第39講磁場對運(yùn)動電荷的作用

——劃重點之精細(xì)講義系列

專題電航①

考點1對洛倫茲力的理解

考點2帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動

考點3帶電粒子在直線及平行邊界中的運(yùn)動

考點4帶電粒子在折線形邊界中的運(yùn)動

考點5帶電粒子在圓形及環(huán)形邊界中的運(yùn)動

貴基礎(chǔ)相識勤軍疝

一洛倫茲力

1.定義：運(yùn)動電荷在磁場中所受的力.

2.大小

(l)v〃B時，F(xiàn)=0.

(2)v_L3時，F(xiàn)=qvB.

(3)v與5夾角為。時，F(xiàn)=qvBsm_0.

3.方向

(1)判定方法：應(yīng)用左手定則，注意四指應(yīng)指向正電荷運(yùn)動方向或負(fù)電荷運(yùn)動的反方向.

(2)方向特點：尸_1也即尸垂直于8、u決定的平面.(注意8和y可以有任意夾角).

由于尸始終垂直于y的方向，故洛倫茲力永不做功.

二.帶電粒子在磁場中的運(yùn)動

1.若口〃5,帶電粒子以入射速度u做勻速直線運(yùn)動.

2.若口_15,帶電粒子在垂直于磁感線的平面內(nèi)，以入射速度u做勻速圓周運(yùn)動.

3.基本公式

V2

(1)向心力公式：qvB=mrj.

rnv

(2)軌道半徑公式：廠=麗.

2兀72兀加

(3)周期公式:T=

vqB"

Bq

，T27im'

「一生一右f—因

CO——T，——271/—.

1Jm

應(yīng)考點剖析理重點

考點1:對洛倫茲力的理解

1.洛倫茲力的特點

(1)洛倫茲力的方向總是垂直于運(yùn)動電荷速度方向和磁場方向確定的平面.

(2)當(dāng)電荷運(yùn)動方向發(fā)生變化時，洛倫茲力的方向也隨之變化.

(3)洛倫茲力一定不做功.

2.洛倫茲力與安培力的聯(lián)系及區(qū)別

(1)安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，二者是相同性質(zhì)的力，都是磁場力.

(2)安培力可以做功，而洛倫茲力對運(yùn)動電荷不做功.

3.洛倫茲力與電場力的比較

洛倫茲力電場力

產(chǎn)生條件厚0且V不與8平行電荷處在電場中

大小F=qvB(v_L5)F=qE

力方向與場方正電荷受力與電場方向相同，負(fù)電荷受力

一定是P_LB,F±v

向的關(guān)系與電場方向相反

做功的情況任何情況下都不做功可能做正功、負(fù)功，也可能不做功

4.理解洛倫茲力的四點注意

(1)正確分析帶電粒子所在區(qū)域的合磁場方向.

(2)判斷洛倫茲力方向時，特別區(qū)分電荷的正、負(fù)，并充分利用的特點.

(3)計算洛倫茲力大小時，公式尸=qv8中，v是電荷與磁場的相對速度.

(4)洛倫茲力對運(yùn)動電荷(或帶電體)不做功、不改變速度的大小，但它可改變運(yùn)動電荷(或帶電體)

速度的方向，影響帶電體所受其他力的大小，影響帶電體的運(yùn)動時間等.

?___金

工考迪楚舞產(chǎn)

【考向1](多選)宇宙中存在大量帶電粒子，這些帶電粒子經(jīng)過地球時，地球的磁場使它們發(fā)生偏

轉(zhuǎn)。若比荷相同的粒子均以同一速度垂直地面射入地磁場區(qū)域，有()

