專題復(fù)習(xí)勾股定理章末重難點題型

旨【題型目錄】

考點一勾股定理的證明方法

考點二勾股樹問題

考點三用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題

考點四勾股定理的折疊問題

考點五勾股定理的逆定理

考點六最短路徑問題

考點七勾股定理的其他應(yīng)用

【考點一勾股定理的證明方法】

【例題1］我們在學(xué)習(xí)勾股定理的第二課時時,以下圖形可以用來驗證勾股定理的有（）個.

B.

【變式1T】我國是最早了解勾股定理的國家之一.據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，勾股定理的證明是在商代由商

高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”；三國時代的趙爽對《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋，又給出

了另外一個證明.古代印度、希臘、阿拉伯等許多國家也都很重視對勾股定理的研究和應(yīng)用.下面四幅圖

中，不能證明勾股定理的是（）

A.B.

b

【變式「2】如圖，把長、寬、對角線的長分別是八6、c的矩形沿對角線剪開，與一個直角邊長為c的等

腰直角三角形拼接成右邊的圖形，用面積割補(bǔ)法能夠得到的一個等式是

【變式『3】我國古代用勾、股和弦分別表示直角三角形的兩條直角邊和斜邊.如圖，由四個全等的直角

三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，數(shù)學(xué)家鄒元治利用該圖證明了勾股定理，當(dāng)大正方形面積為9,

小正方形面積為5,則直角三角形中股和勾的差值為.

【變式『4】勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理.在我國古書

《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅

“弦圖"（如圖1）,后人稱之為“趙爽弦圖"，流傳至今.

（1）①請敘述勾股定理.

②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定

理.（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）

b

與a0可

圖1圖2圖3

(2)①如圖4,5,6,以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖

形中面積關(guān)系滿足Si+S2=S3的有__________個.

②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月牙形圖案(圖中陰影部分)的面積分

別為跖，邑，直角三角形面積為邑，請寫出豆，邑，S3的數(shù)量關(guān)系:

(3)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這

一過程就可以得到如圖8所示的“勾股樹”.在如圖9所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊

長為定值加，四個小正方形A,B,C,。的邊長分別為“，b,c,d,則/+從+°2+/=

圖8

【考點二勾股樹問題】

【例題2］如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若

正方形A,B,C,。的邊長分別為4,6,3,4,則最大正方形E的面積是（）

C.77D.86

【變式2-1】在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識時，小明發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中.

a68101214

b815243548

c1017263750

則當(dāng)a=24時，b+c的值為（）A.162B.200C.242D.288

【變式2-2］如圖是一株美麗的勾股數(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形,

若正方形A、B、C、Z）的邊長分別是3、5、2、3,則最大正方形E的邊長是.

【變式2-3】我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”.

觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒

有間斷過.

（1）請你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：；

（2）若第一個數(shù)用字母〃（〃為奇數(shù)，且此3）表示，那么后兩個數(shù)用含〃的代數(shù)式分別表示為.

【變式2-4】我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”.

（1）觀察：3,4,5；5,12,13；7,24,25；發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過.事

實上，勾是三時，股和弦的算式分別是3（9-1），1（9+1）；勾是五時，股和弦的算式分別是3（25-1）,

1（25+1）.根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，分別寫出勾是七時，股和弦的算式；

（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，請用含〃（”為奇數(shù)，且佗3）的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦，合情猜

想它們之間的相等關(guān)系（請寫出兩種），并對其中一種猜想加以證明；

（3）繼續(xù)觀察4,3,5；6,8,10；8,15,17；…，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒有間

斷過.運(yùn)用類似上述探索的方法，直接用相（根為偶數(shù)，且相＞4）的代數(shù)式來表示股和弦.

【考點三用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題】

【例題3】如圖，有一個水池，水面是邊長為10尺的正方形，水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺.若

把這根蘆葦拉向水池一邊，頂端恰好到達(dá)池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L度為（）尺.

A.6B.5C.13D.12

【變式3-1］如圖，某自動感應(yīng)門的正上方A處裝著一個感應(yīng)器，離地面的高度A3為2.5米，一名學(xué)生站

在C處時，感應(yīng)門自動打開了，此時這名學(xué)生離感應(yīng)門的距離為1.2米，頭頂離感應(yīng)器的距離AZ）為1.5

米，則這名學(xué)生身高CQ為（）米.

A.0.9B.1.3C.1.5D.1.6

【變式3-2］如圖有兩棵樹，一棵高10m,另一棵高4m,兩樹相距8m,一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另

一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行m.

