2024學(xué)年第一學(xué)期期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1－6題每題4分，第7－12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1.有一根高為3π，底面半徑為1的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，求鐵絲的最短長(zhǎng)度________.2.已知四棱柱的底面是正方形，側(cè)棱垂直于底面，底面邊長(zhǎng)為，高為3，則此四棱柱的對(duì)角線長(zhǎng)為_(kāi)_______.3.已知邊長(zhǎng)為3的正△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，且OA與平面ABC所成的角為30°，則球O的表面積為_(kāi)_______.4.已知兩條不同的直線m，n，兩個(gè)不同的平面，，給出下列四個(gè)說(shuō)法：①m∥n，，； ②，，；③，； ④，，，其中正確的序號(hào)是________.5.直線l垂直于平面內(nèi)的兩條不平行的直線，則直線l與平面的關(guān)系是________.6.已知異面直線m，n所成的角為60°，M，N在直線m上，G，H在直線n上，，，，，，則G，M間的距離為_(kāi)_______.7.正方體中，平面與平面的交線是________所在的直線.8.圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，在圓錐體內(nèi)部放入一個(gè)體積最大的球，該球的表面積為_(kāi)_______.9.已知圓錐的頂點(diǎn)為P，母線PA，PB的夾角為60°，PA與圓錐底面所成角為45°，若△PAB的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______.10.在正方體中，二面角的平面角大小為_(kāi)_______.11.已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為2，點(diǎn)P是其表面上的動(dòng)點(diǎn)，該棱柱內(nèi)切球的一條直徑是MN，則的取值范圍是________.12.已知正四面體ABCD棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)，，分別是△ABC，△ABD，△ACD內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)有下列四個(gè)命題：①對(duì)于任意點(diǎn)，都存在點(diǎn)，使；②存在，使直線平面ABC；③當(dāng)最小時(shí)，三棱錐的體積為④當(dāng)最大時(shí)，頂點(diǎn)A到平面的距離的最大值為.其中正確的有________.（填選正確的序號(hào)即可）二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分，每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)）13.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.14.設(shè)a，b為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不重合的平面.下列命題中正確的是（）A.若，，則B.若a，b與所成的角相等，則a與b平行或相交C.若內(nèi)有三個(gè)不共線的點(diǎn)到的距離相等，則D.若，且，則15.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M，N分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BD上，點(diǎn)F在上，且，點(diǎn)P在線段CM上運(yùn)動(dòng)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)點(diǎn)E是BD中點(diǎn)時(shí)，直線EF∥平面；②直線到平面CMN的距離是；③存在點(diǎn)P，使得；④面積的最小值是.其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.316.如圖所示，四面體ABCD的體積為V，點(diǎn)M為棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段DM的三等分點(diǎn)，點(diǎn)N為線段AF的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N的平面與棱AB，AC，AD分別交于O，P，Q，設(shè)四面體AOPQ的體積為，則的最小值為（）A. B. C. D.三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.（滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為的中點(diǎn).（1）求異面直線AE與所成角的余弦值；（2）求三棱錐的體積.18.如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PC的中點(diǎn)，且平面PBD⊥平面BEF.（1）證明：；（2）若PB⊥PD，當(dāng)四棱錐P－ABCD的體積最大時(shí)，求直線PA與平面BEF的夾角.19.如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，PA=BC=2AD=2AB=4，AD⊥平面PAB，PA⊥AB，E、F分別是棱PB、PC的中點(diǎn).（1）證明：DF∥平面ACE；（2）求平面ACE與平面PCD的夾角的余弦值.20.如圖，已知長(zhǎng)方體，AB=2，，直線BD與平面所成角為30°，AE垂直BD于E.（1）若F為棱的動(dòng)點(diǎn)，試確定F的位置，使得AE∥平面，并說(shuō)明理由；（2）若F為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到平面BDF的距離；（3）若F為棱上的動(dòng)點(diǎn)（除端點(diǎn)、外），求二面角F－BD－A的平面角的范圍.21.一個(gè)幾何系統(tǒng)的“區(qū)徑”是指幾何系統(tǒng)中的兩個(gè)點(diǎn)距離的最大值，如圓的區(qū)徑即為它的直徑長(zhǎng)度.（1）已知△ABC為直角邊為1的等腰直角三角形，其中AB⊥AC，求分別以△ABC三邊為直徑的三個(gè)圓構(gòu)成