A.從同一地點射入的正、負(fù)粒子，在地磁場的作用下偏轉(zhuǎn)方向相同

B.從同一地點射入的正、負(fù)粒子，在地磁場的作用下偏轉(zhuǎn)方向相反

C.在極地附近射入的粒子，受到的地磁場作用力更大

D.在赤道附近射入的粒子，受到的地磁場作用力更大

【答案】BD

【詳解】AB.根據(jù)左手定則可知，從同一地點射入的正、負(fù)粒子，在地磁場的作用下偏轉(zhuǎn)方向相反。

故A錯誤；B正確；

CD.在極地附近射入的粒子，因其速度方向和地磁場的方向接近平行，受到的地磁場作用力較小，

在赤道附近射入的粒子，其速度方向和地磁場方向接近垂直，受到的地磁場作用力更大。故C錯

誤；D正確。

故選BD。

【考向2】（2024?河北?二模）如圖所示，空間內(nèi)有一垂直紙面方向的勻強(qiáng)磁場（方向未知），一帶正

電的粒子在空氣中運(yùn)動的軌跡如圖所示，由于空氣阻力的作用，使得粒子的軌跡不是圓周，假設(shè)粒

子運(yùn)動過程中的電荷量不變。下列說法正確的是（）

A.粒子的運(yùn)動方向為c—6—a

B.粒子所受的洛倫茲力大小不變

C.粒子在6點的洛倫茲力方向沿軌跡切線方向

D.磁場的方向垂直紙面向里

【答案】D

【詳解】A.由于空氣阻力做負(fù)功，粒子運(yùn)動過程中速率逐漸減小，由

V2

qvB=m—

得

所以粒子運(yùn)動的軌道半徑逐漸減小，粒子的運(yùn)動方向為aTbrc,A錯誤；

B.由公式f=可知粒子所受的洛倫茲力逐漸減小，B錯誤；

C.粒子所受的洛倫茲力與速度方向垂直，方向指向彎曲軌跡的內(nèi)側(cè)，所以粒子在b點的洛倫茲力

并不沿切線方向，C錯誤；

D.由左手定則可知勻強(qiáng)磁場的方向垂直紙面向里，D正確。

故選D。

【考向3】（2023?陜西西安?一模）如圖所示，豎直放置的光滑絕緣斜面處于方向垂直豎直平面（紙

面）向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場中，一帶電荷量為q（q>0）的滑塊自。點由靜止沿斜面

滑下，下降高度為/I時到達(dá)6點，滑塊恰好對斜面無壓力。關(guān)于滑塊自。點運(yùn)動到6點的過程，下

列說法正確的是（）（重力加速度為g）

A.滑塊在a點受重力、支持力和洛倫茲力作用

B.滑塊在6點受到的洛倫茲力大小為qB頻K

C.洛倫茲力做正功

D.滑塊的機(jī)械能增大

【答案】B

【詳解】A.滑塊自。點由靜止沿斜面滑下，在。點不受洛倫茲力作用，故A錯誤；

BCD.滑塊自。點運(yùn)動到b點的過程中，洛倫茲力不做功，支持力不做功，滑塊機(jī)械能守恒

1

mgh--mv2

得

v=J2gh

故滑塊在b點受到的洛倫茲力為

F=qBv=qB12gh

故B正確，C錯誤，D錯誤。

故選B。

【考向4】（2024.山東濟(jì)南.一模）一傾角為a的絕緣光滑斜面處在與斜面平行的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)

強(qiáng)度大小為瓦質(zhì)量為加電荷量為-q的小球，以初速度為從N點沿M0邊水平射入磁場。已知斜

面的高度為%且足夠?qū)?，小球始終未脫離斜面。則下列說法正確的是（）

B.小球到達(dá)底邊的時間為上，

ygsm^a

C.小球到達(dá)底邊的動能為zngh

D.勻強(qiáng)磁場磁感強(qiáng)度的取值范圍B4厘竺

q?o

【答案】B

【詳解】A.小球運(yùn)動過程中，小球受到的洛倫茲力、重力恒定不變，則小球受到的合力不變，且

合力方向與初速度方向不在同一直線上，故小球在斜面上做勻變速曲線運(yùn)動，故A錯誤；

B.小球做類平拋運(yùn)動，在M0方向上，小球做勻速直線運(yùn)動，在斜面方向上，小球做勻加速直線

運(yùn)動，則

h1

——=77at29

sina2

小球的加速度為

a=gsind

解得小球到達(dá)底邊的時間為

2h

：-2-

t=[gsin/a

故B正確；

C.根據(jù)動能定理，小球到達(dá)底邊的動能為

17

為=2mvo+mgh

故C錯誤；

D.根據(jù)左手定則，小球受到的洛倫茲力垂直斜面向上，為使小球不脫離斜面，則

qv0B<mgcosa

解得勻強(qiáng)磁場磁感強(qiáng)度的取值范圍為

Bvmgcosa

一q?o

故D錯誤。

故選B。

K考點翻柘理重點

考點2：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動

1.帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動圓心、半徑及時間的確定方法

（1）確定圓心

!,??!：xxx：?J-

ok?周4xxBH1>不

.\y°j>

LL\Xx

啜啜*1晨OxX

'甲‘‘乙‘丙

已知入射點、出射點、入射方向和出射方向時，可通過入射點和出射點分別作垂直于入射

①

方向和出射方向的直線，兩條直線的交點就是圓弧軌道的圓心（如圖甲所示）

已知入射方向、入射點和出射點的位置時，可以通過入射點作入射方向的垂線，連接入射

②

點和出射點，作其中垂線，這兩條垂線的交點就是圓弧軌跡的圓心（如圖乙所示）

若只已知一個點及運(yùn)動方向，也知另外某時刻的速度方向，但不確定該速度方向所在的點，

③如圖丙所示，此時要將其中一速度的延長線與另一速度的反向延長線相交成一角

（NB1M）,畫出該角的角平分線，它與已知點的速度的垂線交于一點0,該點就是圓心

（2）確定“半徑

inv

方法一由物理方程求：半徑R—”

qb

方法二由幾何方程求：一般由數(shù)學(xué)知識（勾股定理、三角函數(shù)等）計算來確定

x

1lxxx\x

i~

R-d\，v?