【變式3-3】如圖，八年級一班的同學(xué)準(zhǔn)備測量校園人工湖的深度，他們把一根竹竿豎直插到水底，此

時竹竿A8離岸邊點C處的距離CD=0.8米.竹竿高處水面的部分長0.2米，如果把竹竿的頂端A拉向

岸邊點C處，竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則人工湖的深度2。為.

【變式3-4】如圖，牧童在河邊A處放牛，家在河邊8處，時近傍晚，牧童驅(qū)趕牛群先到河邊飲水，然后

在天黑前趕回家，已知點A到河邊C的距離為500m,點8到河邊〃的距離為700m,且C0=500m.

A

B

(1)請在圖中畫出牧童回家的最短路線;

(2)求出牧童回家最短路線的長度.

【考點四勾股定理的折疊問題】

【例題4】如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6,BC=8.現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使

它落在斜邊A8上，且與4E重合，則CD的長為（）

【變式4-1］如圖，在RQABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,按圖中所示方法將△3CD沿2。折疊，使

點C落在邊AB上的點C處，那么線段AD的長為（）

A.6B.5C.4D.3

【變式4-2］如圖，在R3ABC中，NC=90。，BC=6cm,AC=8cm,如果按圖中所示方法將△BCD沿2。

折疊，使點C落在邊AB上的點C處，那么。C=cm.

【變式4-3］如圖，在RAABC中，/C=90?,AC=12,3c=10,。是2C的中點，E是AC上一動點,

將沿DE折疊到AC'DE,連接AC',當(dāng)AAEC'是直角三角形時，CE的長為.

【變式4-4］如圖，在長方形ABCD中，AB=S,AD=10,點E為8C上一點，將AABE沿AE折疊，使

點B落在長方形內(nèi)點尸處，連接。尸，且1小=6.

AD

（1）求證：AF±DF.

（2）求BE的長.

【考點五勾股定理的逆定理】

【例題5】下列滿足條件的三角形中，不是直角三角形的是（）

A.三內(nèi)角之比為3:4:5B.在AABC中，a2-b2=c2

C.三邊長的平方之比為1:2:3D.三邊長分別為a,b,c,且。="?—I,6=2〃,c=1+i（〃>1）.

【變式5-1】甲、乙兩艘客輪同時離開港口，航行的速度都是40m/min,甲客輪15min到達(dá)A,乙客輪用

20min到達(dá)2點，若A、2兩點的直線距離為1000m,甲客輪沿北偏東30。的方向航行，則乙客輪的航行方

向是（）

A.南偏西30。B.南偏東60。C.北偏西30。或南偏東30。D.南偏東60。或北偏西60。

【變式5-2】如圖，在四邊形ABC。中，A5=AD=6,ZA=60°,BC=10,CD=8.則ZADC的度數(shù)為

【變式5-3］如圖，在R3A8C中，ZACB=90°,AD平分/C4B交邊8C于點。E,E,尸分別是A。，AC

上的點，連接CE,EF.若AB=10,BC=6,AC=8,則CE+E尸的最小值是

【變式5-4】如圖所示，已知A。，AE分別是AABC的高和中線，AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm；試求:

(1)A。的長；

(2)△ABE的面積；

(3)AACE和^ABE的周長的差.

【考點六最短路徑問題】

【例題6】如圖，長方體的高為3cm,底面是正方形，邊長為2cm,現(xiàn)有一蒼蠅從A點出發(fā)，沿長方體的

表面到達(dá)C點處，則蒼蠅所經(jīng)過的最短距離為(

A.5cmB.4cmC.8cmD.16cm

【變式6-1】一只螞蟻從長為2cm,寬為1cm,高是4cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到8點，那么它所

行的最短路線的長是()

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【變式6-2］如圖，長方體的長為15,寬為10,高為20,點B離點C的距離為5,一只螞蟻如果要沿著長

方體的表面從點A爬到點B,需要爬行的最短距離是.

【變式6-3］如圖所示，有一個圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米.在圓柱的底面A點處有

一只小螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的C點處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是.（乃取

3）

【變式6-4］如圖，長方體的透明玻璃魚缸，假設(shè)其長AD=80cm,高AS=60cm,水深為AE=40cm,在

水面上緊貼內(nèi)壁G處有一魚餌，G在水面線斯上，且EG=60cm；一小蟲想從魚缸外的A點沿壁爬進(jìn)魚缸

內(nèi)G處吃魚餌，求小動物爬行的最短距離.（魚缸厚度忽略不計）

【考點七勾股定理的其他應(yīng)用】

【例題7】如圖是一個長為12cm,寬為5cm,高為8cm的長方體，一只蜘蛛從一條側(cè)棱的中點A沿著長方

體表面爬行到頂點B去捕捉螞蟻，此時蜘蛛爬行的最短距離是（）

A.13cmB.15cmC.21cmD.25cm

【變式7-1】放學(xué)后，貝貝和京京從學(xué)校分手，分別沿西南方向和東南方向回家，已知兩人行走的速度都

是40m/min.貝貝用15min到家，京京用20min到家，那么貝貝家與京京家的距離是（）

A.600mB.800mC.1000mD.無法計算

【變式7-2】如圖，將長為10m的梯子48斜靠在墻上，使其頂端A距離地面6m.若將梯子頂端A向上滑

動2m,則梯子底端B向左滑動m.

