第02講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（分層精練）

A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）

A夯實基礎(chǔ)

一、單選題

1.（23-24高一下廣東深圳?階段練習(xí)）若向量M=（l,2）,B=（2,-x）方//B,則％=（）

A.1B.-1C.-4D.4

（23-24高一下?安徽合肥?階段練習(xí)）已知麗=g超，用赤，礪表示而，則而等于

2.

1—.3—?

B.-OA+-OB

3344

1—.4-?

C.——OA+-OBD.--OA--OB

3333

3.（2024?四川廣安?二模）已知。，E分別為AABC的邊A3,AC的中點，若DE=（3,4）,

B（-2,-3）,則點C的坐標(biāo)為（）

A.(4,5)B.(1,1)C.(-5,-7)D.(-8,-11)

4.（23-24高一下?山東棗莊?階段練習(xí)）若向量￡=（2,1）1=（2,2）,則。-=（）

A.(0,-1)B.(—2,—1)C.(-2,-3)D.(6,3)

5.（23-24高一下?江蘇南通?階段練習(xí)）在銳角AABC中，AD為5c邊上的高，tanC=2tanB,

AD=xAB+yACf則％一丁的值為()

111

A.——BC.——D.-

2-433

6.（23-24高一下?山東?階段練習(xí)）在YABCD中，G為"3。的重心，滿足

AG=xAB+yAD^x,eR),則x-2y=()

45

A.-B.一C.0D.-1

33

7.（2024?福建漳州?模擬預(yù)測）在AABC中，。是邊上一點，且比）=2DC,石是AC的中

點，記AC=^n,AD=〃，貝（］屁=（）

J——?/―—?

A.-n-3mB.-n-3mC.-m-3nD.—m-3n

222

⑴用石分別表示向量而，BF；

(2)求證:3,E,尸三點共線.

14.(23-24高一下?天津靜海?階段練習(xí))已知向量2=(-1,3),5=(1,2).

⑴求悔一目的值；

⑵求及向量Z在向量入上的投影向量的坐標(biāo)；

(3)^AB=2a-b,BC=a+mb,且A、B、C三點共線，求機(jī)的值.

15.(23-24高一下?遼寧撫順?開學(xué)考試)在第六章平面向量初步中我們學(xué)習(xí)了向量的加法、

減法和數(shù)乘向量三種運(yùn)算，以及由它們組合成的線性運(yùn)算.那向量乘法該怎樣運(yùn)算呢？數(shù)學(xué)

中向量的乘法有兩種：數(shù)量積和矢量積.這些我們還都沒學(xué)到.現(xiàn)在我們重新定義一種向量的

乘法運(yùn)算：若。=(菁,％),1=(%,%)，則。③石=(芯,%)?(尤2，%)=(尤述2-%%，%為+%%).請

按這種運(yùn)算，解答如下兩道題.

⑴已知a=(1,2),b=(2,3),求

⑵已知a=(1,2),a?b=(6,5),求B.

B能力提升

L（2024?四川宜賓?二模）已知向量@=（1,2）萬=（3,1）,向量N滿足」，汗,a//（c+b）,則"

（）

A.（-2,-1）B.（2,-1）C.（-2,1）D.（2,1）

2.（23-24高一下?重慶萬州?階段練習(xí)）在三角形ABC中，點。是在邊上且亞=3麗,AC

邊上存在點E滿足麗=2區(qū)（2>0）,直線。和直線BE交于點若定=〃DF（〃>0）,

則物的值為（）

3.（22-23高三上?全國?階段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，屁=2應(yīng)5，AF=AC+2AB,若

%

EF=2AB+//AD（2,//eR）,貝ij—=（）

A.1B.2C.4D.8

4.（2024?云南紅河?二模）如圖，在棱長均相等的斜三棱柱ABC-A4G中，

NAA8=/AAC=m，加=九百，CN=jnCC{,若存在幾w（0,l）,〃e（0,l）,使說.就=0

成立，則X+〃的最小值為.

W

'C

A

B

5.(23-24高一下?遼寧撫順?階段練習(xí))如圖，正方形ABCD中，E、b分別為線段AB、BC

上的點，滿足AEuW,連接DEAF交于點G.

(1)求證：DEYAF；

UL1ULUUULILIUI//

⑵設(shè)AE=x,AB=l,DG=ADA+林DF，求今的最大值和的最大值.

