直線(xiàn)與橢圓（一）

一、單項(xiàng)選擇題

22

1.橢圓三十一=1與直線(xiàn)1）的位置關(guān)系是（）

82

A.相離B.相交

C.相切D.無(wú)法確定

22

2.在橢圓卷+?=1上求一點(diǎn)“，使點(diǎn)M到直線(xiàn)尤+2廠(chǎng)10=0的距離最大，點(diǎn)

M的坐標(biāo)為（）

A.（—3,0）B.（一9，）

C.（—2,—雪）D.（-2,0）

22

3.已知橢圓E：篇+篇=1伍>6>0）的右焦點(diǎn)為"4,0）,過(guò)點(diǎn)R且斜率為1的

直線(xiàn)交橢圓于A,3兩點(diǎn).若A3的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3,-1）,則E的方程為（）

A.—+—=1B.—+—=1

45293620

C.-+^=1D.-+^=1

3216248

22

4.橢圓C：亍+?=1的左、右頂點(diǎn)分別為Ai,A2,點(diǎn)P在C上且直線(xiàn)防的

斜率的取值范圍是[-2,-1],那么直線(xiàn)以2斜率的取值范圍是（）

AE斗BI--1

C[”D.[|,1]

5.已知橢圓C：一+V=1的左、右焦點(diǎn)分別為F2,直線(xiàn)y=x+m與C交于

A,3兩點(diǎn)，若面積是2AB面積的2倍，則機(jī)=（）

2

-V-2

A.3B.3

C.--D.--

33

22

6.直線(xiàn)x—2y+2=0經(jīng)過(guò)橢圓今+京=l（a>6>0）的左焦點(diǎn)E交橢圓于A,B

兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若前=3前，則該橢圓的離心率為（）

V17+V5口V17-V5

AA?--------D?--------

84

V17-V5D.V17+V5

c.29

7.國(guó)家體育場(chǎng)“鳥(niǎo)巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥(niǎo)瞰圖如圖1所示，內(nèi)、外兩圈的鋼骨架是由

兩個(gè)離心率相同的橢圓組成的對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu).某校體育館的鋼結(jié)構(gòu)與“鳥(niǎo)巢”類(lèi)似,

其平面圖如圖2所示，已知外層橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為200m,且內(nèi)、外橢圓的離心率

均為字，由外層橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)A向內(nèi)層橢圓引切線(xiàn)AC,若AC的斜率為

-p則內(nèi)層橢圓的短軸長(zhǎng)為（）

A.75mB.50V2m

C.50mD.25V2m

8.已知過(guò)橢圓C：f+5=l的上焦點(diǎn)R且斜率為左的直線(xiàn)/交橢圓C于A,B

兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)OA,OB分別與直線(xiàn)y=2相交于M,N兩點(diǎn).若

NMON為銳角，則直線(xiàn)/的斜率上的取值范圍是（）

A.（一8,—1）U（1,+00）

B（V，f）

C（-8,詈）Ug，+8）

D.（-8,,f）u（l,+8）

二、多項(xiàng)選擇題

22

9.已知橢圓E：宏+譽(yù)=1（。＞萬(wàn)＞0）的右焦點(diǎn)為網(wǎng)3,0）,過(guò)點(diǎn)R的直線(xiàn)交橢圓

E于A,3兩點(diǎn).若A3的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-1）,則（）

A.直線(xiàn)A3的方程為3）

B.層=2左

22

C.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為言+9=1

D.橢圓的離心率為苧

22

10.在平面直角坐標(biāo)系。孫中，已知直線(xiàn)/：入一廠(chǎng)上=0,橢圓c：京+云=1（。

>b>Q),則下列說(shuō)法正確的有()

A./恒過(guò)點(diǎn)(1,0)

B.若/恒過(guò)C的焦點(diǎn)，則〃+〃=1

C.若對(duì)任意實(shí)數(shù)左，/與C總有兩個(gè)互異公共點(diǎn)，則。巳1

D.若則一定存在實(shí)數(shù)左，使得/與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

三、填空題

22

11.過(guò)橢圓C：^+3=1的左焦點(diǎn)R作傾斜角為60。的直線(xiàn)/與橢圓C交于A,

43

§兩點(diǎn)’則看+[^=--------

12.已知橢圓萬(wàn)十丁2=1,若此橢圓上存在不同的兩點(diǎn)A,3關(guān)于直線(xiàn)y=2x+m

對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

四、解答題

13.已知?jiǎng)訄A與圓Ci：(x+4)2+y2=l外切，同時(shí)與圓。2：(%—4)2+y2=81內(nèi)切.

(1)求動(dòng)圓圓心〃的軌跡廠(chǎng)的方程，并說(shuō)明它是什么曲線(xiàn)；

(2)若直線(xiàn)/：4x—5y+40=0,求曲線(xiàn)「上的點(diǎn)到直線(xiàn)/的最大距離.

