局一數(shù)學試卷

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在

本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.本試卷主要考試內容：人教A版選擇性必修第一冊第一章到第二章2.3。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

I.直線2x—4歹+3=0的斜率為

11

A.—B.2C.-2D.----

22

2.若點P(-1,2)到直線/：歹二3%一〃的距離為,貝！Ja=

A.5B.-15C.5或-15D.-5或15

3.已知空間向量Q=(2左一3,左,一4),S=(2,1,1),Ka,貝!J左=

A.-6B.-8C.2D.-10

4.已知直線/的斜率左€卜1,6),則直線/的傾斜角的取值范圍是

D.0胃U3兀

C.丁

5.在空間四邊形045。中，OA=a,OB=b,OC='c,且N應=2標，ON=2NB,則柄=

1一2-2-1一2-2-

A.——a+—b+—cB.——a+—b——c

333333

2-1一2-1一2-2-

C.——a+—b——cD.——a——b+—c

333333

6.空間內有三點尸(3,1,-4),E(2,1,1),F(1,2,2),則點尸到直線斯的距離為

A.V14B.372C.V3D.2G

7.在如圖所示的多面體中，尸/，平面/8C,平面。平面NBC,且4B=BC=/C=2P/=2,

QB=QC=E則異面直線2尸與C0所成角的余弦值為

Q

1111

A.B.C.D.

5432

8.己知二面角a-//的棱/上有/,2兩點，直線AD,NC分別在平面a,萬內,且它們都垂直于/.若

48=5,AC=3,BD=6,CO=2則平面a與/的夾角為

A.30°B.60°C.120°D.135°

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知直線/過點(0,2),(73,1).則

A.直線/的傾斜角為150°

直線I的兩點式方程為3=

B.

2-10-V3

C.

D.直線/的截距式方程為?+上=1

2V32

10.對于直線/：(m-l)x+j-2m+3=0,下列選項正確的是

A.直線/恒過點(2,-1)

B.當加=2時，直線/與兩坐標軸圍成的三角形的面積為！

2

若直線/不經過第二象限，則加e(l,|

C.

D.坐標原點到直線/的距離的最大值為君

II.已知正三棱柱48C-44cl的所有棱長都為2,P是空間中的一動點，下列選項正確的是

A.若刀=4罰+〃皿，則”的最小值為2

B.若4P=X4B+44],則三棱錐P/2C的體積為定值

C.若/=刀+2布，則直線/尸與平面/8C所成角的正弦值的最大值為平

D.若刀=；五不+；彳g+：就，則平面P3C截三棱柱48C-451G所得的截面面積為J7

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知直線/垂直于直線x-6y-1=0,且過點尸（6,0）,則直線/的傾斜角為,在x軸上

的截距為.

13.已知向量2=（2,—1,1）,b=（l,x,l）,c=（l,-2,-l）,當時，向量B在向量）上的投影向量為

.（用坐標表示）

14.已知點尸（1,4）,Q（6,3）,直線/：x+y—3=0,M為直線/上一動點，貝/|O|+|MQ|的最小

值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

已知直線4:ax-2v+2=0,直線（:x-（6z-l）J-2=0.

（1）若4Pl2,求4之間的距離；

（2）若/[,4，求4，4及工軸圍成的三角形的面積.

16.（15分）

如圖，在正方體48CD—451G2中，點E,F,M分別是線段4。，EC,441的中點.設方=3,

AD=b,AAX=c.

（1）用基底｛a,及。｝表示向量4廠.

（2）棱8c上是否存在一點G,使得LEG?若存在，指出G的位置；若不存在，請說明理由.

17.（15分）

在空間幾何體/2C-DEF中，四邊形/BED,NDFC均為直角梯形，

一一?71

NFCA=NCAD=NDAB=NABE=NCAB=—,AB=AC=CF=1,AD=2,BE=3.

2

(1)證明：平面J,平面。.

(2)求直線。尸與平面BE尸所成角的大小.

18.(17分)

已知△A8C的頂點/(5,1),B(4,3),直線/：+2)x+(m—l)y+機—1=0(機eR)過定點G.

(1)若G是A43C的重心，求A43C三邊所在直線的方程；

⑵若CA=CB,且SAABC=SAGAB,求頂點C的坐標.

19.(17分)

如圖，平面/BCD,CFPAE,ADPBC,AD1AB,AE=BC=2,AB=AD=l.

