第02講三角恒等變換

（和差公式、倍角公式、升降塞公式、輔助角公式）

（14類核心考點精講精練）

IN.考情探究

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關聯(lián)考點

三角函數(shù)的化簡、求值

2024年新I卷，第4題,5分用和、差角的余弦公式化簡、求值

同角三角函數(shù)基本關系

2024年新I卷，第13題,5分用和、差角的正切公式化簡、求值同角三角函數(shù)基本關系

用和、差角的正弦公式化簡、求值

2023年新I卷，第8題,5分三角函數(shù)求值

二倍角的余弦公式

2023年新II卷，第7題,5分半角公式、二倍角的余弦公式無

2023年新II卷,第16題,5分由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式特殊角的三角函數(shù)值

用和、差角的余弦公式化簡、求值

2022年新U卷，第6題,5分無

用和、差角的正弦公式化簡、求值

正、余弦齊次式的計算

2021年新I卷，第6題,5分二倍角的正弦公式

三角函數(shù)求值

逆用和、差角的余弦公式化簡、求值數(shù)量積的坐標表示

2021年新I卷，第10題,5分

二倍角的余弦公式坐標計算向量的模

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較中等或偏難，分值為5-11分

【備考策略】1.推導兩角差余弦公式，理解兩角差余弦公式的意義

2.能從兩角差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

3.能推導二倍角的正弦、余弦、正切公式，能運用公式解決相關的求值與化簡問題

【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會考查兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公

式變形應用和半角公式變形應用，需加強復習備考

知識點1正弦的和差公式

知識點2余弦的和差公式

知識點3正切的和差公式

知識點4正弦的倍角公式

知識點5余弦的倍角公式及升降皋公式

知識點6正切的倍角公式

核心知識點

知識點7半角公式

知識點8萬能公式

知識點9和差化積與積化和差公式

知識點10推導公式

知識點11輔助角公式

考點1正弦兩角和與差的基本應用

考點2余弦兩角和與差的基本應用

考點3正切兩角和與差的基本應用

考點4拼湊角思想在三角恒等變換中求值

考點5拼湊角思想在三角恒等變換中求角

考點6正弦倍角公式的應用

考點7余弦倍角公式的應用

核心考點考點8升嘉公式與降幕公式的應用

考點9正切倍角公式的應用

考點10半角公式的應用

考點11輔助角公式的應用

考點12萬能公式的綜合應用

考點13積化和差與和差化積公式的綜合應用

考點14三角恒等變換的綜合應用

知識講解

1.正弦的和差公式

sin(cr+6)=sinacosP+cosasin/3

sin(a—A)=sinacosP-cosasin(3

2.余弦的和差公式

cos(a+=cosacos￡一sinasinp

cos(a-/3)=cosacos〃+sinasin0

3.正切的和差公式

tan(e+0=tana+tan廣

1-tanatanp

tana-tan(3

tan(6Z-y0)

1+tanatan[3

4.正弦的倍角公式

sin2a—2sinacosa=>sinacosa--sin2a

2

5.余弦的倍角公式

cos2a=cos126Z-sin2a-(cosa+sina*cosa-sina)

升塞公式：

cos2a=1-2sin2a，cos2a=2cos2a-\

降塞公式：

.2l-cos2al+cos2a

sina---c-o--s-2--a-------------------

22

6.正切的倍角公式

2tana

tan2a=

1-tan2a

7.半角公式

a1-cosa

(Dsin-=±

2J2

a1+cosa

(2)cos-=±\---

2J2

a1-cosasina1-cosa

(3)tan-=±------------=------------=------------

2J1+cosa1+cosasina

以上稱之為半角公式，符號由0所在象限決定.

