第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用

考試要求：1.在實(shí)際情境中，會(huì)選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律.

2.結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境中的具體問題，利用計(jì)算工具，比較對(duì)數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)

速度的差異，理解“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實(shí)含義.

-------------必備知識(shí)落實(shí)“四基”-------------

自查自測(cè)

知識(shí)點(diǎn)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)模型性質(zhì)比較

1.判斷下列說法的正誤，正確的畫“，錯(cuò)誤的畫“義”.

⑴某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加10%出售，后因庫存積壓降價(jià)，若按九折出售，

則每件還能獲利.(X)

(2)函數(shù)丫=2工的函數(shù)值比y=r的函數(shù)值大.(X)

(3)不存在xo，使談。<X0<logaXo(a>O,aWl).(X)

(4)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y="+c(aH0,b>0,bWl)增長(zhǎng)速度越來越快的形象比

喻.(X)

x

2.已知/(x)=f,g(x)=2,/z(x)=log2x,當(dāng)xG(4,+8)時(shí)，對(duì)三個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)速度進(jìn)行

比較，下列選項(xiàng)中正確的是(B)

A.f(x)>g(x)>h(x)B.g(x)>f(x)>h(x)

C.g(x)>/z(x)>/(x)D./(x)>/i(尤)>g(x)

核心回扣

三種函數(shù)模型的性質(zhì)

函數(shù)

性質(zhì)

y=ax(a>l)y=logd(a>l)y=xn{n>0)

在(0,+8)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

增長(zhǎng)速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表現(xiàn)隨X的增大逐漸表現(xiàn)

圖象的變化隨”值變化各有不同

為與y軸平行為與X軸平行

值的比較存在一個(gè)配，當(dāng)工>沏時(shí)，有l(wèi)og/VPV爐.

注意點(diǎn)：

“直線上升”是勻速增長(zhǎng)，其增長(zhǎng)量固定不變；指數(shù)增長(zhǎng)先慢后快,其增長(zhǎng)量成倍增加，常

用“指數(shù)爆炸”來形容；對(duì)數(shù)增長(zhǎng)先快后慢,其增長(zhǎng)速度緩慢.

核心考點(diǎn)提升“四能”

考點(diǎn)一利用函數(shù)的圖象刻畫實(shí)際問題

1.（2024?泰安模擬）某工廠從2015年開始，近八年以來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前四年年產(chǎn)

量的增長(zhǎng)速度越來越慢，后四年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度保持不變，則該廠這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量y

與時(shí)間/的函數(shù)圖象可能是（）

B解析：由題意可得圖象的幾何特征為從左向右看每個(gè)點(diǎn)的切線斜率應(yīng)逐漸減小，然后斜

率變?yōu)橐粋€(gè)固定的值，符合此特征的只有選項(xiàng)B中的圖象.故選B.

2.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿折線BC-CD-DA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)

產(chǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為x,的面積為S,則函數(shù)S=/（x）的圖象是（）

D解析：依題意，知當(dāng)0WxW4時(shí)，/⑴=2無；當(dāng)4aW8時(shí)，/（尤）=8;當(dāng)8aW12時(shí)，/（x）

=24—2x.觀察四個(gè)選項(xiàng)知D項(xiàng)符合要求.

3.（2022?北京卷）在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界

直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧做出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與

T和坨尸的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是Mr.下列結(jié)論中正確的

是（）

A.當(dāng)7=220,尸=1026時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)7=270,尸=128時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)7=300,尸=9987時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)T=360,P=729時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D解析：當(dāng)7=220,尸=1026時(shí)，lgP>3,此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，故A錯(cuò)誤;

當(dāng)T=270,尸=128時(shí)，2<lgP<3,此時(shí)二氧化碳處于液態(tài)，故B錯(cuò)誤；

當(dāng)T=300,P=9987時(shí)，IgP與4非常接近，此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，故C錯(cuò)誤；

當(dāng)7=360,P=729時(shí)，2<lgP<3,此時(shí)二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.故選D.

A反思感悟

判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程相吻合的方法

(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象.

(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻

合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇符合實(shí)際情況的答案.

考點(diǎn)二已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題

1.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2000萬元,并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬元.總

收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，K(0)=4O。一《02,則總利潤(rùn)工(°)的最大值是萬

兀.

2500解析：由已知，得工(。)=風(fēng)。)-100—2000=(400—《0)—100—2000=一《(。

—300)2+2500,因?yàn)橐?V0,所以當(dāng)。=300時(shí)，L(Q)max=2500(萬元).