【變式7-3］如圖，有兩條公路OM,ON相交成30。，沿公路方向離兩條公路的交叉處。點80米的A

處有一所希望小學(xué)，當(dāng)拖拉機(jī)沿ON方向行駛時，路兩旁50米內(nèi)會受到噪音影響，已知有兩臺相距30米的

拖拉機(jī)正沿ON方向行駛，它們的速度均為5米/秒，問這兩臺拖拉機(jī)沿ON方向行駛時給小學(xué)帶來噪音影

響的時間是秒.

【變式7-4】“交通管理條例第三十五條”規(guī)定：小汽車在城市街路上行駛速度不得超過70千米/小時，如圖,

一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀正前方50米處，過了6秒

后，測得小汽車與車速檢測儀距離130米.

小汽車C--------------------------3小汽車

月檢測

（1）求小汽車6秒走的路程；

（2）求小汽車每小時所走的路程，并判定小汽車是否超速?

4【亮點訓(xùn)練】

2

1.下面幾組數(shù)：①7,8,9；②12,9,15；③蘇+1，療一島2mn（根，〃均為正整數(shù)，機(jī)〉"）；@a,

/+1,1+2.其中能組成直角三角形三邊長的是（）

A.①②B.②③C.①②③D.③④

2.三個正方形的面積如圖，正方形A的邊長為（）

3.直角三角形有一條直角邊的長是n,另外兩邊的長都是自然數(shù)，那么它的周長是（）

A.132B.121C.120D.以上答案都不對

4.如圖，在一塊平地上，張大爺家屋前9米遠(yuǎn)處有一棵大樹.在一次強(qiáng)風(fēng)中，這棵大樹從離地面6米處折

斷倒下，量得倒下部分的長是10米.出門在外的張大爺擔(dān)心自己的房子被倒下的大樹砸到.大樹倒下時能

砸到張大爺?shù)姆孔訂?？請你通過計算、分析后給出正確的回答（）

A.一定不會B.可能會C.一定會D.以上答案都不對

5.如圖，在RtAABC中，^BAC=9QAB=S,AC=6,/ABC的平分線交AC于點。，點E,尸分別是3D、AB

上的動點，則AE+EP的最小值為（）

A.4B.4.8C.5D.6

6.如圖是“趙爽弦圖”，由4個全等的直角三角形拼成的圖形，若大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,

設(shè)直角三角形較長直角邊為6,較短直角邊為。，則a+6的值是（）

A.7B.6C.5D.4

7.對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示“垂美"四邊形ABCD,對角線AC,BD交于

點。，若AB=6,CD=10,貝+.

8.如圖，七個正方形如此排列，相鄰兩個正方形都有公共頂點，數(shù)字字母代表各自正方形面積.則

5；+52+53+54=

9.如圖，放△ABC中，ZBAC=90°,AC=8,AB=6,DELAC,CD=^BC,DE=2,P是直線AC上一點,

把△CZ）P沿。P所在的直線翻折后，點C落在直線。E上的點X處，CP的長是.

10.動手操作：如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,AC=8,3c=4,點。為邊AC上一動點，DE±AB

交AB于點E,將NA沿直線。E折疊，點A的對應(yīng)點為「當(dāng)△/)「(？是直角三角形時，AD的長為.

11.如圖，在RtlBC中，/C=90?,AC=8,在ZsABE中，OE是A3邊上的高，DE=12,^AB￡=60.

⑴求2c的長.

(2)求斜邊A3邊上的高.

12.如圖，已知在RdABC中，ZACB=90°,AC=5,8C=12,點P從B點出發(fā)沿射線8C方向以每秒2

個單位的速度向左運(yùn)動.設(shè)點尸的運(yùn)動時間為f.連接AP.

⑴當(dāng)1=4.5秒時,求A尸2；

(2)當(dāng)AA3P為等腰三角形時，求f的值.

13.如圖，已知及43。中，NB=90。，AB=8cm,8C=6cm,P、。是AABC邊上的兩個動點，其中點尸從

點A開始沿A-8方向運(yùn)動，且速度為每秒1cm,點。從點8開始沿B-C方向運(yùn)動，且速度為每秒2cm,

它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為/秒.

