2.1方程（組）定義及解法知識(shí)點(diǎn)演練

考點(diǎn)1：等式的性質(zhì)

考點(diǎn)2:方程的解

2.1方程（組）定義及解法知識(shí)點(diǎn)演練"

考點(diǎn)3:方程（組）的解法

考點(diǎn)4:一元二次方程根的判別式

考點(diǎn)1：等式的性質(zhì)

例1.（2022秋?河北邯鄲?七年級(jí)校考期末）下列變形符合等式的性質(zhì)的是（）

A.如果2久一3=7,那么2x=7—3

B.如果3%—2=第+1,那么3x—x—1—2

C.如果—2%=5,那么久=5+2

D.如果-2%=6,那么％=-3

知識(shí)點(diǎn)訓(xùn)練

1.（2022秋?遼寧大連?七年級(jí)統(tǒng)考期中）在下列式子中，變形一定成立的是（）

A.如果a=b,那么a+=b+B.如果一三二6，那么a=-3b

C.如果a—%=b—%,那么a+b=0D.如果?71a=mb,那么a=b

2.（2022秋?天津河西?七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列方程變形正確的是（）

A.由-2%=1得%=—2B.由％—1=3得％=3—1

C.由一得久=一（D.由x+2=7得x=7+2

3.（2022秋?河北?七年級(jí)校聯(lián)考期末）下列等式變形錯(cuò)誤的是（）

A.若無(wú)=2y,則x+l=2y+lB.若3x=2y,則把=空

mm

）

C.若手=§，則3%=2yD.若％=y,貝肢/+1%=（7n2+】）y

4.（2022秋?廣東江門(mén)?八年級(jí)江門(mén)市第一中學(xué)?？计谥校└鶕?jù)等式的性質(zhì)，下列變形中正確的是（）

A.若租+4=九一44,貝!J?n=nB.^a2x=a2y,貝！J第=y

C.若2=2,則％=yD.若一?!/<:=8,則/c=-12

aa2

5.（2022秋?河北保定?七年級(jí)校考期末）如圖，兩個(gè)天平都平衡.當(dāng)天平的一邊放置3個(gè)蘋(píng)果時(shí)，要使天平

保持平衡，則另一邊需要放香蕉（）

COL^JIJJI

zszs

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

6.（2022秋?江蘇南通?七年級(jí)校聯(lián)考期中）下列運(yùn)用等式性質(zhì)正確的是（）

A.如果a=b,那么a+c=b-cB.如果a=6,那么!=?

CC

C.如果巴=2,那么a=bD.如果。=3,那么/=3/

cc

7.（2022秋?陜西西安?七年級(jí)西安市鐵一中學(xué)?？计谀┫铝姓f(shuō)法中：①若％=y,則-TH+汽=-TH+y；

②若;=；,則％=y；③若％=y,則旨7=品；；④若a%=ay,則％=y,正確的個(gè)數(shù)（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

8.（2022秋?湖南郴州?七年級(jí)校聯(lián)考期末）下列運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行的變形，錯(cuò)誤的是（）

A.如果％+2=y+2,則％=yB.如果％=y,則卷=《

C.如果TH%=zny,則％=yD.如果土=上，則％=y

mm

考點(diǎn)2：方程的解

例2.（1）（2022秋?湖北武漢?七年級(jí)?？计谀┤绻鹸=3是方程3K-2a=a-3的解，則a的值為.

（2）（（2022秋?湖北黃石?七年級(jí)校考期末）已知關(guān)于x的一元一次方程圭久+4=2久+b的解為x=2,

那么關(guān)于y的一元一次方程六。+1）+4=2（y+1）+匕的解為y=.

例3.（1）（2022秋?山東青島?八年級(jí)統(tǒng)考期末）若[j：??是二元一次方程口久+姐=—2的一個(gè)解，則3a—

26+2024的值為.

（2）（2021春?重慶渝中?七年級(jí)重慶市求精中學(xué)校?？计谥校╆P(guān)于x,y的二元一次方程組虜無(wú)+?=：,

下列說(shuō)法正確的是.

（7

X--

①當(dāng)a=b=2時(shí)，方程組的解為《\.

9=—]

②當(dāng)a=b=0時(shí)，方程組無(wú)解.

③當(dāng)a4O時(shí)，b無(wú)論為何值，方程組均有解.

④當(dāng)m一瓶寸，方程組有解.

例4.（1）（2023秋?重慶渝中?八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)校考期末）若a,b分別是方程3/一9x+5=0的兩根,

貝！|。2-4a-b=.

（2）（2021秋?廣東東莞?九年級(jí)東莞市華僑中學(xué)?？计谥校┮阎獂=0是關(guān)于x的一元二次方程（爪+l）x2+

x+m2—1=0的一個(gè)根，則m=（）

A.1B.-1C.1或一1D.無(wú)法確定

例5.（1）（2022秋?北京海淀?七年級(jí)清華附中?？计谀┮阎P(guān)于X的方程膜-白=-1的解大于1,則

實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

（2）（2022秋?湖南衡陽(yáng)?八年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于x的分式方程二+,北6=2

（1）若方程的增根為久=1,求根的值；

⑵若方程無(wú)解，求小的值.