0例：(右圖)或由R2=〃+(R—d)2求得R=_^

Sinc/Za

（3）確定“圓心角與時間”

、卯

\、X.

①速度的偏向角9=圓弧所對應(yīng)的圓心角（回旋角）。=2倍的弦切角a,即（p=6

圓心角的

=2a=（ot,如圖所示

確定

②偏轉(zhuǎn)角"與弦切角1的關(guān)系：夕＜180。時，（p=2a;夕＞180。時，夕=360°—2a

e

方法一：由圓心角求，t=^rT

時間的計

算方法

方法二：由弧長求，

2.重要推論

（1）當(dāng)速度v一定時，弧長（或弦長）越長，圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的時間越

長.

（2）當(dāng)速率v變化時，圓心角大的運(yùn)動時間長.

?___金

工韋迪楚舞產(chǎn)

【考向5】如圖，在平面直角坐標(biāo)系。町的第一象限內(nèi)，存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度

大小為瓦一個質(zhì)量為小電量為q的粒子從y軸上的P（0,百L）點射入磁場，入射速度方向與y軸

正方的夾角為a=150。，粒子垂直無軸離開磁場。不計粒子的重力。則正確的是（）

A.粒子一定帶負(fù)電

B.粒子在磁場中運(yùn)動的時間為膽

3qB

C.粒子入射速率為舊理

m

D.粒子離開磁場的位置到。點的距離為（2百-3）L

【答案】D

【詳解】A.根據(jù)題意可知粒子垂直x軸離開磁場，根據(jù)左手定則可知粒子帶正電，故A錯誤;

BC.a=150。時，粒子垂直x軸離開磁場，運(yùn)動軌跡如圖

y

x'tlha=150。B\

I

fI

//

粒子運(yùn)動的半徑為

V3L「

r=———=2aL

cos60

洛倫茲力提供向心力

V2

qvB=m—

r

解得粒子入射速率

2^3qBL

v=----------

m

軌跡對應(yīng)的圓心角為30。，粒子在磁場中運(yùn)動的時間為

30°12irm

t—“T—,—x—n—m

360°12qB6qB

故BC錯誤；

D.粒子離開磁場的位置到。點的距離為

d-r—rcos30°=（2>/3—3）L

故D正確。

故選Do

【考向6］（多選）如圖所示，邊長為L的正方形區(qū)域A3。內(nèi)存在著垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁

感應(yīng)強(qiáng)度為瓦一帶電粒子以速度vo從D點射入磁場，速度方向與C。邊夾角為60。，垂直邊射

出磁場，則下列說法正確的是（）

A.粒子在磁場中的軌跡半徑為L

B.粒子的比荷為回

BL

C.粒子在磁場中的運(yùn)動時間為普

D.逐漸增大粒子的速度，且粒子仍從BC邊射出，則粒子在磁場中的運(yùn)動時間減小

【答案】CD

【詳解】

如圖所示，由幾何關(guān)系可得，粒子在磁場中的軌跡半徑為

L2A/3

V=--------=-----L

cos30°3

故A錯誤；

B.根據(jù)洛倫茲力提供向心力

2

v0

qv0B=m----

聯(lián)立解得粒子的比荷

q_V3v0

m2BL

故B錯誤；

C.由幾何關(guān)系可知粒子在磁場中做圓周運(yùn)動轉(zhuǎn)過的圓心角為60。，粒子在磁場中的運(yùn)動時間

271T60°2V3TTL

t—___x------=______

v03609v0

故C正確；

D.根據(jù)

V..i2

qvrB=m--

r'

可得

mv'

可知速度增大，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑增大，由作圖法可知當(dāng)速度增大到一定值時，粒子

仍從2C邊射出，則粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡所對應(yīng)的圓心角。減小，粒子在磁場中的運(yùn)動時間