(1)當(dāng)f=2秒時，求的長;

(2)求出發(fā)時間為幾秒時，APQB是等腰三角形？

(3)若。沿方向運(yùn)動，則當(dāng)點。在邊CA上運(yùn)動時，求能使ABCQ成為等腰三角形的運(yùn)動時間.

14.如圖，已知△ABC與AEFC都是等腰直角三角形，其中NAC8=N￡C戶=90。，￡為邊上一點.

(1)試判斷AE與8尸的大小關(guān)系，并說明理由;

(2)求證：AE2+BE2=EF2

15.如圖，在AABC中，BC=3,AC=4,48=5,動點尸從點B出發(fā)沿射線BC以每秒1個單位的速度移

動，設(shè)運(yùn)動的時間為人

(1)求AABC為直角三角形；

(2)若AA8尸為直角三角形，求出f的值(寫出證明過程)；

(3)若AABP為等腰三角形，直接寫出f的值(不必寫出證明過程).

《講亮點》2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊教材同步配套講練《蘇科版》

專題復(fù)習(xí)勾股定理章末重難點題型

旨【題型目錄】

考點一勾股定理的證明方法

考點二勾股樹問題

考點三用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題

考點四勾股定理的折疊問題

考點五勾股定理的逆定理

考點六最短路徑問題

考點七勾股定理的其他應(yīng)用

【考點一勾股定理的證明方法】

【例題1］我們在學(xué)習(xí)勾股定理的第二課時時,以下圖形可以用來驗證勾股定理的有()

個.

b

圖2

B.2

【答案】C

【分析】用兩種不同的方法表示出梯形的面積，可以判斷圖1和圖3可以驗證勾股定理；根

據(jù)圖形的總面積等于一個大正方形的面積加上兩個直角三角形的面積，也等于兩個小正方形

的面積加上兩個直角三角形的面積，然后整理可以判斷圖2可以驗證勾股定理.

【詳解】解:圖1和圖3：梯形匕,S梯形=；加1+卜

—x(a+b)(a+b)=—ab+—ab+—c1,

2222

?,4+2ab+/=ab+cib+c2,

Aa2+b2=c2,故圖1和圖3都可以驗證勾股定理；

圖2：圖形的總面積可以表示為：豐2?上浦c2ab,

2

也可以表示為：4豐匕2+2?41aob2就，

2

??/+ab=a2++ab,

Aa2+b2=c\故圖2可以驗證勾股定理；

圖4不可以驗證勾股定理.

綜上，圖1、圖2和圖3可以驗證勾股定理，共3個.

故選：C.

【點睛】本題考查了勾股定理的證明，觀察圖形，利用兩種方法表示出圖形的面積是解題的

關(guān)鍵.

【變式1T】我國是最早了解勾股定理的國家之一.據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，勾股定理的證

明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”；三國時代的趙爽對《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾

股定理作出了詳細(xì)注釋，又給出了另外一個證明.古代印度、希臘、阿拉伯等許多國家也都

很重視對勾股定理的研究和應(yīng)用.下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)基礎(chǔ)圖形的面積公式表示出各個選項的面積，同時根據(jù)割補(bǔ)的思想可以寫出另

外一種面積表示方法，即可得出一個等式，進(jìn)而可判新能否證明勾股定理.

【詳解】解：A、大正方形的面積等于c2,也等于4個直角三角形的面積加小正方形的面積,

:.—abx4+（Z?—a）2=c~,B|]a2+b2=c2>

2

能證明勾股定理，故本選項不符合題意；

B、大正方形的面積等于（4+6）2,也等于〃+。2+2而，

+=a1+b2+2ab,

不能證明勾股定理，故本選項符合題意；

C、大正方形的面積等于（4+6）2,也等于4個直角三角形的面積加小正方形的面積，

+=c2+4ab,即1+匕、。？，

能證明勾股定理，故本選項不符合題意;

D、梯形的面積等于g(a+b)(a+6),也等于2個直角三角形和一個等腰直角三角形的面積

和，

111,

—?(a+b)(a+b)=—ab'x.2+—c1,即a2+b2=c2

222

能證明勾股定理，故本選項不符合題意；

故選：B

【點睛】本題考查勾股定理的證明方法，熟練掌握內(nèi)弦圖、外弦圖是解題關(guān)鍵.

【變式1-2】如圖，把長、寬、對角線的長分別是a、氏c的矩形沿對角線剪開，與一個直

角邊長為c的等腰直角三角形拼接成右邊的圖形，用面積割補(bǔ)法能夠得到的一個等式是

【答案】a2+b2=c2

【分析】用三角形的面積和、梯形的面積來表示這個圖形的面積，從而列出等式，發(fā)現(xiàn)邊與

邊之間的關(guān)系.