例6.（2022秋?北京海淀?七年級(jí)清華附中?？计谀┮阎P(guān)于久的分式方程2+=三.

%-3%-9%+3

（1）若這個(gè)方程的解是負(fù)數(shù)，求M的取值范圍；

⑵若這個(gè)方程無(wú)解，則爪=.（直接寫(xiě)出答案）

知識(shí)點(diǎn)訓(xùn)練

1.（2022秋?北京東城?七年級(jí)東直門(mén)中學(xué)校考期末）關(guān)于x的方程a久=2的解是久=-2,則a的值為（）

A.1B.—1C.-D.

22

2.（2022秋?河北石家莊?七年級(jí)石家莊市第四十一中學(xué)?？计谀┮阎P(guān)于x的方程3血-2%+1=0的解

是％=2,則m的值是（）

A.2B.1C.-1D.-2

3.（2022秋?河北保定?八年級(jí)保定市第十七中學(xué)?？计谀┤艉蠖?是關(guān)于x、y的二元一次方程a%+2y=5

的解，則a的值是（）

A3C2〃3r2

A.-B.--C.--D.-

2323

4.（2022秋?吉林松原?九年級(jí)統(tǒng)考期中）方程第2一2%+1=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根為m,則2022-血2+2瓶的值

是（）

A.2023B.2022C.2021D.2020

5.（2023秋?重慶渝中■八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┮阎獂=1是一元二次方程2/一人久一3=0的根,

則k的值為（）

A.-1B.1C.2D.—2

6.（2。22秋糊北武漢,八年級(jí)?？计谀┘褐P(guān)于x的方程穿=1的解是負(fù)數(shù)，那么m的取值范圍是（）

A.m>—4B.m<—4

C.m<—4且m。一8D.m>—4且mW—8

7.（2022秋?貴州黔南?八年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于X的方程W=尹+1無(wú)解，則a的值為（）

x—1i—x

A.?；?B.0C.1D.一1或0

8.（2023秋?山東泰安?八年級(jí)?？计谀┤絷P(guān)于x的分式方程*+普=2a無(wú)解，則。的值為（)

x—33—X

A.1B.1或日C.1D.以上都不是

9.（秋?湖南株洲?八年級(jí)?？计谥校┤絷P(guān)于X的分式方程。+8==有增根，則m的值為（）

2022x—1x—1

A.0B-IC.1D.4

10.（2022?重慶璧山?統(tǒng)考一模）已知的不等式組｛久8有且只有4個(gè)整數(shù)解，并且使得關(guān)于V的

分式方程。-券=2的解為整數(shù)，則滿足條件的所有整數(shù)m的個(gè)數(shù)有（）

y—33—y

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

11.（2022秋?湖北恩施?八年級(jí)統(tǒng)考期末）分式方程3-々=0有解，則根的取值范圍是（）

xx—1

A.m0B.mH1C.mW0或mW1D.m。0且m。1

12.（2023秋?吉林長(zhǎng)春?七年級(jí)長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）已知x=5是方程ax-8=20+a的解，則

CL—.

，為CL

13.（2022春?廣東江門(mén)?七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知。二1是二元一次方程2x+y=4的一組解，則a的值是

14.（2022秋?全國(guó)?九年級(jí)期中）已知m為方程/+3X-2022=0的一個(gè)根，那么63+2爪2-2025m+

2022的值為.

15.（2021春?重慶南岸,八年級(jí)重慶市第十一中學(xué)校?？计谥校┤絷P(guān)于x的分式方程吟-產(chǎn)=1無(wú)解，則

x—33—x

m的值為.

16.（2023秋?江蘇南通?八年級(jí)啟東市長(zhǎng)江中學(xué)?？计谀┤絷P(guān)于X的分式方程二=1-白的解為非負(fù)數(shù),

則m的取值范圍是.

17.（2022春?江蘇連云港?八年級(jí)統(tǒng)考期中）關(guān)于X的分式方程三=1有增根，則小的值為_(kāi)_________

x—1x—1

18.（2023秋?重慶?七年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谀╆P(guān)于x,y的方程組?與=］有相

iax+by=—1（to+ay=—7

同的解，則a+4b-3的值為（）

A.-1B.-6C.-10D.-12

考點(diǎn)3：方程（組）的解法

例7.（2022秋?湖北武漢?七年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程

（1）3%-2=1-2（x+1）

'/46

例8.（1）（2021春?重慶渝中?七年級(jí)重慶市求精中學(xué)校?？计谥校┯么敕ń庖辉畏匠叹??=

3x+4y=7@

過(guò)程中，下列變形不正確的是（

A.由①得％=三B.由①得y=5-2x

C.由②得乂=字D.由②得丫=乎

（2）（2022秋?廣東佛山?八年級(jí)佛山市南海石門(mén)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎?、y滿足方程組

則X+y的值為（）

A.-4C.-2

⑴（2。2】春.江蘇南通.七年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于X,，的方程組黑此工;:的唯一解是則

。1(2血-4)+bn=J+%

關(guān)于m,"的方程組?r

a2(2m—4)+b2n=c2+b2

Cm=4

In=2

（4）（2022秋?廣東廣州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程組:

（2）（久+y=5

~13（尤一1）+2y=9

例9.（1）（2022秋?陜西漢中?九年級(jí)統(tǒng)考期末）用公式法解方程：4/+x—3=0.