2.某市家庭煤氣的用氣量x(單位：n?)和煤氣費(fèi)/(x)(單位：元)滿足關(guān)系f(x)=

(C，已知某家庭2024年前三個(gè)月的煤氣費(fèi)如表：

4),x>A.

月份用氣量煤氣費(fèi)

1月4m34元

2月25m314元

3月35m319元

若4月該家庭使用了20m3的煤氣，則其煤氣費(fèi)為元.

11.5解析：根據(jù)題意，分析可得/(4)=C=4,/(25)=C+B(25—A)=14,/(35)=C+B(35

?(4,0cxW5,?

-4)=19,解得4=5,8=:C=4,所以/(x)=i,、所以420)=4+1X(20

2(4+/-5),x>5,2

-5)=11.5.

?■反思感悟

已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的解題關(guān)鍵

(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

(3)利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題，并進(jìn)行檢驗(yàn).

考點(diǎn)三構(gòu)造函數(shù)模型解決實(shí)際問題

考向1指數(shù)(對(duì)數(shù))函數(shù)模型

【例1】(2024.石家莊模擬)當(dāng)光線入射玻璃時(shí)，表現(xiàn)有反射、吸收和透射三種性質(zhì).光線透

過玻璃的性質(zhì)，稱為“透射”，以透光率表示.已知某玻璃的透光率為90%(即光線強(qiáng)度減

弱10%),若光線強(qiáng)度要減弱到原來的?以下，則至少要通過這樣的玻璃的數(shù)量是(參考數(shù)據(jù)：

1g2心0.30,1g3^0477)()

A.30塊B.31塊

C.32塊D.33塊

B解析：設(shè)原來的光線強(qiáng)度為a(a>0),則要想通過"塊這樣的玻璃之后的光線強(qiáng)度減弱到

原來的《以下，即aX(90%)"<(a,即0.9”<氐兩邊同時(shí)取以10為底的對(duì)數(shù)，得IgO.9yg5，

化簡(jiǎn)得心二=一2(1一32乜-2+2x0.30處304故至少要通過31塊這樣的玻璃，才能使光線

21g3-l21g3-l2x0.477-1

強(qiáng)度減弱到原來的(以下.故選B.

>反思感悟

指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用技巧

(I)要先學(xué)會(huì)合理選擇模型?指數(shù)函數(shù)模型是增長(zhǎng)速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型，

與增長(zhǎng)率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型.

⑵在解決指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型問題時(shí)，一般先需要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，

再借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解最值問題.

考向2二次函數(shù)、分段函數(shù)模型

【例2】民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村要振興，合作社助力鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興，農(nóng)民專業(yè)合作社已成為新型

農(nóng)業(yè)經(jīng)營(yíng)主體和現(xiàn)代農(nóng)業(yè)建設(shè)的中堅(jiān)力量，為實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略做出了巨大的貢獻(xiàn).某農(nóng)民

專業(yè)合作社為某品牌服裝進(jìn)行代加工，已知代加工該品牌服裝每年需投入固定成本30萬元，

-x2+2x,0cxW10,

每代加工X萬件該品牌的服裝，需另投入了(無)萬元，且/(尤)=表根

14x+--115,10<xW50.

IX

據(jù)市場(chǎng)行情，該農(nóng)民專業(yè)合作社為這一品牌服裝每代加工一件服裝，可獲得12元的代加工

費(fèi).

(1)求該農(nóng)民專業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工所獲年利潤(rùn)M單位：萬元)關(guān)于年代加工量

x(單位：萬件)的函數(shù)解析式.

(2)當(dāng)年代加工量為多少萬件時(shí)，該農(nóng)民專業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工費(fèi)的年利潤(rùn)最大？

并求出年利潤(rùn)的最大值.

解：⑴當(dāng)0<xW10時(shí)，y=12x—0￡+2x)—30=—*+10x—30;

當(dāng)10<xW50時(shí)，j=12x-(14x+^-115)-30=-2x-^+85.

一!E+lOx—30,0<xW10,

故-450-

~2x-.......F85,10VxW50.

IX

(2)當(dāng)0<xW10時(shí)，函數(shù)y=—*+10龍一30為開口向下的二次函數(shù)，且對(duì)稱軸為直線x=10,

所以y=-￥+10x—30在（0,10]上單調(diào)遞增，

故ymax=一；義102+10X10—30=20（萬元）.

當(dāng)10<xW50時(shí)，y=—2x—?+85=85—（2x+?）W85—2^2x—=25,

當(dāng)且僅當(dāng)2x=苦，即X=15時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)ymax=25（萬元）.

因?yàn)?0<25,所以當(dāng)年代加工量為15萬件時(shí)，該農(nóng)民專業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工所

獲年利潤(rùn)最大，最大值為25萬元.

