陽區(qū)期末）如圖，在矩形A8C。中，AC,8。相交于點。，E為A8的中點，連接OE并

延長至點R使EF=EO,連接ARBF.求證：四邊形AFB。是菱形.

【考點】矩形的性質(zhì)；三角形中位線定理；菱形的判定.

【專題】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】先根據(jù)矩形性質(zhì)證明AO=B。，/ABC=90°,再根據(jù)E為AB中點，利用三角形中位線定理

證明0E〃8C,求出NAEO的度數(shù)，然后證明Rt^AEOgRt^AEF,從而證明AF=AO,同理證明80

=BF,最后利用菱形的判定定理證明即可.

【解答】證明：???四邊形A3。是矩形，

11

：.A0=B0=^AC=^BD,NA3C=90°,

???E為A3的中點，

???OE是△ABC的中位線，

???OE//AB,

：.ZAEO=ZABC=90°,

VZAEO+ZAEF=180°,

AZAEO=ZAEF=90°,

在RtAAEO和RtAAEF中,

AE=AE

Z.AEO=乙4EF,

EO=EF

：.RtAAEO^RtAAEF(SAS),

VAF=AO,

同理可證：RtABEO^RtABEF(SAS),

：.BO=BF,

：.AO=BO=AF=BF,

四邊形AFBO是菱形.

【點評】本題主要考查了菱形的判定和矩形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握矩形和菱形的判定定理和性質(zhì)

定理.

20.(2024?衡陽模擬)閱讀短文，解決問題

定義：三角形的一個角與菱形的一個角重合，且菱形的這個角的對角頂點在三角形的這個角的對邊上,

則稱這個菱形為該三角形的“親密菱形”.例如：如圖1,四邊形AE;明為菱形，/BAC與/D4E重合，

點廠在BC上，則稱菱形AEFD為△ABC的“親密菱形”.

如圖2,在Rt^ABC中，ZB=90°,AF平分/BAC,交BC于點F過點尸作即〃AC,EF//AB.

(1)求證：四邊形AEED為△ABC的“親密菱形”；

(2)若AC=12,FC=2限,求四邊形AEFD的周長；

(3)如圖3,M、N分別是。RAC的中點，連接MN.若MN=3,求AZ^+c產(chǎn)的值.

【考點】四邊形綜合題.

【專題】新定義；方程思想；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力；應(yīng)用意識.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)由尸O〃AC,EF//AB,得四邊形AEED是平行四邊形，根據(jù)AF平分/BAC,可得/AFE

=/EAF,AE=EF,即可證明四邊形AEFD是菱形，而菱形AEFD的ND4E與△ABC的N8AC重合，

產(chǎn)在8C上，故四邊形AEFO為△A8C的“親密菱形”；

(2)AE=EF=DF=AD=x,由/8=90°,EF//AB,得/EFC=90°,BPEF1+CF2=CE1,列方程

?+(2V6)2=(12-x)2,解得無=5,即可求出四邊形AEFD的周長為20；

(3)過尸作FG〃政V交AC于G,由四邊形是平行四邊形，得FG=MN=3,MF=NG,根據(jù)

M、N分別是。F、AC的中點，可得G為CE中點，即可得CE=2FG=6,從而得石尸+C產(chǎn)=36,A/AC產(chǎn)

=36.

【解答】(1)證明：?"￡>〃&(?,EF//AB,

四邊形AEFD是平行四邊形，

/DAF=ZAFE,

平分/BAC,

ZDAF=ZEAF,

：.NAFE=ZEAF,

；.AE=EF,

四邊形AE即是菱形，

而菱形AEFD的/ZME與△ABC的N8AC重合，尸在8C上，

四邊形AMD為△ABC的“親密菱形”；

(2)解：由(1)知四邊形AEFD是菱形，設(shè)AE=EF=DF=AD=x,

'：AC=12,

CE=12-x,

VZB=90°,EF//AB,

：.ZEFC=90°,

:.EF2+CF2=CE2,

，/+(2V6)2=(12-x)2,

解得x=5,

，四邊形AEFD的周長為5X4=20；

(3)解：過廠作FG〃MN交AC于G,如圖:

二四邊形MNGF是平行四邊形，

：.FG=MN=3,MF=NG,

N分別是。F、AC的中點，

；.CN=%C,MF=^DF,

1

：.NG=*F,

:.CG=CN-NG=%C-班=3CAC-DF)=|(AC-A￡)=1cE,

；.G為CE中點，

VZEFC=90°,

：.CE=2FG=6,￡F2+CF2=CE2,

.\EF2+CF2=36,

：.AD2+CF2^36.

【點評】本題利用新定義考查直角三角形性質(zhì)及菱形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)與判

定，熟練應(yīng)用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半.

考點卡片

1.坐標與圖形性質(zhì)

1、點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到X軸的距離與縱坐標有關(guān)，到y(tǒng)

軸的距離與橫坐標有關(guān)；②距離都是非負數(shù)，而坐標可以是負數(shù)，在由距離求坐標時，需要加上恰當?shù)姆?/p>

號.

2、有圖形中一些點的坐標求面積時，過已知點向坐標軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長，是解決這類問

題的基本方法和規(guī)律.

3、若坐標系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標軸的輔助線用“割、補”法去解決問題.

2.平行線之間的距離

(1)平行線之間的距離

從一條平行線上的任意一點到另一條直線作垂線，垂線段的長度叫兩條平行線之間的距離.

(2)平行線間的距離處處相等.

3.三角形的面積

(1)三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即SA=*X底X高.

(2)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.

4.全等三角形的判定與性質(zhì)

(1)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，

關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.

(2)在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角

形.

5.全等三角形的應(yīng)用

(1)全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用

用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認真分析題目

的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系.

(2)作輔助線構(gòu)造全等三角形

常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個三角形中是解決中線問題的基

本規(guī)律.②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三

角形來證明.

(3)全等三角形在實際問題中的應(yīng)用

一般方法是把實際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為

三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵.

6.角平分線的性質(zhì)

角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有

時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，

在NAOB的平分線上，CDYOA,CELOB：.CD=CE

7.直角三角形斜邊上的中線

(1)性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.(即直角三角形的外心位于斜邊的中點)

(2)定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直

角三角形.

該定理可以用來判定直角三角形.

8.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么次+62=02.

(2)勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

22

(3)勾股定理公式/+62=02的變形有：a=Vc—b,b=7c2—a?及c=7a2+爐.

(4)由于。2+62=C2＞/，所以。＞小同理。＞從即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角

邊.

9.三角形中位線定理

(1)三角形中位線定理：

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

(2)幾何語言：

如圖，?.?點。、E分別是A8、AC的中點

1

J.DE//BC,DE=^BC.

D,

B'---------------V?

10.多邊形內(nèi)角與外角

(1)多邊形內(nèi)角和定理：(〃-2)780°且w為整數(shù))

此公式推導(dǎo)的基本方法是從〃邊形的一個頂點出發(fā)引出(力-3)條對角線，將〃邊形分割為(w-2)個三

角形，這(”-2)個三角形的所有內(nèi)角之和正好是〃邊形的內(nèi)角和.除此方法之和還有其他幾種方法，但

這些方法的基本思想是一樣的.即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也是研究多邊形問題常用的方法.

(2)多邊形的外角和等于360°.

①多邊形的外角和指每個頂點處取一個外角，則n邊形取n個外角，無論邊數(shù)是幾，其外角和永遠為360°.

②借助內(nèi)角和和鄰補角概念共同推出以下結(jié)論：外角和=180°n-(71-2)-180°=360°.

11.平行四邊形的性質(zhì)

(1)平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

(2)平行四邊形的性質(zhì)：

①邊：平行四邊形的對邊相等.

②角：平行四邊形的對角相等.

③對角線：平行四邊形的對角線互相平分.

(3)平行線間的距離處處相等.

(4)平行四邊形的面積：

①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積.

②同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相