【詳解】解：此圖可以這樣理解，有三個放△其面積分別為\ab,gab和jc2.

(a+6)(a+b).

整理得(〃+。)2=2〃。+/,a2+b2+2ab=lab+c2,

a2+b2=c2.

故答案為：a2+b2^c2.

【點睛】此題考查的知識點是勾股定理的證明，主要利用了三角形的面積公式：底x高一2,

和梯形的面積公式：(上底+下底)x高+2.

【變式1-3］我國古代用勾、股和弦分別表示直角三角形的兩條直角邊和斜邊.如圖，由

四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，數(shù)學(xué)家鄒元治利用該圖證明了勾

股定理，當(dāng)大正方形面積為9,小正方形面積為5,則直角三角形中股和勾的差值為

【答案】1

【分析】設(shè)勾為x,股為y,根據(jù)面積求出孫=2,根據(jù)勾股定理求出爐+產(chǎn)=5,根據(jù)完全平

方公式求出y-x即可.

【詳解】設(shè)勾為x,股為y（尤＜y）,

:大正方形面積為9,小正方形面積為5,

.,.4*3孫+5=9,

??xy=2,

"+戶5,

?'?y-x=yj（y-x）2=y/x2+y2-2xy=15-2x2=b

??y~x~~1,

故答案為1.

【點睛】本題考查了勾股定理和完全平方公式，能根據(jù)已知和勾股定理得出算式孫=2和

f+丁=5是解此題的關(guān)鍵.

【變式1-4］勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定

理.在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽

為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1）,后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今.

（1）①請敘述勾股定理.

②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一

種來證明該定理.（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）

b

圖I圖2圖3

⑵①如圖4,5,6,以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三

角形，這三個圖形中面積關(guān)系滿足H+$2=$3的有個.

②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月牙形圖案（圖中陰影部

分）的面積分別為跖，S?,直角三角形面積為S3,請寫出St,S2,S3的數(shù)量關(guān)系:.

（3汝口果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作

正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖8所示的“勾股樹”.在如圖9所示的“勾股樹”的某部

分圖形中，設(shè)大正方形〃的邊長為定值優(yōu)，四個小正方形A,B,C,O的邊長分別為。，

b,c,d,貝!I/+人2+。2+屋=

圖8

【答案】（1）①見解析，②見解析

（2）①3,②5]+星=53

【分析】（1）①根據(jù)所學(xué)的知識，寫出勾股定理的內(nèi)容即可；

②根據(jù)題意，利用面積相等的方法，即可證明勾股定理成立；

（2）①根據(jù)題意，設(shè)直角三角形的三邊分別為a、6、c,利用面積相等的方法，分別求出

面積的關(guān)系，即可得到答案；

②利用三角形的面積加上兩個小半圓的面積，然后減去大半圓的面積，即可得到答案；

(3)由(1)(2)中的結(jié)論，結(jié)合勾股定理的應(yīng)用可知，?2+&2+c2+6/2=m2.

(1)

解：①如果直角三角形的兩條直角邊分別為。，b,斜邊為c,那么/+62=°2.(或在直角

三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方)

②(以下過程，選擇其一解答即可，不必三個皆證.)

若選擇圖1,證明過程如下：

證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的

和，

即c2=^abx4+(b-a)2,

化簡，得/+〃=。2.

若選擇圖2,證明過程如下：

在圖2中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和，

即(a+6)2_c2+g"6x4,

化簡，得Y+62=C2.

若選擇圖3,證明過程如下：

證明：在圖3中，梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和，

BP—(a+Z7)(a+Z7)=—(z&x2+—c2,

222

化簡,^a2+b2=c2.

(2)

①根據(jù)題意，則如下圖所示：

在圖4中，直角三角形的邊長分別為服b、c,則

由勾股定理，得4+62=02,

,S1+Sz=S3；

在圖5中，三個扇形的直徑分別為a、b、c,則

S=-7rx.(—)2=—7ra2,S--7rx.(-)2--7rb2,S=—7rx(-)2=-^c2,

l22822283228

S]+S。=—萬,

8

,?*a2+b2=c2,

:.—7r(a2+b1)=-7TC1,

88

???Si+82=83；

在圖6中，等邊三角形的邊長分別為。、b、c,則

Si%?,,邑=孝02,(等邊三角形面積公式：S等一與落。為邊長)

22222

VSt+S2=--(a+b),a+b=c,

.?.烏片+人旦2,

44

，Si+Sz=S3；

，滿足^+邑=冬的有3個,

故答案為：3；

②結(jié)論E+邑=邑；

2

+邑-3c

a2+b2=c2>

.他+52=邑；

故答案為：Sl+S2=S3.