A反思感悟

應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問題的步驟

①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇函數(shù)模型.

②建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相

應(yīng)的函數(shù)模型.

③解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.

④還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際意義的問題.

多維訓(xùn)練

???---------------------------------■

1.（2024.廣東一模）假設(shè)甲和乙剛開始的“日能力值”相同，之后甲通過學(xué)習(xí)，“日能力值”

都在前一天的基礎(chǔ)上進(jìn)步2%,而乙疏于學(xué)習(xí)，“日能力值”都在前一天的基礎(chǔ)上退步1%.

那么，大約需要經(jīng)過（）天，甲的“日能力值”是乙的20倍.（參考數(shù)據(jù)：館102-2.008

6,1g99?=1.9956,lg2?0.3010）（B）

A.23B.100

C.150D.232

2.某工廠生產(chǎn)某種零件的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一個(gè)零件要增加投入100元，已知

1

400%--X2,0Wx<400,

總收入。（單位：元）與產(chǎn)量%（單位：個(gè)）滿足函數(shù)。（X）=12

80000,x>400.

⑴將利潤(rùn)尸（單位：元）表示為產(chǎn)量x的函數(shù)（總收入=總成本+利潤(rùn)）.

⑵當(dāng)產(chǎn)量為何值時(shí)，零件的單位利潤(rùn)最大？最大單位利潤(rùn)是多少元（單位利潤(rùn)=利潤(rùn):產(chǎn)量）?

解：（1）當(dāng)0WxW400時(shí)，P（x）=400x-^-20000-100%=-^+300^-20000;

當(dāng)x>400時(shí)，P（x）=80000-100x-20000=60000-100x.

-ix2+300x-20000,0WxW400,

故P（x）=[2

60000—lOOx,x>400.

（一.一出四+300,0<x<400,

（2）設(shè)零件的單位利潤(rùn)為g@）,由（1）可得g（x）={60短）'

-------100,x>400.

當(dāng)0WxW400時(shí)，g（x）=300—《x+等）W300—2.等=100,

當(dāng)且僅當(dāng)工=出絲，即x=200時(shí)，等號(hào)成立；

2x

當(dāng)x>400時(shí)，g（x）=絲詈-100<50.

故當(dāng)產(chǎn)量為200個(gè)時(shí)，零件的單位利潤(rùn)最大，最大單位利潤(rùn)是100元.

課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)（十四）

。考點(diǎn)鞏固

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------C

1.（2024.棗莊模擬）某種動(dòng)物繁殖量y（單位：只）與時(shí)間x（單位：年）的關(guān)系為〉=41（電3@+1）,

設(shè)這種動(dòng)物第2年有100只，到第8年它們將發(fā)展到（）

A.200只B.300只

C.400只D.500只

A解析：由題意，繁殖量y與時(shí)間尤的關(guān)系為y=alog3（x+l）.又這種動(dòng)物第2年有100

只，即當(dāng)x=2時(shí)，>=100,所以100=alog3（2+l）,解得。=100,故y=1001og3（尤+1）.所

以當(dāng)x=8時(shí)，y=100Xlog3（8+l）=100X2=200.故選A.

2.如圖所示，液體從一個(gè)圓錐形漏斗漏入一個(gè)圓柱形桶中，開始時(shí)漏斗中盛滿液體，經(jīng)過

3秒漏完，圓柱形桶中液面上升速度是一個(gè)常量，則漏斗中液面下降的高度H與下降時(shí)間r

之間的函數(shù)關(guān)系的圖象只可能是（）

B解析：由于所給的圓錐形漏斗上口徑大于下口徑，當(dāng)時(shí)間取夕時(shí)，漏斗中液面下降的高

度不會(huì)達(dá)到漏斗高度的;，對(duì)比四個(gè)選項(xiàng)的圖象可得結(jié)果.故選B.

3.《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過5000元的部分

不必納稅，超過5000元的部分為全月應(yīng)納稅所得額，此項(xiàng)稅款按下表分段累計(jì)計(jì)算：

全月應(yīng)納稅所得額稅率

不超過3000元的部分3%

超過3000元至12000元的部分10%

超過12000元至25000元的部分20%

有一職工八月份收入20000元，該職工八月份應(yīng)繳納個(gè)稅為（）

A.2000元B.1500元

C.990元D.1590元

D解析：由題意，職工八月份收入為20000元，其中納稅部分為20000—5000=15000（元），

其中不超過3000元的部分，納稅額為3000X3%=90（元），超過3000元至12000元的部

分，納稅額為9000義10%=900（元），超過12000元至25000元的部分，納稅額為3000X20%

=600（元），所以該職工八月份應(yīng)繳納個(gè)稅為90+900+600=1590（元）.故選D.