/I

C綜合素養(yǎng)(新定義解答題)

1.(22-23高一下?北京,期中)對平面向量2=(尤,y),定義M(Z)=|x|+|y|.

⑴設(shè)8=(3,-2),求/(￡)；

⑵設(shè)A(0,2),B(2,0),C(4,l),0(5,3),E(6,2),點P(x,y)是平面內(nèi)的動點，其中是

整數(shù).

(回)記加(西)，M(PB),M(PC),M(PD),M(瓶)的最大值為，(尸)，直接寫出“尸)的

最小值及當(dāng)KB取最小值時，點P的坐標(biāo).

(回)記5(F)=M(PA)+M(PB)+M(PC)+M(PD)+M(PE).求s(P)的最小值及相應(yīng)的點P的

坐標(biāo).

第02講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（分層精練）

A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）

A夯實基礎(chǔ)

一、單選題

1.（23-24高一下?廣東深圳?階段練習(xí)）若向量商=（1,2）石=（2,-何萬/不，則-=（）

A.1B.-1C.-4D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量的坐標(biāo)表示求解即得.

【詳解】向量苕=（1,2）,方=（2,-尤），萬/店,所以一x=4,即x=-4.

故選：C

2.（23-24高一下?安徽合肥?階段練習(xí)）已知麗=g麗，用礪，礪表示而，則無等于

1—.3—?

B.-OA+-OB

3344

1.4.1—.4—?

C.——OA+-OBD.——OA——OB

3333

【答案】C

【分析】根據(jù)向量減法，將正濕用麗，麗，礪表示，然后整理可得.

—?4-

【詳解】因為AP=]AB,

所以加_函=：（礪一正），整理得而=_；況+[礪.

故選：C

3.（2024?四川廣安?二模）已知。，E分別為44BC的邊AB,AC的中點，若瓦=（3,4）,

5（-2,-3）,則點C的坐標(biāo)為（）

A.（4,5）B.(1,1)C.(-5,-7)D.(-8,-11)

【答案】A

【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算，向量坐標(biāo)與終點、始點的關(guān)系可解.

【詳解】因為。，E分別為AB,AC的中點，

所以反=2反=（6,8）,

設(shè)C（x,y）,又見—2,-3）,所以（x+2,y+3）=（6,8）

4.（23-24高一下?山東棗莊?階段練習(xí)）若向量￡=（2,1）,5=（2,2）,則（）

A.（0,-1）B.（-2,-1）C.（-2,-3）D.（6,3）

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的運(yùn)算法則，即可求解.

【詳解】由向量2=（2,1）7=（2,2）,可得Z-2石=（-2,-3）.

故選：C.

5.（23-24高一下?江蘇南通?階段練習(xí)）在銳角AABC中，AD為5c邊上的高，tanC=2tanB,

AD=xAB+yAC,貝?。?一丁的值為（）

1111

A.——B.-C.——D.-

2233

【答案】C

.1.__.

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)及tanC=2tanB得到B￡>=2￡）C,即可得到CD=§C3,再由平

面向量線性運(yùn)算法則及平面向量基本定理求出九、丁，即可得解.

【詳解】如圖在銳角中，AD為5C邊上的高，

所以tanC=^^,tanB=,又tanC=2tan5,

DCBD

所以g=2xg,所以3D=2OC,則無=：函，

DCBL）3

所以詬=庶+力=*+3^=衣+!（通_碼=：彩+;破

__,,3121

XAD=xAB+yAC,所以《0,所以無一y=可_鼻=-1.

乙DDN

故選：C

6.（23-24高一下?山東?階段練習(xí)）在YABCD中，G為AABC的重心，滿足

AG=xAB+yAD（x,yGR）,則無-2y=（）

45

A.—B.—C.0D.—1

33

【答案】c

【分析】由題意作圖，根據(jù)重心的幾何性質(zhì)，得到線段的比例關(guān)系，利用平面向量的運(yùn)算,

可得答案.

【詳解】設(shè)AC,3。相交于點。，G為AABC的重心，

AG=AO+dG=AO+|oB=AO+1DB=1（AB+AD）+1（AB-AD）

2―?1—.

^-AB+-AD,

33

21

所以

22

所以％_2>=§_§=0.

故選：C.

7.（2024?福建漳州?模擬預(yù)測）在AABC中，。是邊上一點，且9=2。。,石是AC的中

點，記AC=m,AD=〃，則BE=（）

5-一7--5—一

A.-n-3mB.-n-3mC.-m-3nD.一m-3n

3222

【答案】D

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可.

