課題等差數(shù)列求和學習內(nèi)容與過程引入數(shù)列中，稱為數(shù)列的前n項和，記為.與之間的關(guān)系：由的定義可知，當n=1時，=；當n≥2時，=-，即=知識點1.等差數(shù)列的前項和公式（1）證明：①②①+②：∵∴由此得：（2）用上述公式要求必須具備三個條件：但代入公式1即得：此公式要求必須已知三個條件：（有時比較有用）總之：兩個公式都表明要求必須已知中三個（3）兩個公式的選擇：若已知首項及末項用公式較簡便；若已知首項及公差d用公式較好；（4）在運用時，注意性質(zhì)“m+n=p+q(m,n,p,q∈N)”的運用；例1一個等差數(shù)列前4項的和是24，前5項的和與前2項的和的差是27，求這個等差數(shù)列的通項公式.分析：將已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，然后再解.解：根據(jù)題意，得=24,－=27，則設等差數(shù)列首項為,公差為d,則解之得：∴=3+2（n－1）=2n+1.變式1：已知等差數(shù)列的前5項之和為25，第8項等于15，求第21項；等差數(shù)列-16，-12，-8，...，前幾項的和為72？變式2：在等差數(shù)列中，（1）已知；（2）已知變式3：已知數(shù)列的前n項和，求數(shù)列的通項公式2.等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)（1）在等差數(shù)列中，連續(xù)m項的和仍組成等差數(shù)列，即，,，...仍為等差數(shù)列（2）根據(jù)，知，當d≠0，是一個常數(shù)項為零的二次式因此可設（3）在等差數(shù)列中：，...，也成等差數(shù)列，公差為若若若項數(shù)為2n，則（為中間兩項），若項數(shù)為2n-1，則，若數(shù)列與均為等差數(shù)列，且前n項和分別是，，則（證明：）例2在等差數(shù)列中，變式1：已知非常數(shù)等差數(shù)列{}的前n項和滿足(n∈N,m∈R),求數(shù)列{}的前n項和.解：由題設知，＝lg()＝lgm＋nlg3＋lg2,即＝[]n＋(lg3＋)n＋lgm,∵{}是非常數(shù)等差數(shù)列，當d≠0，是一個常數(shù)項為零的二次式∴≠0且lgm＝0,∴m＝－1,∴＝(－lg2)n＋(lg3－lg2)n,則當n=1時，＝當n≥2時,＝－＝(－lg2)(2n－1)＋(lg3－lg2)＝∴＝，d====數(shù)列{}是以=為首項,5d=為公差的等差數(shù)列，∴數(shù)列{}的前n項和為n·()＋n(n－1)·()＝例3涉及一個有限的等差數(shù)列的奇數(shù)項和與偶數(shù)項和之比問題，一般宜用性質(zhì)來求解一個等差數(shù)列的前12項和為354，前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為32:27，求公差d.解：設這個數(shù)列的首項為,公差為d，則偶數(shù)項與奇數(shù)項分別都是公差為2d的等差數(shù)列，由已知得,解得d＝5.解法2：設偶數(shù)項和與奇數(shù)項和分別為S偶，S奇，則由已知得,求得S偶＝192，S奇＝162，S偶－S奇＝6d,∴d＝5.變式1：項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為例4涉及兩個等差數(shù)列前n項和之比問題，一般是利用公式將它轉(zhuǎn)化為兩項和之比的問題，再利用函數(shù)思想來解決問題兩個等差數(shù)列，它們的前n項和之比為,求這兩個數(shù)列的第九項的比解：.變式：已知等差數(shù)列{}、的前n項和分別為和，若，求3.等差數(shù)列前n項和公式與二次函數(shù)區(qū)別聯(lián)系定義域為圖像是一系列孤立的點解析式都是二次式定義域為R圖像是一條光滑的拋物線（1）設，利用二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)及圖像可求其最值，但并不一定是時，有最大值（或最小值），而是當時，；而當時，n取與最接近的正整數(shù)即可（2），即，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，時，有最小值；時，有最大值（3），時，有最大值；，時，有最小值；最值的求法：①若已知，可用二次函數(shù)最值的求法（）；②若已知，則最值時的值（）可如下確定或例5在等差數(shù)列中，，求的最大值變式1在等差數(shù)列中，，則取最大時，n=變式2等差數(shù)列的前n項和為，公差，若存在正整數(shù)m（），使得，則當時，有鞏固練習1．{an}是首項a1＝1，公差為d＝3的等差數(shù)列，如果an＝2005，則序號n等于．2．等差數(shù)列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n項和Sn=100，則n=．變式：等差數(shù)列{an}中如果a6=6，a9=9，那么a3=．3．數(shù)列的通項，則其前項和．4．設Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且Sn=n2，則{an}是（）A.等比數(shù)列B.等差數(shù)列C.等差數(shù)列且等比數(shù)列 D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列5．等差數(shù)列{an}中，S15=90，則a8=()(A)3(B)4(C)6(D)12變式：等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，求a2+a8=()(A)45(B)75(C)180(D)3006．數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若（）（A）12 （B）18 （C）24 （D）42變式：等差數(shù)列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為()(A)130(B)170(C)210(D)1607．在項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列中，若所有奇數(shù)項的和為165，所有偶數(shù)項的和為150，則n等于(A)9(B)10(C)11(D)12變式：等差數(shù)列{an}的公差為，且S100=145，則奇數(shù)項的和a1+a3+a5+……+a99=()(A)60(B)80(C)72.5(D)其它的值8.已知一個等差數(shù)列的前5項的和是120，最后5項的和是180，所有項的和為360，此數(shù)列的項數(shù)為A．12項 B．13項 C．14項 D．15項9．若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項a1＞0，a2003＋a2004＞0，a2003·a2004＜0，則使前n項和Sn＞0成立的最大自然數(shù)n是10．若兩個等差數(shù)列則A． B． C． D．11.數(shù)列通項公式為an＝n2－5n＋4，問（1）數(shù)列中有多少項是負數(shù)？（2）n為何值時，an有最小值？并求出最小值.12.設等差數(shù)列{}的前n項和為，已知＝12，>0，<0，(1)求公差d的取值范圍；(2)指出,,,……,中哪一個最大，說明理由解：(1),∵＝＋2d＝12,代入得,∴－<d<－3,(2)＝13<0,∴<0,由＝6(＋)>0,∴＋>0,∴>0,最大.課后作業(yè)1.在等差數(shù)列中，已知，那么等于（）A.3B.4C.6D.122.在等差數(shù)列中，若等于（）A.B.C.2D.3.已知等差數(shù)列的公差為1，且，則()A.99B.66C.33D.04.在項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項的和為165，所有偶數(shù)項的和為150，則n等于（）A.9B.10C.11D.125.若一個等差數(shù)列的前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列有（）A.13項B.12項C.11項D.10項6.等差數(shù)列中，則使其前n項和成立的最大自然數(shù)n是（）A.11B.12C.13D.147.等差數(shù)列中，是其前n項的和，若=（）A.15B.18C.9D.128.等差數(shù)列和中，，則數(shù)列的前100項的和為（）A.0B.100