2

8.萬能公式

2tan—1-tan2—2tan—

2??

sinx=---------cosx=------------tanx=----------

1+tan2—1+tan2—1-tan2—

222

9.和差化積與積化和差公式

.?n.a+0a—f3

sm戊+sin〃=2sm-----cos-----

22

??noa+B.a—P

sma-smp=2cos----sm-----

22

cca+Ba-B

cosa+cosp=2cos----cos------

22

cosa-cosp=2sm----sm-----

22

2sinAcosB=sin(4+B)+sin(4-B)

2cosAcosB=cos(4+5)+cos(4-B)

2sinAsinB=cos(4-B)-cos(A+2)

10.推導公式

(sina+cosa)2+(sina-cosa)2=2

11.輔助角公式

y=asinx+bcosx,(a>0)=>y=+〃sin(x+0)，其中tan0=2,(一工，工)

a22

考點一、正弦兩角和與差的基本應用

典例引領

1.（福建?高考真題）sinl5Ocos75o+cosl5Osinl05。等于（）

A.0B-iC.1D.

2.(全國?高考真題)sin20°cos10°-cos160°sin10°

A--f

1

C.——

2D-i

3.（2020?全國?高考真題）已知sine+sin"+#1,則sin[e+讓)

6

nV3V2

AD.----cD.

-I3-IV

4.（2024?全國?高考真題）已知二為第一象限角，〃為第三象限角，tana+tan4=4,tanitan/?=行+1,

則sin(6f+0=

即時

1.（2024高三?全國?專題練習）sin435°=.

2.（23-24高三下?山東荷澤?階段練習）已知角。的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)

過點尸口⑹，貝|sin/q）=()

ABC.立D.1

-4-i2

3.(2024高三?全國?專題練習)化簡：sin[a+g}osa-cos[a+|Jsina=

4.(2024?河南?三模)若sin(a-/)=L且tana=2tan〃，則sin(c+￡)=()

6

V3-亞c2、1

AA.—B.—C—D—

2232

5.(2024?云南?模擬預測)若sine+sin[e+1J=彳，貝!Jsin]e+Ej=()

c-1D-T

A?三B-T

考點二、余弦兩角和與差的基本應用

典例引領

1.（高考真題）sinl63°sin223°+sin253°sin313°=（）

11D

A.-B.——cT--f

22

2.(2024?全國?高考真題)已知cos(a+/7)=加,tanatan/7=2,貝IJcos(a-0=()

c機m

A.-3mB.----C.—D.3m

33

3.(2023?全國?高考真題)已知sin(a—m=Lcosasin〃=L則cos(2a+277)=().

36

7117

A.-B.一C.—D.—

9999

即時檢測

1.（2024?山東棗莊?模擬預測）已知角a的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點

71.71,則

P\cos—,sin—cos]a-%()

I33

1-6

A.0B.-C.—D.—

22

_3sin'=j|,尸則cos(a—G)=()

2.（2024?寧夏石嘴山?二模）已知COSa二二，

33566316

A.—B.—C.—D.------

65656565

3.（2024?四川宜賓?模擬預測）若cos（a-g；+cosdz=-1,貝iJcos(a—￡)=()

aV3RV3r273n273

3333

4.(23-24高三下?江蘇揚州?開學考試)已知cos(a+￡)=§,tan^tan/?=-,則cos(2a-20=()

315c315

A.—B.一c.--D.——

819819

則3卜一智

5.（2024?全國?模擬預測）己知一,32tan=25sin26,)

A.運RV2「行D.一迪

10101010

考點三、正切兩角和與差的基本應用

遇典例引領

1.（2019?全國?高考真題）tan255°=

A.一2一gB.—2+73c.2-V3D.2+73

2.(重慶,高考真題)若tana=g,tan(a+/7)=g，則tan￡=

1155

A.—B.—C.一D.-

7676

,cosa=百，則tan[a+y

3.（2024,全國?高考真題）已知-------:—:=()

cosa-smaI4J

A.273+1B.2V3-1c.近D.1-V3

2

71

4.（2020,全國?圖考真題）已矢口2tani?-tan(9+—)=7,貝!Jtan氏()