【詳解】BE=AE-AB=^AC-(AC+CB)

5―-~~-5

=-AC-3AD=-m-3n,

22

故選：D.

8.（23-24高一下?重慶渝中?階段練習(xí)）鍵線式可以直觀地描述有機(jī)物的結(jié)構(gòu)，在有機(jī)化學(xué)

中廣泛使用.有機(jī)物"蔡"可以用下左圖所示的鍵線式表示，其結(jié)構(gòu)簡式可以抽象為下右圖所

示的圖形.已知〃與CDEFGH為全等的正六邊形.若點尸為右邊正六邊形CDEFG”

的邊界（包括頂點）上的動點，且向量衣=則實數(shù)2+”的取值范圍為（）

D.[-L2]

【答案】C

【分析】由"等和線定理"結(jié)合圖形分析得解.

【詳解】

UUUULHJUUU1

由平面向量共線定理可得，AO=xAC+yAJ,x,yeR,則0,C,J三點共線的充要條件是

x+y=l.

下面先證明"等和線定理”，

uumUULIuuiuuuuUUM

如圖，設(shè)AP=)tAO,AP=AAC+juAJ,

UUU.LILUJUUU

因為O,C,J三點共線，所以存在x,yeR,使得A。=xAC+yA/.

AP=kAO=k^xAC+yAJ）=kxAC+kyAJ,

:.A=kx,ju=ky,貝!|彳+〃=Zr（x+y）=左.

由"等和線定理"結(jié)合圖形可知：當(dāng)點尸在C。上時，易得2+〃=1,

當(dāng)點尸在DE上時,易得14X+〃V2,

當(dāng)點P在E1尸上時,易得24九+〃43,

當(dāng)點P在尸G上時，易得2+〃=3,

當(dāng)點P在G”上時,易得242+〃43,

當(dāng)點P在8上時,易得1。+〃42,

綜上，可得14幾+“43.

故選：C.

二、多選題

9.（23-24高一下?江蘇南通?階段練習(xí)）已知向量I，1不共線，且次=2相'+

OB=-2q+3e2，OC=q+Ae2,若A,B,C三點共線，則實數(shù)4的值為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】AC

【分析】首先表示出現(xiàn)、AC，依題意可得◎〃屁，根據(jù)平面向量共線定理得到須=tAC，

從而得到關(guān)于4、f的方程組，解得即可.

【詳解】因為麗=24]+￡，OB=-2^+3e^,OC^+Xe1,

以AB=OB—OA=-2q+3e,-（2力6+e。）=（—2—2彳）6+2e,,

AC=OC—OA=q+4%-（2彳6+e2j=（l—22）ex+（2-l）e2,

又向量冢，瑟不共線，A,B,C三點共線，

所以技〃隴，則荏=/z，即（-2-2/1），+2耳=/[（1-2力）冢+（幾-1）回,

-2-22=Z（l-2A）

所以，解得

2=/（2-1）

故選：AC

10.（23-24高二上?廣東東莞?階段練習(xí)）若4（0,13）,3（2,5⑹,C（6,療）三點共線，則機(jī)的值

為（）

A.-2B.-13C.2D.13

【答案】CD

【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示計算即可.

【詳解】由題意可知荏=（2,5根-13）,記=（6,/-13）,

因為A、B、C三點共線，則宓工共線，

___?___?16=2/1

不妨設(shè)AC=XABn,^=2=3，

Im-1137=zpm-13J

貝!1nr—15%+26=0n根=2或13.

故選：CD

三、填空題

11.（23-24高一下?福建莆田?階段練習(xí)）在三角形ABC中，。是8C上靠近點C的三等分點,

E為中點，若赤=x荏+y/，貝ljx=.

【答案】

6

【分析】根據(jù)向量基本定理得到答案.

—■1—■1—.1—.1—.

【詳解】因為E為A。中點，所以2石=324+52。=-5A臺+不臺。,

因為。是3C上靠近點。的三等分點，所以而=§配=亞，

22133J63

故答案為：-之

0

12.（23-24高一下?天津濱海新?階段練習(xí)）已知：點A（-l,-l）和向量日=（2,3）,若福=3商,

則點B的坐標(biāo)是.

【答案】（5,8）

【分析】設(shè)B（x,y）,利用向量共線的關(guān)系，列出方程求解即可.