減小，故D正確。

故選CDo

【考向7】如圖所示，xOy坐標(biāo)平面內(nèi)一有界勻強(qiáng)磁場區(qū)域(邊界平行無軸)，方向垂直坐標(biāo)平面向

里。質(zhì)量為加、電荷量為q的粒子，以大小為v的初速度從。點沿x軸正方向開始運(yùn)動，粒子經(jīng)過

y軸上到。點距離為(/+l)d的P點，此時粒子速度方向與y軸正方向的夾角0=45。。不計粒子所

受的重力。求：

XXXXXX

B

XXXXvXX

X義夕XXX

(1)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B-,

(2)粒子從。點運(yùn)動到P點的時間to

【答案】⑴子

qd

(37r+4)d

⑵

4v

【詳解】(1)作出粒子運(yùn)動軌跡，如圖所示

R

粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由洛倫茲力提供向心力，則有

V2

qvB=Tn—

R

解得

mv

(2)粒子做圓周運(yùn)動的周期

2TTR

T=——

v

粒子在磁場中運(yùn)動時間

180°-45°

————T

ti360°

粒子勻速直線運(yùn)動時間

R

f_tan。

r

2一V

粒子從。點運(yùn)動到尸點的時間

t=t]+12

解得

(3TT+4)d

t=------------

4v

【考向8】(2024.河北邯鄲.一模)如圖所示，邊長為L的正方形48DC區(qū)域(含邊界)內(nèi)存在勻強(qiáng)電

場，電場強(qiáng)度方向向下且與zc邊平行。一質(zhì)量為機(jī)、電荷量為+q的帶電粒子從A點沿方向以初

速度為射入勻強(qiáng)電場，恰好能從。點飛出。不計粒子重力。

4、B

CLD

(1)求粒子在電場中運(yùn)動的時間f及速度偏轉(zhuǎn)角8的正切值;

(2)若將正方形區(qū)域內(nèi)的勻強(qiáng)電場換成垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，粒子仍以相同速度%從A點進(jìn)入磁

場，粒子以相同偏轉(zhuǎn)角。從BD邊飛出。求磁感應(yīng)強(qiáng)度與電場強(qiáng)度的比值。

【答案】(1)5，2

【詳解】(1)粒子在勻強(qiáng)電場中做類平拋運(yùn)動，由運(yùn)動學(xué)公式可知

L

t=—

%

位移偏轉(zhuǎn)角為a,則有

L

tana=-=1

速度偏轉(zhuǎn)角的正切值

tan。=2tana=2

(2)粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，軌跡如圖所示

由幾何關(guān)系可知

rsin0=L

且

2V5

sin。=—^―

由牛頓第二定律可知

Vo

qvB=m—

0r

聯(lián)立解得

B2mvo

~yJSqL

粒子在勻強(qiáng)電場中運(yùn)動過程有

tan。=2=也

%

且

%=.t,L=vot

聯(lián)立解得

「2nl詔

qL

所以磁感應(yīng)強(qiáng)度與電場強(qiáng)度的比值為

B_V5

E5v0

■考點剖析理重點

考點3：帶電粒子在直線及平行邊界中的運(yùn)動

XXXX{xXXX

模型

圖

"4%"

直線(a)(b)(c)

邊界對于磁場只有一條無限長直線邊界的情況，主要關(guān)注的問題有：一是出射方向與

（進(jìn)、模型入射方向關(guān)于邊界的對稱性；二是能夠離開邊界的距離極值即出射點與入射點間

出磁分析的最大距離。涉及距離的問題找與半徑的關(guān)系，涉及運(yùn)動時間的問題我與周期的

場具關(guān)系

有對TTim

圖a

稱性）

運(yùn)動

2兀一2B、EZ19、271m2加(九一6)

圖bt=(--------yr=(i——)—=-------------

時間2/r7iBqBq

2ffT20m

圖Ct==

InBq

xx\*df;

平行模型

邊界圖

1,?dr'8：d

（存在

d=R(cos仇+cos32)d=R(cos^2-cosd)d=R(l+cosG)d=R(l-cos0)

甲乙丙丁

臨界

條件）常見的平行直邊界中，若邊界間距較大，粒子不能從另一邊界穿出時，與單直線

模型

邊界情況相同。若兩邊界間距較小，常見幾何關(guān)系如圖甲、乙所示。在臨界狀態(tài)

分析

下運(yùn)動軌跡恰好與另一邊界相切，常見的幾何關(guān)系如圖丙、丁所示。

?___金

工”繆妒

【考向9】在如圖所示的平面內(nèi)，分界線S尸將寬度為L的矩形區(qū)域分成兩部分，一部分充滿方向垂

直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，另一部分充滿方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B,

S尸與磁場左右邊界垂直。離子源從S處射入速度大小不同的正離子，離子入射方向與磁場方向垂直

且與SP成30。角。己知離子比荷為匕不計重力。若離子從尸點射出，設(shè)出射方向與入射方向的夾

角為仇則離子的入射速度和對應(yīng)。角的可能組合為（）

11

A.-kBL,0°B.-kBL,0°C.kBL,0°D.2kBL,60°

32

【答案】B

【詳解】若離子通過下部分磁場直接到達(dá)尸點，如圖甲所示,

甲

根據(jù)幾何關(guān)系則有

R=L

由

V2

qvB=771H

可得

qBL

v=-----=kBL

m

根據(jù)對稱性可知出射速度與S尸成30。角斜向上，故出射方向與入射方向的夾角為

9=60。

當(dāng)離子在兩個磁場均運(yùn)動一次時，如圖乙所示，因為兩個磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為8,則根據(jù)對

稱性有

1

R=-L

2

xxxx

XXXX

,z1

乙

根據(jù)洛倫茲力提供向心力，有

V2

qvB=

可得

qBL1

v=——=-kBL

2m2

此時出射方向與入射方向相同，即出射方向與入射方向的夾角為

9=0°

通過以上分析可知當(dāng)離子從下部分磁場射出時，需滿足

qBL1

v=------=-----kBL(n=1,2,3……)

(2n—1)2n—1

此時出射方向與入射方向的夾角為

9=60。

當(dāng)離子從上部分磁場射出時，需滿足

==

v——=—kBL(n1J2,3...)