22

14.已知橢圓C：苒+一=1，左、右焦點(diǎn)分別為B，F(xiàn)2,直線(xiàn)/與橢圓交于A,

164

3兩點(diǎn)，弦A3被點(diǎn)(g,平分.求：

⑴直線(xiàn)I的方程；

(2)Z\FiAB的面積..

參考答案

22

1.B［直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)M(l,0)且該定點(diǎn)在橢圓三+匕=1內(nèi)，故直線(xiàn)與橢圓相交.故

選B.］

2.B［如圖所示：根據(jù)題意可知，當(dāng)點(diǎn)〃在第三象限且橢圓在點(diǎn)M處的切線(xiàn)與

直線(xiàn)x+2y—10=0平行時(shí)，

x+2y-10=0

點(diǎn)M到直線(xiàn)x+2y—10=0的距離取得最大值，可設(shè)切線(xiàn)方程為x+2y+m=0(m

x+2y+m=0

>0),聯(lián)立9

.4%2+9y2=36,

消去x整理可得25y16帆y+4帆2—36=0,

J=162m2—100(4m2—36)=0,因?yàn)閙>0,解得機(jī)=5,

22

所以橢圓^■+?=］在點(diǎn)M處的切線(xiàn)方程為x+2y+5=0,

因此，點(diǎn)M到直線(xiàn)x+2y—10=0的距離的最大值為萼粵=3曲,

'V1Z+2Z

(%+2y+5=0,

聯(lián)立心2”2

土+匕=1,

94

可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(一—§.故選B.］

3.D［設(shè)A(xi,yi),5(x2,”),則XI+%2=6,yi+y2=-2,

道=度_城

作差得德-22

a~b匕2

則一走—(yi-y2)(yi+y2)__i_

2

好.據(jù)g-%2)g+%2)3a

2222

所以/=3〃，又c=4,a=b+c=3b-,解得。2=8,a=24,

22

則E的方程為F—=1.

248

故選D.]

22

4.A[由題意，橢圓C:—+—=1的左、右頂點(diǎn)分別為Ai(—2,0),A2(2,0),

43

設(shè)尸(xo,yo),則光=[(4—就)，又由七公?*r^=A=-?可得

—

4上二XQTZXQZXQ-414

_3_3

kpA】=S因?yàn)榧?,-1],即—2&mw—1，可得2《加42^^所以

KK

PA2PA284

直線(xiàn)以2斜率的取值范圍是[|,非故選A.]

y=x+m,

X2消去y可得4f+6mx

(y+y2=1,

+3m2—3=0,因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓相交于A,3點(diǎn)，則/=36機(jī)2—4X4(3機(jī)2—3)＞0,

解得一2＜相＜2,設(shè)Fi到AB的距離為di,F2到A3距離為di,易知Fi(-V2,

__|—V2+?n|_

0),F2(V2,0),貝Id尸中，流=粵，產(chǎn)=聲=需=2,

V272S&F2ABN2+叫|V2+m|

故網(wǎng)-2,0),M(0,1),則前=(2,1),設(shè)A(xo,yo),則俞=(一初，1一”),

而前=3俞，

12=3(_&),

11=3(1-yo),

又點(diǎn)A在橢圓上，左焦點(diǎn)網(wǎng)一2,0),右焦點(diǎn)〃(2,0),

由2k朋+四，尸后可由+后在守=3，

貝|Ja=4+y,橢圓的離心率=故選C.]

3

7.B[內(nèi)、外橢圓的離心率均為芋，設(shè)內(nèi)層橢圓的短半軸長(zhǎng)為b,e=^=Jl-g

=~,所以a=2乩則內(nèi)層橢圓方程為磊+，=1,由外層橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)

A向內(nèi)層橢圓引切線(xiàn)AC,AC的方程為y=-|(x+100),

代入內(nèi)層橢圓方程可得：爐+100x+5000—2/=0,

可得4=10000—4X(5000—2戶(hù))=0,解得廬=1250.

所以8=25/.即內(nèi)層橢圓的短軸長(zhǎng)2。=50奩m.故選B.]

8.D[由題意可知，cr=2,方=1,所以°2=。2—〃=],

-.2

所以橢圓C：x2+y=l的上焦點(diǎn)為F(0,1),

則直線(xiàn)/的方程為y=Ax+l,設(shè)A(%i,yi),B(X2,yi),

y=kx+1,

聯(lián)立2消去y,得(2+/)/+2日一1=0,

x2+—V=1,

2

所以％1+%2=二咎，％1%2==二.

2+k22+k2

由題設(shè)知，OA所在的直線(xiàn)方程為y=4.

X1

因?yàn)橹本€(xiàn)OA與直線(xiàn)y=2相交于點(diǎn)M,

所以,2;

同理可得，2.