4

A.-2B.-1C.1D.2

5.(2022?全國?高考真題)若sin(a+P)+cos(a+P)=2A/^cos(a+"sin/J,則()

A.tan(^z-/?)=lB.tan(6Z+/7)=l

C.tan(a—4)=一1D.tan(a+1)=-l

即時檢圓

1.(2024?山西呂梁?二模)已知角1的頂點在原點，始邊在x軸的正半軸上，終邊經(jīng)過點卜行」)，則

(兀、/、

tanI<7-—I=()

A.-V3B.--C.2D.V3

33

2.(2024?重慶?三模)已知cos["^—=3cos|

a+則tana=()

1

A.2B.yC.3D.-

3

3.(2024?江蘇?模擬預測)若3sina+4cosa=5,則tan(a+；卜()

11

A.-7B.7C.-D.——

77

4.(2024?福建泉州?模擬預測)已知sin(a-77)=2cos(a+/?),tan(a-/?)=；,貝!Jtana-tan/?=()

3546

A.—B.一C.-D.一

5355

5.(2024?貴州黔東南?二模)已知0<]</?<兀，且5由(。+夕)=2(305(。+/7),sinasin￡—3cosacos/7=0,則

tan(a-0=()

A.TB.一與c-4D-T

考點四、拼湊角思想在三角恒等變換中求值

典例引領

■一

1.(2024?四川?模擬預測)已知二￡[,兀]，sinf^+^j=1,則sina=()

AV3-2V6I+6V2CV3+2-\/6口65/2—1

A.-------------RD.----------

10101010

TT--^-<|3<0,cos(?+a)=Xcos貝|cos(

2.（浙江?高考真題）若0＜。＜下,

243423

=()

A.亞B.一亞C,9D.一返

3399

3.(23-24高三下?浙江金華?階段練習)已知cos(a—/7)=；,sinasin￡=-1,則cc^a—sii?/?=()

111

AB.一C.一D.-

-7368

卜黃足sin[a+|^=；

4.（22-23高一下?江西景德鎮(zhèn)?期中）已知ae(o,7i),C0

V-?6

則sin(a+2/)=()

A2V10+22廂-2

dr-2V10+2D2A/10+2

-9-999

1.(2024?河北石家莊?三模)已知角戊,/滿足tancr=；,2sin/?=cos(a+/?)sina,貝IJtan/?=()

111

A.—B.—C.—D.2

367

2.(2024?山西?三模)若sin2a=#^sin(〃-a)=,且ee，尸e7T,—,貝lJcos(a+?)=()

AV5+V2RV30_V602V5-V2

6636

已知a,￡都是銳角，cosa=；,sin（a+/7）=［字，則cos2/7的值為（）

3.（2024?重慶?模擬預測）

1；C.-3D,也

A.—B.

2222

考點五、拼湊角思想在三角恒等變換中求角

典例引領

1.（23-24高三上?貴州銅仁?階段練習）已知sine=且,sin/=晅，且々和尸均為鈍角，則a+4的值為

510

A兀C5兀5兀_p.7兀7TI

A.-B.—c-1或彳D-T

44

)=3/2!1力=_；,且1,尸€(0,萬),則2&-夕=()

2.(2024jWj二,全國?專題練習)已知tan(a-￡

3兀713%7t

A.------B.—C.—D.——

4444

TT

3.(22-23局二,全國,期末)已知0<。<4<2,cos2a+cos2Q+l=2cos(a—力)+cos(a+/7),貝ij()

c兀

A.a+/3=—B.a+J3=—

6

c兀

C./3—cc=一).p—cc=—

6

即時檢測

高三?全國?專題練習)已知f,sin/?=1^,且二它]。,]],4則二+4的值

1.(2023cosa=3

是()

3萬71口冗、5萬

A.——B.-一.~~D.—

4444

7T3兀4F)

2.(22-23[Wj二上?山東青島?期中)已知一KaW1兀，TI<P<—,sin2dz=—,cos(a+/7)=------，則〃一二二

425、?10

()

371571

A.一兀B.—一.一7CD.一

4442

-,sin(a+/?)=-^^,二￡。,[，Pe一，則二一方=

3.2024?吉林長春?模擬預測)已知cos2a=

5')1012」12」

()

71371-571_713兀

A.-B.——LTD.嚴彳

44

考點六、正弦倍角公式的應用

典例引領

1.sin15°cos15°=()

11n6

A.—B.一一1.------\,).---------

4444

2.(2024?河南.二模)已知sinx+cosx=g,貝I]cos[2x_71]J=

2

3388

A.——B.C.D.