2nm2n

此時出射方向與入射方向的夾角為

0=0°

故選B。

【考向10］如圖所示，而）為紙面內(nèi)矩形的四個頂點，矩形區(qū)域內(nèi)（含邊界）處于垂直紙面向外的

勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為3,ad=L,ab=V3Lo一質(zhì)量為加、電荷量為q（q>0）的粒子,

從。點沿必方向運(yùn)動，不計粒子重力。下列說法正確的是（）

b

?B?

d

A.粒子能通過cd邊的最短時間t=胃

qB

B.若粒子恰好從c點射出磁場，粒子速度〃=等

2m

C.若粒子恰好從d點射出磁場，粒子速度〃=跡

m

D.若粒子只能從泅邊界射出磁場，則粒子的入射速度0<uW磐

2m

【答案】D

【詳解】A.粒子能通過cd邊，從。點射出的粒子在磁場中運(yùn)動的時間最短，根據(jù)幾何關(guān)系

22

(r2—L)2+(V3L)=r2

解得

r2=2L

則轉(zhuǎn)過的圓心角

V3LV3

sin。=--=—

2L2

即

0=60°

粒子在磁場中運(yùn)動的周期

2Tim

T=——

qB

則粒子能通過cd邊的最短時間

0nm

t=T=___

36003qB

故A錯誤；

B.若粒子恰好從。點射出磁場，根據(jù)幾何關(guān)系

22

(r2—L)2+(V3L)=r2

解得

r2=2L

由洛倫茲力提供向心力得

諺

qv2B=m—

解得

2qBL

v=----

?m

故B錯誤；

C.若粒子恰好從d點射出磁場，由幾何關(guān)系可知其半徑

1

G=2L

根據(jù)

qvrB=m—

G

解得

qBL

故c錯誤;

D.若粒子從d點射出磁場，粒子運(yùn)動軌跡為半圓，從d點出射時半徑最大，對應(yīng)的入射速度最大,

則

qBL

故若粒子只能從油邊界射出磁場，則粒子的入射速度0<uW警，故D正確。

【考向11］如圖所示，在直角三角形abc區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面向外，La=30。。

一質(zhì)子出以火的速度沿平行于ab的方向從。點射入三角形區(qū)域，經(jīng)時間/從ON的中點M離開磁

場，若一a粒子』He以北的速度從。點沿相同的方向射入，貝1Ja粒子在磁場中的運(yùn)動時間為（）

N'''c

A.—B.tC.V3tD.It

2

【答案】D

【詳解】根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得

qvB=m

0v

解得

mv

丁=----0

qB

設(shè)質(zhì)子汨在磁場中的運(yùn)動半徑為勺，貝Ua粒子在磁場中的運(yùn)動半徑為

r2=2rl

根據(jù)幾何關(guān)系可知a粒子從N點離開磁場，根據(jù)題意作出粒子運(yùn)動軌跡

質(zhì)子汨在磁場中的運(yùn)動時間為

1=黑7=；*殂=箸a粒子在磁場中的運(yùn)動時間為

360°63V

v00

60°12兀萬仃22al

i一新7-/丁布-甌=2t

故選D。

【考向12］如圖所示，在空間中存在垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度為5的有界勻強(qiáng)磁場，其邊界A3、

相距為d,在左邊界的。點處有一質(zhì)量為機(jī)、帶電量為-q的粒子沿與左邊界成30。的方向射入磁

場,粒子重力不計。求：（本題要求3個小問都要在答題卡上畫出帶電粒子在磁場區(qū)域內(nèi)運(yùn)動的軌跡）

（1）帶電粒子能從A5邊界飛出的最大速度；

（2）若帶電粒子能垂直CD邊界飛出磁場，粒子在磁場中運(yùn)動的速度和時間各是多少？

（3）若帶電粒子的速度是（2）中的百倍，并可以從。點沿紙面各個方向射入磁場，則粒子能打到

CD邊界的距離大??？

XxC

XX

XX

XX

XX

XX

XX

XX

XX

XX

d—D

【答案】（1）2（2—4（2）您；（3）2V3d

m3m3qB

【詳解】(1)設(shè)粒子軌跡半徑為治,臨界情況如圖甲所示

由幾何條件知

Ri+/?1cos30°=d

粒子做圓周運(yùn)動，由洛倫茲力提供向心力

2

q%B=-^―

解得最大速度為

2(2-V3)Fqd

v-l二------m-------

(2)帶電粒子能從右邊界垂直射出，作出軌跡如圖乙所示

XXX

XXX

XXX

XXX

學(xué)丈

-X--X-

4弋60°

XX

XXX

<—d—?