所以而=(等，2),

，2-

因?yàn)镹MON為銳角,

所以南?~ON>Q,

所以南?麗=3+4=—今、+4

7172(/c%i+l)(/cx2+l)

=_______4%I*2_____+4

2

kx1x2+k(<x1+x2')+l

4X-^2

=___________2+fc^________\A

k2'

2+kz2+kz

2,4k2-2

=---+4A=----

k2-lk2-l*

即崇言＞°，解得或標(biāo)＞1，

所以一子＜上＜手或左＞1,或左V—1.

故直線(xiàn)/的斜率左的取值范圍是（一8,—i）u（_*號(hào)）u（l,+8）.故選D.]

9.ABD[因?yàn)橹本€(xiàn)A3過(guò)點(diǎn)網(wǎng)3,0）和點(diǎn)（1,-1）,所以直線(xiàn)A3的方程為了=

|（x—3）,代入橢圓方程馬+1,消去y,得（9+爐）%2—1。2》++2—。2。2=0,

32

所以AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為~~r=l,即/=2戶(hù).

又42=廿+°2,所以b=c=3,tZ=3V2,離心率為I，

22

所以橢圓E的方程為F—=1.故選ABD.]

189

10.ACD[方程近一y一左=0可化為y=-x—l）,

所以直線(xiàn)/恒過(guò)點(diǎn)（1,0）,A正確；

設(shè)橢圓的半焦距為c（c＞0）,則焦點(diǎn)R的坐標(biāo)可能為（c,0）或（一c,0）,

若直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)（一c,0）,則0=網(wǎng)一。-1）,

故c=-1,矛盾,

若直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)（c,0）,則0=左（。一1）,故c=l,所以/一。2=],B錯(cuò)誤;

、償+藝=],

聯(lián)立卜2b2'消丁可得，（/3+序）/—2〃2女2元+〃2女2—〃2》2=0,

[y=kx—k,

由對(duì)任意實(shí)數(shù)與?？傆袃蓚€(gè)互異公共點(diǎn)，

可得方程（序於+62）——2〃2%2%+〃23—〃2b2=o有?個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,

所以/=（一2/k2）2-4（4/2^+廿）（/左2—42b2）>0,

所以3（〃-1）+。2>0,

所以〃21,C正確；

因?yàn)?=（—2/^）2—4（/9+廿乂/^—々252）=4Q2b2/（。2—]）+〃],

所以a<\時(shí)，則左2="-立即k=±時(shí)，

l-a271-a2

可得/=0,此時(shí)方程組有且只有一組解，

故/與。有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，D正確.

故選ACD.]

11.|[由題意可知只一1,0),故/的方程為y=g(x+l).

(y=V3(X+1),、8

由《丫22得???%=()或--.

土+匕v=1,5

43

設(shè)A(0,V3),B(-|,—言).

又只一1,0),：.\AF\=2,\BF\=l，

\AF\\BF\3」

12.(-苧,y)「.?橢圓1+y2=l,.?.尤2+2/-2=0,

設(shè)橢圓上兩點(diǎn)A(?,yi),Bg,*)關(guān)于直線(xiàn)丁=2%+用對(duì)稱(chēng)，AB中點(diǎn)為M(%o,

沖)，

則淄+2*=2,①

好+2資=2,②

①—②得：(Xi+%2)(xi—X2)+2(y\+y2)(yi—券)=0,

即2M)?(xi—%2)+2X2)7o,(y1—y2)=0,

:,kAB=y^=_i.^=-1

Xr-x22y02

?\yo=M),代入直線(xiàn)方程y=2x+/n得%o=一根，yo=~m.

V(x0,yo)在橢圓內(nèi)部，

機(jī)2+2(一機(jī)/V2,

解得一手〈機(jī)〈手，

即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(譽(yù)，y).]

13.解：⑴設(shè)動(dòng)圓M的半徑為兀

由動(dòng)圓“與圓。外切可知：|MG|=7-+1,①

由動(dòng)圓”與圓C2內(nèi)切可知：|MC2|=9一廠(chǎng)，②

則①+②可得:|MCi|+\MC2\=10>IC1C2I=8.

所以動(dòng)圓〃的軌跡是以Cl,C2為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10,焦距為8的橢圓(不含頂

點(diǎn)(一5,0)).

22

動(dòng)圓Af圓心的軌跡廣的方程為|^+g=l(xW—5).

(2)設(shè)與直線(xiàn)/平行的直線(xiàn)/o:4x~5y+m=0(機(jī)#40).

y2

----1----=1

由、259'得25%2+8陽(yáng)+機(jī)2—225=0.

.4%—5y+m=0,

A-(8m)2-4X25X(m2-225)=0.

當(dāng)/=0,即加=±25時(shí)，直線(xiàn)與橢圓相切.

由圖形(圖略)可知，當(dāng)加=—25時(shí)，切點(diǎn)P到直線(xiàn)/的距離最大.

設(shè)最大距離為d,則4=號(hào)潛=巴3.

-v4z+5z41