(3)

如圖9,正方形A、B、C、D、E、F、A/中,對應(yīng)的邊長分別為4、b、c、d、e、于、m,則

有

由⑴(2)中的結(jié)論可知，面積的關(guān)系為:$c+$/>==S”，

222222222

?**a+b=e9c+d=f9e+f=m,

a2+b2+c2+d2=m2

故答案為：m2

圖9

【點睛】本題考查了求扇形的面積，解直角三角形，勾股定理的證明，以及正方形的性質(zhì)，

解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用，注意歸納推理等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論

證能力、歸納總結(jié)能力，是中檔題.

【考點二勾股樹問題】

【例題2］如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直

角三角形.若正方形A,B,C,。的邊長分別為4,6,3,4,則最大正方形E的面積是（）

A.17B.34C.77D.86

【答案】C

【分析】根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理，能夠?qū)С稣叫?B,C,。的面積和

即為最大正方形的面積.

【詳解】解：如下圖：

根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、8的面積和為C、。的面積和為S2,

22

S;=4+6,62=32+42,

于是S3=SI+S2>

即可得53=16+36+9+16=77.

故選：C.

【點睛】本題考查了勾股定理的知識，根據(jù)勾股定理的幾何意義表示出S3是解答本題的關(guān)

鍵.

【變式2-1】在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識時，小明發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在

如下的表格中.

a68101214

b815243548

c1017263750

則當(dāng)。=24時，b+c的值為()A.162B.200C.242D.288

【答案】D

【分析】先根據(jù)表中的數(shù)據(jù)得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求出力、。的值，再求出答案即可.

【詳解】解：從表中可知：。依次為6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,…，

即24=2x(10+2),

6依次為8,15,24,35,48,…，即當(dāng)。=24時，b=122-l=143,

c依次為10,17,26,37,50,…，即當(dāng)a=24時，c=122+l=145,

所以當(dāng)a=24時，b+c=143+145=288.

故選：D.

【點睛】本題考查了勾股數(shù)，能根據(jù)表中數(shù)據(jù)得出6=5+2)2-1,c=5+2)2+1是解此題

的關(guān)鍵.

【變式2-2】如圖是一株美麗的勾股數(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都

是直角三角形，若正方形A、B、C、。的邊長分別是3、5、2、3,則最大正方形E的邊長

是.

【答案】歷

【分析】設(shè)正方形A,B,C,。的邊長依次為a,b,c,d,鄰近A的正方形邊長為e,鄰近

。的正方形邊長為人最大正方形的邊長為g,根據(jù)正方形的面積公式和勾股定理依次計算

即可.

【詳解】如圖，設(shè)正方形A,B,C,。的邊長依次為a,b,c,d,鄰近A的正方形邊長為

e,鄰近。的正方形邊長為人最大正方形的邊長為g,且a=3,b=5,c=2,d-3,所有的三

角形都是直角三角形.

所以>+方=/1十屋=f2,ei+f2=g2,

所以g2=+<?+屋

=52+32+22+32

=47,

所以邊長為歷，

故答案為：歷.

【點睛】本題考查了正方形的面積和勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3】我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”.

觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，

且從3起就沒有間斷過.

(1)請你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：；

(2)若第一個數(shù)用字母"(”為奇數(shù)，且佗3)表示，那么后兩個數(shù)用含”的代數(shù)式分別表

示為-

【答案】H,60,61匚1和或也

22

【分析】(1)分析所給四組的勾股數(shù)：3、4,5；5、12、13；7、24、25；9、40、41,可得

下一組勾股數(shù)：11、60、61；

(2)根據(jù)所提供的例子發(fā)現(xiàn)股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之

【詳解】解：(1)V112+602=3721=612,

...下一組勾股數(shù)為：11、60、61；

故答案為：11,60,61.

22

(2)后兩個數(shù)表示為n一_和1生n上+1

22

..2(M2-1Y2M4-2M2+1W4+2M2+1

.n+---=n+-------=-------

I2J44

(M2+1Yn4+2/+1

又且〃為奇數(shù)，

由“，士1,日里三個數(shù)組成的數(shù)是勾股數(shù).

22

故答案為：J■和

22

【點睛】此題考查了勾股數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中所給的勾股數(shù)及關(guān)系式進(jìn)

行猜想、證明即可.

【變式2-4】我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”.

