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琴生不等式的證明綜述目錄TOC\o"1-1"\h\u17222琴生不等式的證明綜述 1176981.1一般形式的證明 1172651.2加權(quán)形式的證明 2256751.3積分形式的證明 3307461.4高維形式的證明 31.1一般形式的證明對(duì)于證明一般形式，常采用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)時(shí)，琴生不等式兩邊都是,顯然成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，琴生不等式成立?？紤]當(dāng)n（3）顯然有又記,A,B和C仍是(a,b)(4)利用歸納法假設(shè)，有f(B)f(C)= 將上述兩個(gè)式子帶入（1）式，有（5）上式兩端乘以2k,可以得到f(A)琴生不等式當(dāng)n=k+1當(dāng)不等式（3）取等號(hào)時(shí)，上面一切不等式都應(yīng)取等號(hào)，所以依據(jù)歸納法假設(shè)，有x1=x2=…xk，A=xk+1把開區(qū)間換成[a,b]或或[a1.2加權(quán)形式的證明加權(quán)形式的琴生不等式常采用泰勒展開進(jìn)行證明。令m則有：f(f(f……f誠(chéng)意加權(quán)項(xiàng)aaaa……an合并不等式a1≤(a1+a2=f(m)=f(m)+=f(m)即

a11.3積分形式的證明令x0=1b?aabfxdxababφ(fx)dx≥(b-a)φ(x0)即φ（1b?aab1.4高維形式的證明對(duì)于高維形式的琴生不等式可采用反向數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。首先證明n=2p當(dāng)n=2時(shí),由(1)及其等式成立的條件知結(jié)論成立。

假設(shè)n=2k(k∈N,k(6)等式成立的條件是X則對(duì)?X(7)等式成立的條件是X又根據(jù)n=2時(shí)的結(jié)論，在（1），可得+即+（8）等式成立的條件是=聯(lián)立（6）、（7）、（8）得（9）等式成立的條件是=XX由于φi(x)存在反函數(shù)，必一一對(duì)應(yīng)，故由上面方程組可推得不等式（9）成立的條件是X1=X2當(dāng)n=2p

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