4.（新情境）北京時(shí)間2023年10月26日，神舟十七號(hào)載人飛船發(fā)射取得圓滿成功.神舟十

七號(hào)是我國(guó)載人航天工程進(jìn)入空間站應(yīng)用與發(fā)展階段的第二次載人飛行任務(wù).載人飛船進(jìn)入

太空需要搭載運(yùn)載火箭，火箭在發(fā)射時(shí)會(huì)產(chǎn)生巨大的噪聲，用聲壓級(jí)來度量聲音的強(qiáng)弱，定

義聲壓級(jí)4=20Xlg乙，其中大于0的常數(shù)po是聽覺下限閾值，p是實(shí)際聲壓.聲壓級(jí)的單

P0

位為分貝32）,聲壓的單位為帕（Rz）.若人正常說話的聲壓約為0.02尸歷且火箭發(fā)射時(shí)的聲

壓級(jí)比人正常說話時(shí)的聲壓級(jí)約大100匹，則火箭發(fā)射時(shí)的聲壓約為（）

A.2PaB.20Pa

C.200PtzD.2000Pa

D解析：設(shè)人正常說話時(shí)的聲壓級(jí)為￡“，火箭發(fā)射時(shí)的聲壓級(jí)為乙，則乙-乙=100.又人

正常說話的聲壓pi=0.02Rz,火箭發(fā)射時(shí)的聲壓為p2,于是G=20xlg—,L}=20Xlg^,

120P2Po

兩式相減得20（館及一30.02）=100,解得p2=2000,所以火箭發(fā)射時(shí)的聲壓約為2000R?.

故選D.

5.某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來的發(fā)展機(jī)遇，開發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)品，該產(chǎn)品每年的

固定成本是25萬元，每生產(chǎn)x萬件該產(chǎn)品，需另投入成本co（x）萬元，C9（x）=

x2+10x,0<xW40,

10000..若該公司一年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品全部售完，每件的售價(jià)為70元，則

7\x-\..........-945,x>40.

該企業(yè)每年利潤(rùn)的最大值為（）

A.720萬元B.800萬元

C.875萬元D.900萬元

（70x-（x2+10x+25）,0<xW40,

C解析：由題意，設(shè)該企業(yè)每年利潤(rùn)為了（無）=Z000\當(dāng)

70x-（7lx10+-945+25）,x>40.

0<xW40時(shí)，/（x）=—r+GOx—25=—（x—30尸+875,在x=30時(shí)，/（x）取得最大值875;當(dāng)

尤>40時(shí)，/（x）=920—（x+呼，W920—2Jx?竺詈=720（當(dāng)且僅當(dāng)x=100時(shí)等號(hào)成立）,即在

尤=100時(shí),/（x）取得最大值720.因?yàn)?75>720,所以該企業(yè)每年利潤(rùn)的最大值為875萬元.故

選C.

6.如圖所示，學(xué)校要建造一面靠墻（墻足夠長(zhǎng)）的2個(gè)面積相同的矩形花圃，如果可供建造

圍墻的材料總長(zhǎng)是60要所建造的每個(gè)花圃的面積最大，則寬x應(yīng)為m.

X

10解析：設(shè)每個(gè)花圃的面積為y,則產(chǎn)x?絲9=一I￡+30x=-|（X-10）2+150（0<X<20）,

所以當(dāng)x=10時(shí)，y最大.

。高考培優(yōu)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------C

7.（2024?深圳模擬）某生物研究所于元旦在實(shí)驗(yàn)水域中放入一些鳳眼蓮，這些鳳眼蓮在水中

的蔓延速度越來越快，二月底測(cè)得鳳眼蓮覆蓋面積為24根2,三月底測(cè)得鳳眼蓮覆蓋面積為

36加2,鳳眼蓮覆蓋面積y（單位：療）與月份》的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型>=阮”左>0,”>1）與y

1

=px2+q（p>0f4>0）可供選擇.

⑴試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；

⑵求鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入面積10倍以上的最小月份.（參考數(shù)據(jù)：1g2處0.3010,1g

3七0.4771）

1

解：⑴函數(shù)y=fa/（fc>0,〃>1）與y=px，+如>0,9>0）在（0,+8）上都是單調(diào)遞增的，

隨著x的增加，函數(shù)>=%戶（左>0,。>1）的值增長(zhǎng)的越來越快，

1

而函數(shù)y=px2-\-q的值增長(zhǎng)的越來越慢，

由于鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，因此選擇模型y