乙

由幾何關(guān)系知

d

R2=T^

粒子做圓周運(yùn)動，由洛倫茲力提供向心力

V22

Bqv=

2公

解得

2y/3qBd

"2

3m

粒子轉(zhuǎn)過的圓心角為60°，所用時間為

60°

t=------T

360°

粒子做圓周運(yùn)動，周期

2Tlm

T=--

Bq

解得

nm

t------

3qB

(3)當(dāng)粒子速度是(2)中的6倍時，根據(jù)

mvo2

=--

結(jié)合上述解得

R3=2d

由幾何關(guān)系可得粒子能打到CO邊界的范圍如圖丙所示

根據(jù)幾何關(guān)系可知，粒子打到CO邊界的距離

I=2x2dcos30°

解得

I=2V3d

id考點剖析理重點

考點4：帶電粒子在折線形邊界中的運(yùn)動

折線模型分在磁場邊界為折線形時，臨界狀態(tài)存在兩種可能性，即軌跡是與邊界相切還是通

邊界析過折線頂點。這取決于粒子入射方向與邊界線夾角仇與折線頂角。2的相對大?。?/p>

模型仇>。2時，軌跡與邊界相切，如圖甲所示；仇二。2時，則通過頂點，如圖乙所示。

模型圖

甲乙

在三角形邊界的勻強(qiáng)磁場中，若粒子從在三角形的一個頂點射入磁場時，情景類

似于折線邊界，如圖甲所示，NA>NC,則從A點沿A8方向入射的粒子，臨界狀

態(tài)是粒子運(yùn)動軌跡與8C邊相切；但從C點沿CB方向入射的粒子，臨界狀態(tài)是

模型分

軌跡恰好通過A點。若粒子從一邊上射入磁場，必要時可構(gòu)造折線邊界進(jìn)行判定，

析

三角如圖乙所示，粒子從P點射入磁場，在判定粒子能否通過A點或C點時可直接

形邊利用折線邊界的結(jié)論；在判定粒子能否通過8點時，可連接尸8再利用折線邊界

界模的結(jié)論。

型

模型圖

甲乙

在四邊形邊界的勻強(qiáng)磁場中，同樣可在必要時構(gòu)造折線形邊界用于判定臨界狀

模型分態(tài)。如圖所示，粒子從A8邊上的a點垂直邊進(jìn)入磁場中，連接a。、aC,可

析判定，粒子若逆時針轉(zhuǎn)動時，可經(jīng)過。點，但順時針轉(zhuǎn)動時，最多與CD邊相切

四邊

而不會經(jīng)過C點。

形邊

界模

型

模型圖

；!XV'xX；

/---------S--------------------------B

?盒

【考向13］如圖所示，正方形虛線框ABC。邊長為a,內(nèi)有垂直于線框平面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小

為B的勻強(qiáng)磁場，一帶電荷量為私質(zhì)量為根的帶正電粒子從AB邊中點P垂直AB邊以初速度vo

射入勻強(qiáng)磁場，不計粒子重力，則下列判斷正確的是（）

￡

z

x

x--

Xvi

xO

XXXxv'

3xXX

尸*

%

XxXXXI

X

XXX

5.*CF

一

一--1

A.若vo的大小合適，粒子能從CD邊中點F射出磁場

B.當(dāng)孫=曬時，粒子正好從4。邊中點E射出磁場

m

C.當(dāng)%>等時，粒子將從C￡>邊射出磁場

口4m

D.粒子在磁場中運(yùn)動的最長時間為粵

qB

【答案】C

【詳解】A.帶正電的粒子進(jìn)入磁場后，受到向上的洛倫茲力，則粒子不可能從CO邊中點尸射出

磁場，選項A錯誤;

B.粒子正好從AO邊中點E射出磁場時，由幾何關(guān)系得

1

r=-a

2

根據(jù)

mvn

qBu。=-Y-

可得

qBa

“o=2―m

選項B錯誤；

C.當(dāng)粒子恰好從。點射出時，根據(jù)幾何關(guān)系得

1

r2=a2+(r--a)2

解得

5

r=-a

4

則此時

SqBa

V°-4m

則當(dāng)孫〉誓時，粒子將從CO邊射出磁場，選項C正確;

D.粒子從必間射出磁場時，運(yùn)動的時間最長，此時

1nm

t=-T=—

2qB

選項D錯誤。

故選Co

【考向14】（多選）如圖所示，直角三角形abc區(qū)域內(nèi)（不包括三角形邊界）存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小

