PAGE12-第3講拋體運動圓周運動思維導(dǎo)圖要點熟記1.物體做曲線運動的條件：當(dāng)物體所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一條直線上時，物體做曲線運動。2.平拋(或類平拋)運動的推論(1)隨意時刻速度的反向延長線肯定通過此時水平位移的中點。(2)設(shè)在隨意時刻瞬時速度與水平方向的夾角為θ，位移與水平方向的夾角為φ，則有tanθ＝2tanφ。3.水平面內(nèi)圓周運動的臨界問題(1)水平面內(nèi)做圓周運動的物體其向心力可能由彈力、摩擦力等力供應(yīng)，常涉及繩的張緊與松弛、接觸面分別等臨界狀態(tài)。(2)常見臨界條件：繩子松弛的臨界條件是繩的張力FT＝0；接觸面滑動的臨界條件是拉力F＝Ffmax；接觸面分別的臨界條件是接觸面間的彈力FN＝0。4.豎直平面內(nèi)圓周運動的兩種臨界問題(1)繩模型：半徑為R的圓形軌道，物體能通過最高點的條件是v≥eq\r(gR)。(2)桿模型：物體能通過最高點的條件是v≥0。[研考向·提實力]__________________________________考向研析__駕馭應(yīng)試技能考向一運動的合成與分解1．運動性質(zhì)和軌跡的推斷若加速度與初速度的方向在同始終線上，則為直線運動，否則為曲線運動，加速度恒定則為勻變速運動，加速度不恒定則為非勻變速運動。2．三種過河情景時間最短位移最短渡河情景渡河條件船頭垂直于河岸船頭斜向上游且v船>v水船頭斜向上游，與合速度方向垂直，且v水>v船渡河結(jié)果最短時間tmin＝eq\f(d,v船)最短位移為河寬d最短位移為eq\f(v水,v船)d3.“端速問題”解題原則把物體的實際速度分解為垂直于繩(桿)和平行于繩(桿)兩個重量，依據(jù)沿繩(桿)方向的分速度大小相等求解，常見的模型如圖所示。[典例1](多選)(2024·山東師范高校附屬中學(xué)高三模擬)質(zhì)量為2kg的質(zhì)點在xOy平面上做曲線運動，它在x方向的速度圖像和y方向的位移圖像如圖所示。下列說法正確的是()A．質(zhì)點的初速度為5m/sB．2s末質(zhì)點的速度大小為6m/sC．質(zhì)點初速度的方向與合外力方向垂直D．質(zhì)點所受的合外力為3N[解析]質(zhì)點在x方向的初速度為vx＝3m/s，y方向的初速度為vy＝－4m/s，故質(zhì)點的初速度為v0＝eq\r(veq\o\al(2,x)＋veq\o\al(2,y))＝5m/s，A正確；2s末質(zhì)點的速度大小為v＝eq\r(62＋42)m/s＝2eq\r(13)m/s，B錯誤；合外力沿x方向，而初速度方向既不沿x方向，也不沿y方向，故質(zhì)點初速度的方向與合外力方向不垂直，C錯誤；質(zhì)點的加速度a＝1.5m/s2，所受的合外力F合＝ma＝3N，D正確。[答案]AD易錯警示運動的合成與分解問題的三點留意……………………(1)物體的實際運動是合運動，明確分運動的特點，如典例中物體在x方向和y方向的運動特點。(2)依據(jù)物體運動過程的受力分析推斷合運動的性質(zhì)，如典例中的合外力沿x方向，合運動是勻變速曲線運動。(3)運動的合成與分解就是速度、位移、加速度等的合成與分解，遵循平行四邊形定則，同時還要留意合運動與分運動的等時性。1．如圖所示，甲、乙兩船在同一條河流中同時起先渡河，M、N分別是甲、乙兩船的動身點，兩船頭與河岸均成α角，甲船船頭恰好對準(zhǔn)N點的正對岸P點，經(jīng)過一段時間乙船恰好到達P點。假如劃船速度大小相等，且兩船相遇時不影響各自的航行，下列推斷正確的是()A．甲船也能到達正對岸B．甲船渡河時間肯定短C．兩船相遇在NP直線上的某點(非P點)D．渡河過程中兩船不會相遇解析：甲船航行方向與河岸成α角，水流速度水平向右，故合速度肯定不會垂直河岸，即甲船不能垂直到達對岸，A錯誤；在垂直河岸方向上v甲＝vsinα，v乙＝vsinα，故渡河時間t甲＝eq\f(d,v甲)＝eq\f(d,vsinα)、t乙＝eq\f(d,v乙)＝eq\f(d,vsinα)，所以渡河時間相等，因為在垂直河岸方向上分速度相等，又是同時動身的，故兩船相遇在NP直線上的某點(非P點)，B、D錯誤，C正確。答案：C2．如圖所示，物體A套在豎直桿上，經(jīng)細繩通過定滑輪拉動物體B在水平面上運動，起先時A、B間的細繩呈水平狀態(tài)?