5599

3.（2024?四川自貢?三模）己知角。滿足匕萼4=3,則sin2a=

)

sm2a

3V103回33

B.C.D.

101055

即時檢測

1.(2024?山東濟南?三模)若sina-cosa=后，貝ljtana=()

A.1B.-1C.2D.-2

tan2a

2.(2024?山東?模擬預測)已知sin2a=-1,貝！Jtan1()

A.4B.2C.—2)D.-4

考點七、余弦倍角公式的應用

典例引領

3

1.（山東?高考真題）已知cosx=—，貝Ucos2x=（）

4

111

A.—B.-C.—

448

2.（2022?北京?高考真題）已知函數(shù)/（x）=cos2%-sin'x,則（）

力上單調(diào)遞減(7171）上單調(diào)遞增

A.，(x)在.B./(x)在|

(兀7%)

C./(x)在;上單調(diào)遞減D./(x)在上單調(diào)遞增

5兀_

3.(2021?全國,|Wj考真題)cos2在"—cos2：

12~()

eD.8

A1B.2C

A.2

322

4.（全國?高考真題）函數(shù)了（xhcos%--sin4X的最小正周期是

71

A.B.兀C.2萬D.4"

2

即時檢測

2

1.（2020,全國"iWj考真題）若sinx=—,貝!jcos2x=.

3

2.（2024?北京順義?三模）已知函數(shù)了（無）=??2：-5m2：,貝。（）

A.為偶函數(shù)且周期為47rB.為奇函數(shù)且在,卞曰上有最小值

C.〃x）為偶函數(shù)且在崎］上單調(diào)遞減D./（x）為奇函數(shù)且g,oj為一個對稱中心

3.（2022?浙江"高考真題）若3sina-sin￡=+"=',貝!Jsina=,cos2^=

考點八、升嘉公式與降幕公式的應用

典例引領

1.（浙江寧波?期末）sin2-=

12

A.B.2+Gc.-1

D.-

4444

2.（2024?浙江?模擬預測）若81@11戊=3（：0$戊，則cos2a=____.

3.（2024?浙江?三模）已知c°s（g+|?卜,則cos（2"+)()

D,如

A.--B.：C.--

2222

4.2024?全國?模擬預測）已知4〃為銳角，滿足sina+si叨=乎,cos(a+〃)=_g4UsinF=

cos（a-/7）=________.

即時檢測

1.（2024?浙江紹興?二模）若sin（1^+“=g,貝iJcosQa.，（

)

2.（2024?安徽合肥?三模）已知2sina=l+2Gcosa,貝人抽,二一^^二（）

3.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測）已知sin[a+g]-Gcosa=g,貝iJsinQa-己]=

4.（2024?黑龍江?三模）已知8$（。一〃）二；5口改吊尸=；,則cos（2a+2￡）=.

（?湖南長沙?二模）已知吉卜71

5.20242cos2x+osx-cos3x=-

n4

考點九、正切倍角公式的應用

典例引領

1.（2024高三,全國?專題練習）若tan（7i-a）=g,則tan2a=.

2.（2024?安徽合肥三模）已知6?e（0,3，tan,+3=[tan（9,貝l]tan26>=.