為B、方向垂直三角形所在平面向外的勻強(qiáng)磁場，Na=30。，ac=L,C為ac的中點，。為兒的中

點，C點處的粒子源可沿平行cb的方向射入速度大小不同的正、負(fù)電子（不計電子所受的重力）。

電子的比荷為女,不考慮電子間的作用。下列說法正確的是（）

b

A.可能有正電子從。點射出磁場

B.負(fù)電子在磁場中運(yùn)動的最長時間為白

kB

C.從。點射出磁場的負(fù)電子的速度大小為雪

D.從ab邊射出磁場的正電子在磁場中運(yùn)動的最長時間為急

【答案】BCD

【詳解】A.根據(jù)題意可知，若有正電子從。點射出磁場，則該正電子途中必然從油邊射出磁場,

故A錯誤；

B.當(dāng)電子從ac邊射出磁場時，電子在磁場中運(yùn)動的時間最長，且最長時間為半個周期，設(shè)電子的

質(zhì)量為加，電荷量為￡,有

e

—=k

m

可得該最長時間

12717n7T

%=------=—

12eBkB

故B正確；

C.設(shè)從。點射出磁場的負(fù)電子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑為廠，根據(jù)幾何關(guān)系有

r2=（f-r）+Gtan300）

設(shè)該負(fù)電子的速度大小為V,有

evB=m—

r

解得

kBL

故C正確;

D.當(dāng)正電子的運(yùn)動軌跡恰好與仍邊相切時，該正電子在磁場中運(yùn)動的時間最長，根據(jù)幾何關(guān)系可

知，該正電子運(yùn)動軌跡對應(yīng)的圓心角

9=120°

則該正電子在磁場中運(yùn)動的時間

120°2jim27r

’2=360°'~eB~=3kB

故D正確。

故選BCDo

【考向15】（多選）如圖所示，直角坐標(biāo)系xOy中的第一象限內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁

感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.有一質(zhì)量為機(jī)、電荷量為-q的粒子從y軸上的尸點沿著與y軸正方向成45。角

的方向射入磁場，不考慮粒子的重力，下列說法正確的是（）

A.粒子不可能從原點離開磁場B.粒子有可能從原點離開磁場

C.粒子在磁場中運(yùn)動的時間可能為巖D.粒子在磁場中運(yùn)動的時間可能為千

4qBqB

【答案】AD

【詳解】AB.粒子在磁場中做圓周運(yùn)動，粒子速度較小時從y軸離開磁場，當(dāng)粒子速度為某一值v

時與尤軸相切，此時粒子不過坐標(biāo)原點，當(dāng)速度大于v時，粒子從x軸離開磁場，如圖所示，所以

粒子不可能從坐標(biāo)系的原點。離開磁場，故A正確，B錯誤；

CD.根據(jù)周期公式

可知，C選項的圓心角為45。，D選項的圓心角為180。，隨著v的增大，粒子從x軸離開磁場，可以

取到180。，但是最小的圓心角一定會大于45。，故C錯誤，D正確。

故選ADo

【考向16]（多選）如圖所示，水平面的abc區(qū)域內(nèi)存在有界勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,邊界

的夾角為30。，距頂點6為L的S點有一粒子源，粒子在水平面內(nèi)垂直兒邊向磁場內(nèi)發(fā)射速度大小不同

的帶負(fù)電的粒子，粒子質(zhì)量為小、電荷量大小為q,下列說法正確的是（

A.從邊界北射出的粒子速度方向都相同

B.粒子離開磁場時到b點的最短距離為，

C.垂直邊界必射出的粒子的速度大小為磐

D.垂直邊界帥射出的粒子在磁場中運(yùn)動的時間為篝

3qB

【答案】AB

【詳解】A.粒子豎直向上進(jìn)入磁場，軌跡圓心一定在6c邊上，若粒子能從邊界兒射出，粒子的速

度方向一定豎直向下，故方向均相同，故A正確；

B.當(dāng)軌跡恰好與"邊相切時，粒子從A邊離開磁場時到6點的距離最短，由幾何關(guān)系可得

（L一%）sin30°=%

離6點的最短距離為

△s=L-2R]

聯(lián)立解得

L

故B正確；

C.垂直邊界M射出的粒子，軌道半徑為

夫2=心

由洛倫茲力作為向心力可得

qvB=m—

&

解得粒子的速度大小為

qBL

v=-----

m

故C錯誤；

D.粒子在磁場中的運(yùn)動周期為

2Tim

T=——

Bq

垂直邊界而射出的粒子在磁場中運(yùn)動的時間為

30°71m

t=T=___

360°6qB

故D錯誤。

故選AB?