，F(xiàn)由計算機限制物體A的運動，使其恰好以速度v沿桿勻速下滑(B始終未與滑輪相碰)，則()A．繩與桿的夾角為α?xí)r，B的速率為vsinαB．繩與桿的夾角為α?xí)r，B的速率為vcosαC．物體B也做勻速直線運動D．物體B做勻加速直線運動解析：如圖所示，將A物體的速度按圖示兩個方向分解，繩子速率v繩＝v∥＝vcosα，而繩子速率等于物體B的速率，則物體B的速率vB＝v繩＝vcosα，故A錯誤，B正確；因物體A向下運動的過程中α減小，則cosα增大，vB增大，B物體做加速運動，但不是勻加速運動，故C、D錯誤。答案：B3．(多選)如圖甲所示，在雜技表演中，猴子沿豎直桿向上運動，其v-t圖像如圖乙所示，同時人頂桿沿水平地面運動的x-t圖像如圖丙所示。若以地面為參考系，下列說法正確的是()A．猴子的運動軌跡為直線B．猴子在2s內(nèi)做勻變速曲線運動C．t＝0時猴子的速度大小為8m/sD．t＝2s時猴子的加速度大小為4m/s2解析：由題圖乙知，猴子豎直方向上向上做勻減速直線運動，加速度豎直向下，由題圖丙知，猴子水平方向上做勻速直線運動，則猴子的加速度豎直向下且加速度的大小、方向均不變，與初速度方向不在同始終線上，故猴子在2s內(nèi)做勻變速曲線運動，A錯誤，B正確；x-t圖像的斜率等于速度，則知t＝0時猴子水平方向的速度大小為vx＝4m/s，又豎直方向初速度大小vy＝8m/s，則t＝0時猴子的速度大小為v＝eq\r(veq\o\al(2,x)＋veq\o\al(2,y))＝4eq\r(5)m/s，故C錯誤；v-t圖像的斜率等于加速度，則知猴子的加速度為a＝eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(0－8,2)m/s2＝－4m/s2，即加速度大小為4m/s2，故D正確。答案：BD考向二拋體運動1．處理方法分解為沿初速度方向的勻速直線運動和垂直初速度方向的初速度為零的勻加速直線運動。2．兩個推論(1)做平拋運動的物體隨意時刻的瞬時速度的反向延長線肯定通過此時水平位移的中點，如圖中的B是OC的中點。(2)做平拋運動的物體在隨意時刻、隨意位置處的瞬時速度與水平方向的夾角θ及位移與水平方向的夾角φ，則滿意tanθ＝2tanφ。3．兩個“二級結(jié)論”(1)對于在斜面上平拋又落到斜面上的問題，其豎直位移與水平位移之比等于斜面傾角的正切值。(2)若平拋的物體垂直打在斜面上，則物體打在斜面上瞬間，其水平速度與豎直速度之比等于斜面傾角的正切值。[典例2](多選)(2024·黑龍江齊齊哈爾市聯(lián)誼校期末)如圖所示，D點為固定斜面AC的中點。在A點和D點分別以初速度v01和v02水平拋出一個小球，結(jié)果兩球均落在斜面的底端C點?？諝庾枇Σ挥嫛ＴO(shè)兩球在空中運動的時間分別為t1和t2，落到C點前瞬間的速度大小分別為v1和v2，落到C點前瞬間的速度方向與水平方向的夾角分別為θ1和θ2，則下列關(guān)系式正確的是()A.eq\f(t1,t2)＝2 B．eq\f(v01,v02)＝eq\r(2)C.eq\f(v1,v2)＝eq\r(2) D．eq\f(tanθ1,tanθ2)＝eq\f(1,2)[解析]兩球都做平拋運動，在豎直方向上做自由落體運動，由h＝eq\f(1,2)gt2，得t＝eq\r(\f(2h,g))。兩球下落的高度之比h1∶h2＝2∶1，可得eq\f(t1,t2)＝eq\f(\r(2),1)，故A錯誤；小球水平方向做勻速直線運動，則v0＝eq\f(x,t)，兩球水平位移之比x1∶x2＝2∶1，結(jié)合eq\f(t1,t2)＝eq\f(\r(2),1)，得eq\f(v01,v02)＝eq\r(2)，故B正確；設(shè)斜面的傾角為α，小球落到C點前瞬間的速度方向與水平方向的夾角為θ，則tanα＝eq\f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq\f(gt,2v0)，tanθ＝eq\f(gt,v0)＝2tanα，是定值，所以eq\f(tanθ1,tanθ2)＝1，即θ1＝θ2，落到C點前瞬間的速度大小分別為v1＝eq\f(v01,cosθ1)，v2＝eq\f(v02,cosθ2)，可得eq\f(v1,v2)＝eq\r(2)，故C正確，D錯誤。[答案]BC4.