【詳解】設(shè)*x,y）,則:W=（x+I,y+I）=31=3（2,3）=（6,9）,

所以x+l=6,y+l=9,解得：尤=5,y=8.

所以點8的坐標(biāo)是(5,8).

故答案為：(5,8).

四、解答題

13.(23-24高一下?遼寧撫順?開學(xué)考試)如圖，在AABC中，D,P分別是BC,AC的中點,

2

=—AD,AB=a,AC=b-

⑴用癡分別表示向量而，帝；

⑵求證:5,E,尸三點共線.

【答案](1)覆=；0+1)，BF=-a+^b-

⑵證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，結(jié)合幾何圖形用基底表示向量即得.

(2)由(1)的信息，利用共線向量的定理推理即可.

【詳解】(1)在AABC中，由。是BC的中點，AD=—(AB+AC)=—(a+b),

2,2__.2]__]__

而AE=—AD,于是AE=—AD=—x—(a+b)=-(a+b)

33323

又歹是AC的中點，所以而=麗+/=-礪+,/=-￡+1尻

22

.1,1___.1,1__.1—.2___.

(2)由(1)知，AE=-AB+-AC^-AB+-x2AF^-AB+-AF,因止匕麗=2麗,

333333

即屜〃彷，而座,ER有公共點E,所以8,E,尸三點共線.

14.(23-24高一下?天津靜海?階段練習(xí))已知向量2=(-1,3),5=(1,2).

⑴求恢一目的值;

(2)求￡石及向量Z在向量加上的投影向量的坐標(biāo)；

(3)^AB=2a-b,BC=a+mb,且A、B、C三點共線，求，W的值.

【答案】(1)5

(2)a=(-1,3),后=(1,2),(1,2)

⑶-;

【分析】（1）首先求出2%-石的坐標(biāo)，再由坐標(biāo)法求出向量的模;

（2）由坐標(biāo)法求出7方、回，再根據(jù)投影向量的定義計算可得;

（3）首先求出而、衣的坐標(biāo)，依題意荏〃耳心，根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示得到方程,

解得即可.

【詳解】（1）赤=（一1,3）,5=（1,2）,

回2々=2(-1,3)-(1,2)=(-3,4),

回悔-q=J9+16=5；

(2)?.?2=(-1,3),5=(1,2),

回=-lxl+3x2=5，忖=Jl~+2-=??；

a-bb5（1,2）.

向量Z在向量行上的投影向量為WW=71X「|M1，2）.

（3）;A、B、C三點共線

AB//BC，

?.-AB=2a-^=2(-1,3)-(1,2)=(-3,4),

BC=a+mb=(―1,3)+2)=(jn—1,2〃z+3),

-3(2m+3)=4(m-l),：,m=~—

15.（23-24高一下?遼寧撫順?開學(xué)考試）在第六章平面向量初步中我們學(xué)習(xí)了向量的加法、

減法和數(shù)乘向量三種運(yùn)算，以及由它們組合成的線性運(yùn)算.那向量乘法該怎樣運(yùn)算呢？數(shù)學(xué)

中向量的乘法有兩種：數(shù)量積和矢量積.這些我們還都沒學(xué)到.現(xiàn)在我們重新定義一種向量的

乘法運(yùn)算：若2=（芭,％）,b={x2,y2）,貝!石=（和％）?（々,%）=（石尤2—%小/%+*2%）.請

按這種運(yùn)算，解答如下兩道題.

(1)已知a=(1,2),3=(2,3),求a③

(2)已知。=(1,2),a?b=(6,5),求

【答案】⑴（-4,7）

(2)r6=f!匚16，-二7

【分析】（1）直接利用新定義計算即可;

（2）設(shè)B=（x,y）,利用新定義計算，列方程組求解.

【詳解】(1)因為2=(1,2),B=(2,3),a?b=(^,?(x2,y2)=(xix2-yly29xiy2+x2y^),

所以￡區(qū)B=(lx2-2x3,lx3+2x2)=(T,7)；

(2)設(shè),

因為Q=(1,2),a?b=(xp^)?(x2,y2)=(^x2-乂%，芯%+W%)，

所以石=(九一2y,2x+y),

因為￡(8)石=(6,5),所以(x—2y,2x+y)=(6,5),

B能力提升

L（2024?四川宜賓?二模）已知向量訝=（1,2）,5=（3,1）,向量己滿足E_L萬，a//（c+5）,則-

()

A.（-2,-1）B.（2,-1）C.（-2,1）D.（2,1）

【答案】C

【分析】設(shè)出^=（不丁），根據(jù)題意利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算列式運(yùn)算求解.