(1)證明：BF0平面4DE.

(2)若三棱錐F-BDE的體積為1,求平面BDE與平面BDF的夾角的余弦值.

高二數(shù)學試卷參考答案

A

1.A直線/x+8y+C=0(8H0)的斜率為一一.

B

2.C點P到直線/的距離4=匚上2^=也打=而，解得。=5或-15.

732+34(-1)2VW

3.C因為所以Q-B=(2左一3)X2+左xl+(—4)xl=0,解得左二2.

4.D設直線/的傾斜角為a,則左=tanc.因為左￡(一1,6),且。￡[0,兀)，所以

ae[0,y)U(—,兀)-

6.A因為斯=(—1,1,1),所以直線所的一個單位方向向量為"=三(—1,1,1).

因為而=(—1,0,5),所以點尸到直線所的距離為(萬=726-12=714.

7.A如圖，將該多面體補成底面邊長為2,高為2的正三棱柱，并建立如圖所示的空間直角坐標系，則2

(1,0,0),P(0,V3,l),C(-1,0,0),Q(0,0,2),所以麗=卜1,6』,函=(1,0,2),所以

BPCQ

\BP\\CQ\5

8.B因為函+麗，所以

|CO|2HG4|2+|^S|2+|5Z)|2+2CA-AB+2AB-BD+2CA-BD.

因為0?方=0,ABBD=0,AB=5,AC=3,BD=6,CD=25,

所以(2而『=52+32+62+2x3x6cos^C4,5D^,

所以cos(而，麗)=—g.

因為cos(百，麗”[0,可，所以cos(Cl,而)=120°,故平面a與「的夾角為60。.

VF7\

BI

A

aD

io/o

9.ABD因為直線/過點（0,2）,所以直線/的斜率為=—J，傾斜角為150。，故A

正確，C不正確；直線/的兩點式方程為上匚=匚，，截距式方程為二[+2=1,所以B,D正確.

2-10-V32V32

/\q,/\（x—2=0,,（x=2,

10.ABD（冽一l）x+y—2加+3=0可變形為（x—2）加一x+y+3=0,由<得<

[-x+y+3=0,[y=-1,

所以直線/恒過點（2,?1）,故A正確；

當加=2時，直線/在x,y軸上的截距分別為1,1,所以直線/與兩坐標軸圍成的三角形的面積為（，故

B正確；

當機=1時，直線/的方程為y=-1,直線/也不經過第二象限，故C不正確；

因為直線/過定點（2,-1）,所以坐標原點到直線I的距離的最大值為，（2-0）2+（-1—0）2=?,故D正

確.

11.BCD如圖,建立空間直角坐標系，則0,0）,8（0,1,0）,C（0,-1,0）,4（G,0,2）,^（0,1,2）,

G（0,-1,2）.

因為方=2方+〃而，所以萬=4卜6,1,0）+〃（0,0,2）=卜后,42〃），所以

P（V3-A/32,2,2/Z）,

所以CP=，3（彳-1）2+（4+1『+4阿=J（24-1『+4〃2+3.

當X=〃=0時，CPmin=V3,所以A錯誤；

因為萬=4益+而=4—6,1,0）+（0,0,2）=卜6%42）,所以尸（G—64%2）,

所以點尸到平面N2C的距離為定值，即三棱錐P/2C的體積為定值，所以B正確；

因為方=京+MCX=（-73,1,0）+2（-A-l,2）=（-V32—G,1—%24）,

平面N8C的一個法向量為云=（0,0,1）,設NP與平面N5C所成的角為仇

r-r|、|-Q_|I~TD—\I-I4P'Tn\_IA|.a_I_1

所以sin0=cos（4P,加）=—?—=~/，sin0=A—---------="1，

'/\AP^m\7222+2+1丫2%+之+1

當4=—2時，（sin。）=空，所以C正確；

\/max7

—■1—-1—.1—.fV31、,所以尸]也一,1,

因為4?=—44+-4§+—幺。=PTV1

2136126J

7

由圖可知平面P2C截三棱柱48C—451cl所得的截面為△4BC,5A4BC=1x2xV7=V7,所以D正

確.