如圖所示，在斜面頂端a處以速度va水平拋出一小球，經(jīng)過時間ta恰好落在斜面底端P處；今在P點正上方與a等高的b處以速度vb水平拋出另一小球，經(jīng)過時間tb恰好落在斜面的中點Q處。若不計空氣阻力，下列關(guān)系式正確的是()A．va＝2vb B．va＝eq\r(2)vbC．ta＝2tb D．ta＝2eq\r(2)tb解析：b球落在斜面的中點，知a、b兩球下降的高度之比為2∶1，依據(jù)h＝eq\f(1,2)gt2知，t＝eq\r(\f(2h,g))，則ta＝eq\r(2)tb，因為a、b兩球水平位移之比為2∶1，則va＝eq\r(2)vb，故B正確，A、C、D錯誤。答案：B5．(2024·高考全國卷Ⅱ)如圖，在摩托車越野賽途中的水平路段前方有一個坑，該坑沿摩托車前進方向的水平寬度為3h，其左邊緣a點比右邊緣b點高0.5h。若摩托車經(jīng)過a點時的動能為E1，它會落到坑內(nèi)c點，c與a的水平距離和高度差均為h；若經(jīng)過a點時的動能為E2，該摩托車恰能越過坑到達b點。eq\f(E2,E1)等于()A．20 B．18C．9.0 D．3.0解析：摩托車從a點做平拋運動到c點水平方向：h＝v1t1，豎直方向：h＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)解得v1＝eq\r(\f(gh,2))動能E1＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝eq\f(mgh,4)摩托車從a點到b點水平方向：3h＝v2t2，豎直方向：0.5h＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,2)解得v2＝3eq\r(gh)動能E2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)＝eq\f(9,2)mgh，故eq\f(E2,E1)＝18。答案：B6．(多選)如圖所示，小球A、B分別從2l和l的高度水平拋出后落地，上述過程中A、B的水平位移分別為l和2A．A和B的位移大小相等B．A的運動時間是B的2倍C．A的初速度是B的eq\f(1,2)D．A的末速度比B的大解析：由拋出點和落地點的幾何關(guān)系，可推出小球A、B的位移大小相等，A正確；平拋的豎直分運動是自由落體運動，由h＝eq\f(1,2)gt2可推出A運動的時間是B的eq\r(2)倍，B錯誤；小球A的初速度v0A＝eq\f(l,tA)＝eq\f(l,\r(\f(4l,g)))＝eq\f(1,2)eq\r(gl)，小球B的初速度v0B＝eq\f(2l,tB)＝eq\f(2l,\r(\f(2l,g)))＝eq\r(2gl)，A的初速度是B的eq\f(\r(2),4)，C錯誤；依據(jù)機械能守恒定律得eq\f(1,2)mAveq\o\al(2,A)＝eq\f(1,2)mAveq\o\al(2,0A)＋mAg·2l，eq\f(1,2)mBveq\o\al(2,B)＝eq\f(1,2)mBveq\o\al(2,0B)＋mBgl，解得vA＝eq\r(4.25gl)，vB＝eq\r(4gl)，所以vA＞vB，D正確。答案：AD考向三圓周運動問題1．基本思路(1)對物體進行受力分析，找出向心力來源，確定圓心及半徑。(2)敏捷應(yīng)用動力學(xué)方程：F＝ma＝meq\f(v2,R)＝mω2R＝mωv＝meq\f(4π2,T2)R＝4mπ2f2R。2．兩種模型(1)最高點無支撐(輕繩模型)：FN＝0，mg＝meq\f(v2,R)，v＝eq\r(gR)，即在最高點速度不能為零。(2)最高點有支持(輕桿模型)：mg＝FN，v＝0，即在最高點速度可以為零。桿對小球的彈力為零的條件是v＝eq\r(gR)，也是桿對小球是拉力還是支持力的轉(zhuǎn)折點。3．一種聯(lián)系：豎直平面內(nèi)圓周運動的最高點和最低點的速度通常利用動能定理建立聯(lián)系。[典例3](多選)由于受新冠肺炎疫情影響，中國體操隊選手沒能按安排參與2024年體操世界杯墨爾本站競賽，荷蘭名將宗德蘭德輕松奪冠。假設(shè)運動員訓(xùn)練時做“單臂大回環(huán)”的高難度動作時，用一只手抓住單杠，伸展身體，以單杠為軸做圓周運動。如圖甲所示，運動員運動到最高點時，用力傳感器測得運動員與單杠間彈力大小為F，用速度傳感器記錄他在最高點的速度大小為v，得到F-v2圖像如圖乙所示。