【詳解】設(shè)1=(x,y),則“石=(x+3,y+l),

由"J_￡，得尤+2y=0,

又打〃卜+方），得y+l-2（x+3）=0,即y=2x+5,

%+2y=0x——2

聯(lián)立,解得

y=2x+5y=i

?.1=(-2,1).

故選：C.

2.（23-24高一下?重慶萬州?階段練習(xí)）在三角形ABC中，點。是在AB邊上且布=3項,AC

邊上存在點E滿足麗=幾段（X>0）,直線CD和直線仍交于點尸，若定=〃方政〃>0）,

則初的值為（）

【答案】C

【分析】

將麗和而都用麗和阮表示出來，然后利用麗=加定列式計算即可.

【詳解】由題意，EA=ACE(A>0),

1____1____1__1

貝|」而=前+醞=前+——CA^BC+——(BA-BC\^——BA+——BC,

1+21+4')1+41+4

同理可得.BF=-^—BC+-^—BD=-^—BC+—^—BA

問理出付.]+〃[+〃i+〃4(1+〃)，

因為直線8和直線酩交于點尸,

所以存在機(jī)使旃=根詼=心-麗+皿-前,

1+21+2

mA1

1+4力3小±，日1+丸14(1+//)

兩式作商得--X——=--X△-△

1+2m1+〃〃

1+24(1+〃)

解得彳〃=4.

故選：C.

3.(22-23高三上?全國?階段練習(xí))在平行四邊形A3CD中，BE^2ED>AF=AC+2AB,若

，則:()

A.1B.2C.4D.8

【答案】D

Q__1_

【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算可得彷=:濕+§而，從而得解.

【詳解】AF=AC+2AB=AB+AD+2AB=3AB+ADf

?「^E=~AB+^E=^B+iE15=AB+2(AD-AE)f

.2?1?

1.AE=-AD+-AB

339

21o1_

EF=AF-AE=3AB+AD——AD——AB=-AB+-AD,

3333

EF=AAB+juAD,

./=g,〃=L；，=8.

33〃

故選：D.

4.(2024?云南紅河?二模)如圖，在棱長均相等的斜三棱柱ABC-A4G中,

Z\AB=Z\AC=^BM=>CN=/LICCX,若存在4e(0,l),〃e(0,l),^AM-BN=0

成立，則X+〃的最小值為.

【答案】⑴證明見解析

⑵片的最大值為1:幾"的最大值為:

【分析】（］）建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量證明垂直關(guān)系；

（2）根據(jù)三點共線可得幾+〃=1,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得〃=三〃=三變，進(jìn)而

l+x1+X

結(jié)合基本不等式求最值.

【詳解】（1）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，

則4（0,1）,3（1,1）,01,0）,。（0,0）,現(xiàn)蒼1）,尸（1,1尸》）,

可得讀=(x,l),衣=(1,一力，

「、,UUIUULUUULUUUU1U?,

因為￡>E-AP=x-x=O，可知。E_LAF，所以￡>E_LAF.

L1LU1LILIUULIU1

(2)因為A,G,尸三點共線，ADG=ADA+/JDF，可知4>0,〃20,/1+〃=1,

由(1)可知次=(0,1),麗=(1,1—x),詼=(x,l),

則DG=ADA+〃/)尸=+=(〃,1-〃x),

UUllUUIU9

又因為OG//OE，貝IJ4=x—4X，

——X+1

可得〃=:"=1-〃=

1+x2

X

?,U1+Y2X

則萬=廠a=77商[，

l+x2

若％=0,則4=0；

7V

NX1/1

——=-------------=-------------S----------------

若xe(O,l],貝|J2x2-x+lrr

尤r'x~

當(dāng)且僅當(dāng)苫=工，即X=1時，等號成立；

X

綜上所述：一的最大值為工；

/I

又因為（'了）2=；，

當(dāng)且僅當(dāng)4=〃=，即X=1時，等號成立；

所以加的最大值為!.

4

C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）

L（22-23高一下?北京■期中）對平面向量8=（尤,y）,定義〃位）=|x|+1y|.

⑴設(shè)2=（3,-2）,求