(1)觀察：3,4,5；5,12,13；7,24,25；發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起

就沒有間斷過.事實上，勾是三時，股和弦的算式分別是g(9-1),y(9+1)；勾是五時,

股和弦的算式分別是3(25-1),|(25+1).根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，分別寫出勾是七時，股

和弦的算式；

(2)根據(jù)(1)的規(guī)律，請用含〃(“為奇數(shù)，且這3)的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾、

股、弦，合情猜想它們之間的相等關(guān)系(請寫出兩種)，并對其中一種猜想加以證明；

⑶繼續(xù)觀察4,3,5；6,8,10；8,15,17；…，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個數(shù)都是偶數(shù)，且

從4起也沒有間斷過.運(yùn)用類似上述探索的方法，直接用機(jī)(機(jī)為偶數(shù)，且機(jī)＞4)的代數(shù)

式來表示股和弦.

【答案】(1)|(49-1),|(49+1)

(2)(i)弦-股=1,(ii)勾2+股2=弦2,證明過程詳見解析

【分析】(i)根據(jù)推論即可發(fā)現(xiàn)：股和弦分別是勾的平方減1的一半和勾的平方加1的一半;

(2)把(1)中發(fā)現(xiàn)的關(guān)系運(yùn)用字母表示即可，然后發(fā)現(xiàn)勾、股、弦之間的關(guān)系，并驗證;

(3)發(fā)現(xiàn)：股和弦總是相差為2.主要是考慮勾和股之間的關(guān)系即是勾的一半的平方再減1.

(1)

解：由題意得勾是七時，股和弦的算式分別是：1(49-1),|(49+1)；

(2)

當(dāng)這3,且“為奇數(shù)時，勾、股、弦分別為："，!(?2-l),|(n2+l),

它們之間的關(guān)系為：(i)弦-股=1,(ii)勾,十股,二弦？.

如證明(i)：弦-股==1(“2+1)-工(〃2-1)=]_"2+!一！〃2+1=1；

222222

如證明(ii)：

勾2+股2=/+!(〃2_1)2=〃2+]_/_]_/+L=]_〃4+1_〃2+工=!(“2+1)2二弦2

4V74244244、)

(3)

當(dāng)加＞4,且根為偶數(shù)時，勾、股、弦分別為：m,

【點睛】本題考查了勾股定理及規(guī)律的探索，解決本題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)具體數(shù)字發(fā)現(xiàn)規(guī)律,

用字母表示推廣到一般.

【考點三用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題】

【例題3】如圖，有一個水池，水面是邊長為10尺的正方形，水池正中央有一根蘆葦，它

高出水面1尺.若把這根蘆葦拉向水池一邊，頂端恰好到達(dá)池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L度為

()尺.

A.6B.5C.13D.12

【答案】C

【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答.

【詳解】解：設(shè)水深為x尺，則蘆葦長為(x+1)尺，蘆葦與水池邊的原距離為水池邊的一半,

即為號尺，如圖，

根據(jù)勾股定理得：%2+(y)2=(x+l)2,

解得：x=12,

蘆葦?shù)拈L度為：x+l=12+l=13(尺)，

故選：C.

【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用.善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.

【變式3-1］如圖，某自動感應(yīng)門的正上方A處裝著一個感應(yīng)器，離地面的高度為2.5

米，一名學(xué)生站在C處時，感應(yīng)門自動打開了，此時這名學(xué)生離感應(yīng)門的距離為1.2米,

頭頂離感應(yīng)器的距離為1.5米，則這名學(xué)生身高。為()米.

A.0.9B.1.3C.1.5D.1.6

【答案】D

【分析】過點。作鉆于E,得到CD=3E,?！?3。=1.2米，由勾股定理得出AE,

進(jìn)而得到班=他-鉆=1.6米，即可得出答案.

【詳解】解：過點。作于E,如圖所示：

則CD=3E,r>E=3C=1.2米，

在及AWE中，

AD=1.5米，

由勾股定理得

AE=-JAD2-DE2=^(1.5)2-(1.2)2=0.9(米)，

/.BE=AB-AE=2.5-0.9^1.6（米）,

CD=3E=L6米.

故選：D.

【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2］如圖有兩棵樹，一棵高10m,另一棵高4m,兩樹相距8m,一只小鳥從一棵

樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行.m.

【分析】由題意可構(gòu)建直角三角形求出AC的長，過C點作CELA8于點E,則四邊形E8OC

是矩形.BE=CD,AE長度可求，CE=BD,在放A&EC中,可根據(jù)勾股定理求出AC長.

A

【詳解】B

如圖，設(shè)大樹高為AB=10m,小樹高為CD=4m,

過C點作CELAB于點E,則四邊形EBDC是矩形.

EB=CD=4m,￡C=8m.

AE=AB-EB=lQ-4=6m.連接AC,

在及AAEC中，根據(jù)勾股定理得：

AC=\IAE2+EC2=10m,

故答案為10

【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)實際問題，建立適當(dāng)數(shù)學(xué)模型,

運(yùn)用數(shù)學(xué)知識求解.