【考向17］如圖所示，以直角三角形AOC為邊界的有界勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度為2,ZA=60°,

AO=L,在。點發(fā)射某種帶負(fù)電的粒子（不計重力作用），粒子的比荷為且。發(fā)射方向與OC邊的夾

m

角為。=60。，粒子從A點射出磁場。

，「乂：

/xx：

，「又XXX：

「次’XXXXy為

XXXXX

⑴求粒子的發(fā)射速度大小V0；

⑵求粒子在磁場中的運(yùn)動時間；

⑶若入射粒子為正電荷，粒子能從。。邊射出，求入射速度的范圍。

【答案】⑴*

（2產(chǎn)

（3）0<v<叵些

【詳解】（1）粒子從A點射出磁場，運(yùn)動軌跡如圖所示

X

，「又XXX：\

/義義XXL^；/

-4XXXXAx：/

_X_X__X__X

由幾何知識可知

V=4。=L

根據(jù)洛倫茲力提供向心力，所以

2z

nmvo

q〃oB=1一

代入解得

qBL

v=-----

0m

(2)由幾何知識可知，粒子轉(zhuǎn)過的圓心角為

71

0=3

由

t=-T,T=—

27rqB

得

nm

t=：3qB

(3)粒子能從OC邊射出，如圖

一d

XX

XXXX

「」父/xxAxxx(吵。

V

由幾何關(guān)系知，半徑最大為

V3

R=—Lr

2

有

mv2

qvB=-^-

解得最大速度為

qBRWqBL

v=-----=---------

m2m

所以速度取值范圍為

WqBL

0<v<

2m

應(yīng)考點剖析理重點

考點5：帶電粒子在圓形及環(huán)形邊界中的運(yùn)動

在圓形邊界磁場中，若粒子沿徑向P0,射入圓形磁場，則必沿徑向0Q射出，

運(yùn)動具有對稱性，如圖甲所示，連接軌跡圓心0與磁場區(qū)域圓心0；所得直角

△。尸0',將軌跡半徑r、磁場區(qū)域半徑R、粒子在磁場內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角26?、磁場區(qū)

D

域的圓心角2a建立關(guān)系式可知粒子做圓周運(yùn)動的半徑r=------，粒子在磁場中運(yùn)

tan。

模型

zyr-1r\/j,

動的時間/=旦，。

分析2-=8+1=90°

TCBq

圓形如圖乙所示，若粒子不是正對磁場區(qū)域圓心射入時，也不會背離圓心沿半徑方

邊界向射出，但入射方向、出射方向與所在處半徑所在直線的夾角一定相同。連接入射

模型點與出射點、連接軌跡圓心。與磁場區(qū)域圓心O及連接兩圓心與出入射點，可得

兩個具有共同底邊的等腰三角形OPQ、。尸。和共直南邊的直南三角形。

啖,/'xx'、、送

模型

圖

0'、、一，

甲乙

如圖是四種常見的環(huán)形邊界磁場中臨界軌跡情景，設(shè)粒子的軌跡半徑為r,內(nèi)

環(huán)半徑為Ri,外環(huán)半徑為&，甲、乙兩圖是粒子從外環(huán)邊界進(jìn)入磁場的情形，丙、

環(huán)形丁兩圖是從內(nèi)環(huán)邊界進(jìn)入磁場的情形.甲、丙兩圖是垂直于環(huán)半徑方向進(jìn)入磁場的

模型

邊界情形，乙、丁兩圖是沿環(huán)半徑方向進(jìn)入磁場的情景。由圖中幾何關(guān)系易得各情景下

分析

模型的臨界半徑：

_,R+R?R?—R、

甲圖中用=2'你=2：

eR,

乙圖中(Ri+r)2=d+R22,tan—=—；

2r

.R,+R)R0—R,

丙圖中加=七上，么=、」；

丁圖中(尺2--)2=7+凡2,tan(———)=—o

22r

一盒

工韋迪委妒

【考向18］如圖所示，半徑為R的圓形區(qū)域中充滿了垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，。為圓心，AO與

水平方向的夾角為30?！，F(xiàn)有帶正電粒子。從A點沿水平方向以大小為火的速度垂直磁場射入，其離

開磁場時，速度方向剛好改變了180。；另一帶負(fù)電粒子b以與粒子。大小相同的速度從C點沿C。

方向垂直磁場射入。已知人6兩粒子的比荷之比為1:2,不計粒子的重力和兩粒子間的相互作用。

下列說法不正確的是（）

a36d'$/>.

X

Vo/\

匚?3變N

Ovo??

A.〃、Z?兩粒子做圓周運(yùn)動的半徑之比為1:2

B.匕粒子豎直向下射出磁場

C.。粒子在磁場中運(yùn)動的時間為吧

%

D.兩粒子在圓形邊界的出射點間的距離為R

【答案】C

【詳解】A.a粒子離開磁場時，速度方向剛好改變了180。，表明a粒子在磁場中轉(zhuǎn)動了半周，其軌

跡如圖所示

由幾何關(guān)系得

R

q=Rsin300=—

設(shè)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為3,根據(jù)牛頓第二定律得

詔

qv0B=m—

化簡得

弓=喈=；7?6粒子進(jìn)入磁場，有

qB2

V

qa'vVQDB—-mTTl'—°