3.（23-24高三上?廣東湛江?階段練習）已知。e（0百，且一^~~-=sin20,則tan”（

2sin，+cos3

A.y/2,—1B.y/2,+1C.y/3+1D.y/3—1

即時建

1-tan2—

1.(2024高三?全國?專題練習)-------

71

tan—

8

且sinQ+cosq=：

2.（2024?遼寧沈陽?二模）已知ae（0,兀）,貝Utan2a=()

12_1224

A.——B.D.

7c空T

已知710_正,則tan12。-：

3.（2024?全國?模擬預測）ee0,1,sin2—+—

84-210

11731

A.——B.C.—D.13

133117

考點十、半角公式的應用

典例后闞

1.(2023?全國?高考真題)已知口為銳角，cose=^^,貝何咚=().

42

A3—y/5R—1+V5r3—y/5n—1+V5

8844

1zy

2.(2024?湖南邵陽?二模)已知a為銳角，若sina=—,則cos27=()

42

“4+V15R4-V15-4-V15「岳

8844

3.（2023?浙江?二模）數(shù)學里有一種證明方法叫做尸廠。珈泌o〃Avo"s,也被稱為無字證明，是指僅用圖象而

無需文字解釋就能不證自明的數(shù)學命題，由于這種證明方法的特殊性，無字證時被認為比嚴格的數(shù)學證明

更為優(yōu)雅與有條理.如下圖，點C為半圓。上一點，CH1AB,垂足為記NCOB=6,則由

tan/BCH=-可以直接證明的三角函數(shù)公式是

esin<9

tan—=

21+cosJ

01-cos^0l+cos9

C.tan—=----------D.tan—=----------

2sin。2sin。

.即一時檢測

1.（2024?全國?模擬預測）已知角1是第二象限角，且終邊經(jīng)過點（-3,4）,貝l]tan￡=（）

D.一或2

A.3B.7C.2

cosa=g,貝"cos]a吟/

2.（2023?全國?模擬預測）已知。是銳角，)

A一一逅1V6C叵變D,也

B.—1-----

2626?"6r2~~6~

35兀八c00

3.若sin0=—,一<0<3TI,則tan—+cos—=()

222

A.3+回°VioC.3+巫3廂

B.3--------D.3-

10101010

考點十一、輔助角公式的應用

典例引領

I_________________________

1.（2024?全國,高考真題）函數(shù)〃x）=sinx-Gcosx在[0,兀]上的最大值是.

2.（2020?北京,高考真題）若函數(shù)/0）=5吊（工+夕）+85工的最大值為2,則常數(shù)。的一個取值為.

3.（全國?高考真題）設當x=d時，函數(shù)/（x）=sinx-2cosx取得最大值，貝l]cosd=.

4.（2024高三?湖北?二模）在AASC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,cosC=1,c=8,則

當。+6取得最大值時，sin/=.

即時檢圓

1.（2024?湖北?二模）函數(shù)f（x）=3cosx-4sinx,當取得最大值時，sin%-（）

4433

A.-B.一一C.-D.——

5555

2.（2024?四川南充?二模）已知函數(shù)/（x）=3sinx+4cosx.設x=6時，/（幻取得最大值.則cos[d+：j=

（）

A7V2n7V2

1010c今

3.（2024?山東?模擬預測）若函數(shù)〃x）=cos（x-0）+sin[x+mJ的最大值為2,則常數(shù)。的一個取值

為.

4.（2024?河北保定?三模）已知銳角a,P(aw/7)滿足sina+2cosa=sin3+2cos=,則sin(a+￡)的值

為（）

A3屈2V534

RC.—D.一

10555

考點十二、萬能公式的綜合應用

典例引領

tancr_2（、

1.（21-22高三上?四川成都?階段練習）已知c為銳角且二7二^=一§，貝1Jsin^a+g的值

是.

2.(2023?江蘇徐州?模擬預測)已知sin(2a-^)=g,貝［Jtan(a+?tan(a+^1)=.

1.(2022?四川眉山?模擬預測)若sin2tz=cos2a,則cos2tz的值為()

313

A.----B.—C.0D.—

525

2.(2024