12.y;浮因為直線X-1=0的斜率為*,所以直線/的斜率為-百，所以直線/的傾斜

角為吃.因為直線/過點尸(6,2)，所以直線/的方程為y=—V3(x--\/3j+2=—V3x+5,故直線I在

X軸上的截距為王

3

13.(-1,2,1)因為Q_LB,所以。?B=2—X+1=0,所以、=3,因為B=所以B在c上的投

影向量為幺-=—c=(—1,2,1).

14.5/設尸關于/的對稱點為兄(%,%),

%+1?%+4

—3=0,

22*0=-L/、

則解得＜U=2,W)-

為-4

x°T'

因為++棄用0],所以|〃P|+|MQ|的最小值為

|^2|=7(6+1)2+(3-2)2=572.

15.解：(1)因為/[Pl),所以—Q(Q—1)—(―2)x1=0,

整理得/—Q-2=(Q+1)(Q-2)=0,解得。=-1或Q=2.

當。二一1時，4:-x-2y+2=0,/2:x+2j/-2=0,4,4重合;

當a=2時，4:2%-2歹+2=0,l2:x-y-2=0,符合題意.故a=2,

則乙，i之間的距離為、一胃升=晅

12V22

t/、2

(2)因為/[JL"，所以QX1+2(Q—1)=0,解得Q=]

，i，4的方程分別為工一3歹+3=0,3x+j-6=0.

3

卜山+3=0，得.“=牙

聯(lián)立方程組《

3x+y-6=0,3

j=-.

52

因為/],，2與X軸的交點分別為(-3,0),(2,0),

1315

所以/],72及X軸圍成的三角形的面積為一x5x—=一.

12224

16.解：(1)因為港+初)=；(9一麴)

AXC=AXA+AC=-AAX+AB+AD=a+b-c,

1-33-

7——c

244

(2)假設棱8c上存在點G,使得"FLEG,設前=2部(OW/lWl).

—?—■——-1-3-3-1-1-3-1-

因為A/F=A,F-A,M=—a+—b——c+—c=—a+—b——c,

112442244

所以前二就_次=方+4一次=Z+/lB_g(B+B="+X—g.

因為"FJ.EG,所以赤.月存2―工+工=0,

24(2J8

得/=—!<0,所以棱2c上不存在一點G,使得LEG.

3

兀

17.(1)證明：因為NC4D=ND48=NC45=—,所以48,AC,AD兩兩垂直.

2

以/為坐標原點，分別以刀，AD,正的方向為x軸、＞軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，則/

(0,0,0),D(0,2,0),B(1,0,0),C(0,0,1),F(0,1,1),E(1,3,0).

設平面8￡尸的法向量為1=(再,必,2]),因為屜=(0,3,0),5F=(-1,1,1),

n-BE=3y,=0,一

所以______一令七=1,得"=(1,0,1).

n-BF=一再+必+3=0,

設平面。所的法向量為浣=(々,％/2)，因為礪=(0,—1,1)，瓦=(1,1,0),

~—??

m-DE=x+y=0,一,、

所以_______2929令％=1，得機=(1,一1,—1).

m-DF=-y2+z2=0,

因為蔡G=0,所以前，k所以平面8￡尸J_平面。￡F.

（2）解設直線。尸與平面跳刀所成的角為a,由（1）知礪=（0,-1,1）,平面8所的一個法向量為3=（1,0,1）,

.|DF-n|11it

則sina=—J=—j=——產=—，所以a=一，

\DF\\n\V2xV226

JT

即直線與平面3所所成的角為一.

6

18.解：(1)將/：(機+2)x+(加一l)y+%一1=0整理得根(x+y+l)+2x-y—1=0,

x+>+1=0,得,x=0,

由＜所以G(0,-1).

2x—y—1=0,U=T

5+4+/二0

,]解得.”一—”所以C(-9,-7).

設。（/，%），因為G是A1BC的重心，所以

1+3+為_1Jo=-7,

^^一1‘

故所在直線的方程為2x+y-11=0,

8c所在直線的方程為10x—13y—1=0,

/C所在直線的方程為4x—7y—13=0.

1219/5

(2)因為點G(0,-1)到直線45的距禺d=7==-------,S4ABC=SAGAB

所以點C到直線AB的距離為工叵.

5

因為C4=C5,所以點C在43的垂直平分線上.

因為N8的垂直平分線的方程為2x—4y—1=0,

2%-4歹o-1=0,933

%。二，%0二

71707-To

所以《或《

|2x0+j0