【變式3-3】如圖，八年級一班的同學(xué)準(zhǔn)備測量校園人工湖的深度，他們把一根竹竿AB豎

直插到水底，此時竹竿離岸邊點C處的距離CD=Q8米.竹竿高處水面的部分40長0.2

米，如果把竹竿的頂端A拉向岸邊點C處，竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則人工湖的深度

【答案】1.5米

【分析】設(shè)人工湖的深度2。設(shè)為x米，則竹竿BC的長(x+0.2)米，可以放到一個直角三角

形中計算.此直角三角形的一條直角邊CD是0.8米，另一條直角邊是人工湖2。為x米,

斜邊8C是竹竿的長(了+02)米.根據(jù)勾股定理得尤Z+(0.8)2=(X+0.2)2,即可解答.

【詳解】解：設(shè)人工湖的深度8。設(shè)為尤米，則竹竿的長(x+0.2)米，由題意得,

尤2+(0.8)2=(x+0.2)2,

解之得：x=1.5

故答案為：1.5米.

【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用.

【變式3-4】如圖，牧童在河邊A處放牛，家在河邊B處，時近傍晚，牧童驅(qū)趕牛群先到

河邊飲水，然后在天黑前趕回家，已知點A到河邊C的距離為500m,點8到河邊。的距離

為700m,且CD=500m.

力」」c

/

B

(1)請在圖中畫出牧童回家的最短路線;

(2)求出牧童回家最短路線的長度.

【答案】(1)見解析

(2)牧童回家最短路線的長度為1300m

【分析】(1)作A關(guān)于直線C。的對稱點4,連接交C。于尸點，即為所求作的點;

(2)最短路程即是的距離，過A作AfUB。的延長線于R根據(jù)勾股定理求得即

可.

(1)

作A關(guān)于直線CD的對稱點4,連接A2交CZ）于尸點，即為所求作的點.

（2）

由作圖可得最短路程為AB的距離，過A作AF±BD的延長線于F,

則DF=A'C=AC500m,

A'F=CD=500/TI,

BF=700+500=1200m,

根據(jù)勾股定理可得，

A'B=712002+5002=1300（m）.

【點睛】此題考查了線路最短的問題，確定動點為何位置是關(guān)鍵綜合運(yùn)用勾股定理的知識.

【考點四勾股定理的折疊問題】

【例題4】如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6,BC=8.現(xiàn)將直角邊AC沿直

線折疊，使它落在斜邊A2上，且與AE重合，則的長為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AC=AE=6,CD=DE,NACD=/AED=NDEB=90。,利

用勾股定理列式求出AB,從而求出BE,設(shè)CD=OE=x,表示出8。然后在RfADEB中,

利用勾股定理列式計算即可得解.

【詳解】解：???△AC。與AAE。關(guān)于AO成軸對稱，

：.AC=AE=6,CD=DE,ZACD=ZAED=ZDEB=9Q°,

在及AABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=102,

：.AB=1O,

BE=AB-AE=1O-6=4,

設(shè)CD=DE=x,則DB=BC-C￡>=8-x,

在RdDEB中,由勾股定理，得*+4?=(8-xy,

解得x=3,

即CD=3,

故選：B.

【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記性質(zhì)并表示出MAD班的三邊,

然后利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1］如圖，在比AABC中，NC=90。，AC=8,BC=6,按圖中所示方法將△BCD

沿8。折疊，使點C落在邊AB上的點C處，那么線段的長為()

A.6B.5C.4D.3

【答案】B

【分析】首先根據(jù)勾股定理求出AB的長，然后利用折疊的性質(zhì)求出AC的長，在△ACO中,

設(shè)。C=x,則AO=8-無，根據(jù)勾股定理求出x的值即可.

【詳解】解：：/C=90。，AC=8,BC=6,

：.AB=\O.

根據(jù)折疊的性質(zhì)，BC=BC,CD=DC,ZC^ZAC'D=90°.

.-.AC=10-6=4.

在AACD中，設(shè)。。=尤，貝UAD=8-X,根據(jù)勾股定理得

(8-x)2=%2+42.

解得x=3.

：.AD=8-x=5.

故選B.

【點睛】本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱,

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后對應(yīng)邊、角相等.

【變式4-2］如圖，在R3ABC中，ZC=90°,BC=6cm,AC=8cm,如果按圖中所示方法

將4BCD沿BD折疊，使點C落在邊AB上的點C處，那么DC=cm.

【分析】根據(jù)折疊是性質(zhì)可知CD=C'D,BC=BC,NC=/BC'D=90°,設(shè)。C=x,在4AC'D

中，將三條邊都表示出來，