g取10m/s2，則下列說法正確的是()A．運動員的質(zhì)量為65kgB．運動員的重心到單杠的距離為0.9mC．當(dāng)運動員在最高點的速度為4m/s時，運動員受單杠的彈力方向向上D．在完成“單臂大回環(huán)”的過程中，運動員運動到最低點時，單臂最少要承受3250N的力[解析]對運動員在最高點進行受力分析，當(dāng)速度為零時，有F－mg＝0，結(jié)合圖像解得質(zhì)量m＝65kg，選項A正確；當(dāng)F＝0時，由向心力公式可得mg＝eq\f(mv2,R)，結(jié)合圖像可解得R＝0.9m，故運動員的重心到單杠的距離為0.9m，選項B正確；當(dāng)運動員在最高點的速度為4m/s時，運動員受單杠的拉力作用，方向豎直向下，選項C錯誤；運動員經(jīng)過最低點時，單臂受力最大，由牛頓其次定律得F－mg＝meq\f(veq\o\al(2,1),R)，運動員從最高點運動到最低點的過程中，由動能定理得2mgR＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)－eq\f(1,2)mv2，當(dāng)v＝0時，F(xiàn)有最小值Fmin，故由以上兩式得Fmin＝3250N，即運動員的單臂最少要承受3250N的力，選項D正確。[答案]ABD規(guī)律總結(jié)解決圓周運動問題的主要步驟……………………(1)確定探討對象，明確運動模型，如典例中是豎直平面內(nèi)的圓周運動，運動員的胳膊既可以供應(yīng)拉力，也可以供應(yīng)支持力，可以理解為“桿模型”。(2)分析物體的運動狀況，即物體運動的線速度、角速度、周期、軌道平面、圓心、半徑等。(3)分析物體的受力狀況，畫出受力分析圖，確定向心力的來源，如典例中，單杠對運動員的彈力與其重力充當(dāng)向心力。(4)依據(jù)牛頓運動定律及向心力公式列方程。7.(多選)(2024·甘肅蘭州一中模擬)在修筑鐵路時，彎道處的外軌會略高于內(nèi)軌。如圖所示，當(dāng)火車以規(guī)定的行駛速度轉(zhuǎn)彎時，內(nèi)、外軌均不會受到輪緣的擠壓，設(shè)此時的速度大小為v，重力加速度為g，兩軌所在平面的傾角為θ，則()A．該彎道的半徑r＝eq\f(v2,gtanθ)B．當(dāng)火車質(zhì)量變更時，規(guī)定的行駛速度大小不變C．當(dāng)火車速率大于v時，內(nèi)軌將受到輪緣的擠壓D．當(dāng)火車速率大于v時，外軌將受到輪緣的擠壓解析：火車轉(zhuǎn)彎時不側(cè)向擠壓車輪輪緣，靠重力和支持力的合力供應(yīng)向心力，依據(jù)牛頓其次定律得mgtanθ＝meq\f(v2,r)，解得r＝eq\f(v2,gtanθ)，故A正確；依據(jù)牛頓其次定律得mgtanθ＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(grtanθ)，可知火車規(guī)定的行駛速度與火車質(zhì)量無關(guān)，故B正確；當(dāng)火車速率大于v時，重力和支持力的合力不足以供應(yīng)向心力，此時外軌對火車有側(cè)壓力，輪緣擠壓外軌，故C錯誤，D正確。答案：ABD8.(多選)(2024·重慶高三調(diào)研)如圖所示，用長為L的輕繩(輕繩不行伸長)連接的甲、乙兩物塊(均可視為質(zhì)點)放置在水平圓盤上，甲、乙連線的延長線過圓盤的圓心O，甲與圓心O的距離也為L，甲、乙兩物塊的質(zhì)量均為m，與圓盤間的動摩擦因數(shù)均為μ，物塊與圓盤間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，甲、乙始終相對圓盤靜止，則下列說法正確的是()A．圓盤轉(zhuǎn)動的角速度最大為eq\r(\f(3μg,2L))B．圓盤轉(zhuǎn)動的角速度最大為eq\r(\f(2μg,3L))C．輕繩最大彈力為eq\f(1,3)μmgD．輕繩最大彈力為μmg解析：當(dāng)ω較小時，甲、乙均由靜摩擦力充當(dāng)向心力，ω增大時，由F＝mω2r可知，它們受到的靜摩擦力也增大，而r甲＝L，r乙＝2L，r甲<r乙，所以乙受到的靜摩擦力先達到最大，此后ω接著增大，要保證乙不滑動，輕繩產(chǎn)生彈力并增大，甲受到的靜摩擦力接著增大，直到甲受到的靜摩擦力也達到最大，此時ω