（2）（2022秋?河北廊坊?九年級(jí)?？计谀┘渭谓夥匠?+2x-3=0的過(guò)程如圖14所示.

解方程：X2+2X-3=0

解：X2+2X=3.........第一步

（X+1）2=3.........第二步

石=6-1,x2=-V3-l…第三步

⑴在嘉嘉解方程過(guò)程中，是用（填"配方法""公式法"或"因式分解法"）來(lái)求解的；從第

步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；

（2）請(qǐng)你用不同于（1）中的方法解該方程.

例10.（2022秋?重慶合川?八年級(jí)?？计谀┙夥质椒匠蹋?/p>

(2)g|=1+____—

X2-10X+25

知識(shí)點(diǎn)訓(xùn)練

1.（2022秋?黑龍江綏化?六年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋?

y65

2.（2022秋?北京東城?七年級(jí)東直門(mén)中學(xué)校考期末）解方程：

⑴3（%—1）=5%+1；

,,2x4-1.2x-l

（2）==1--

3.（2022秋?黑龍江綏化?六年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋?

53lo

4.（2022秋?重慶北倍?七年級(jí)統(tǒng)考期末）勻2：=1，則等=（）

12Q—3D+c=0b

A.1B.2C.3D.4

5.（2。22春?河南濠河?七年級(jí)?？计谀┤絷P(guān)于x,y的二元一次方程組償:設(shè)二：的解是唐二，則

a^fjn—ri)+Z?I(TH+幾)=q

關(guān)于m，n的二元一次方程組的解是（

a2(jn—n)+b2(m+n)=c2

1

2

6.（2022春?上海浦東新?八年級(jí)?？计谥校┬∶髟诮夥匠探M，，:y2…的過(guò)程中，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的

/+抖+1)=1②

是（）

A.②一①可得y=2久—4,再用代入消元法解

B.令工=a,-=b,可用換元法將原方程組化為關(guān)于a、b的二元一次方程組

xy

C.由①得y=M，再代入②，可得一個(gè)關(guān)于X的分式方程，亦可求解

D.經(jīng)檢驗(yàn)：{；二「是方程組的一組解

7.（2023秋?重慶大渡口?八年級(jí)重慶市第九十五初級(jí)中學(xué)校校考期末）關(guān)于x,y的二元一次方程組

「彳I?的解適合久+丁=10,貝la的值為（）

（乙X十Dy-a

A.14B.12C.6D.-10

（■上=2

8.（2022春?福建龍巖?七年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程組23~

14%—y=5

9.（2022春?湖南邵陽(yáng)?七年級(jí)?？计谥校?duì)于有理數(shù)x,y定義新運(yùn)算：x^y=ax+by+5,其中a,b為

常數(shù).已知1*2=9,（-3）*3=2,那么1*3的值是多少？

10.（2022春?浙江杭州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于%,y的方程組產(chǎn):一一2='I,解為

+y）—乃。一y）=。2

:二藍(lán)荔.則關(guān)于％,y的方程組〈

V一NU4D

x—809x—4045'%=2022

.y=1y=2023

+3y=10

（秋?遼寧?八年級(jí)?？计谀┙夥匠探M:

11.2022J也=1

12.（2023秋?重慶?七年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谀┙夥匠蹋ńM）.

（l）6x-2（1-x）=9x-5（x+2）.

2%+3y_D

丁=

{3（2%+3y）-2y=6

13.（2022秋,湖南郴州,九年級(jí)?？计谀⒁辉畏匠蘢+4%-1=0化成形如（x+p）2=q的形式,

則p+q的值為（）

A.7B.3C.-5D.10

14.（2022秋?陜西榆林?九年級(jí)校考期末）把方程好一6久+2=0化成。-小尸=幾的形式，則爪+n的值

是（）

A.-4B.4C.-10D.10

15.(2022秋?山東臨沂?九年級(jí)統(tǒng)考期中)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)羽代數(shù)式-/+4x-5的值是一個(gè)()

A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.非負(fù)數(shù)D.無(wú)法確定

16.(2022秋?江蘇蘇州?九年級(jí)統(tǒng)考期中)用配方法解方程d-4%-1=0,配方后的方程是()

A.(久一2尸=3B.(x—2尸=5C.(%+2)2=3D.(x+2)2=5

17.(2022秋?黑龍江牡丹江?九年級(jí)統(tǒng)考期中)把方程/+6X-9=0化為(x+a/=b的形式，下列方程

中正確的是()

A.0—3)2=18B.0+3)2=18C.(比+3)2=15D.(x-3)2=15

18.(2022秋?湖南永州?九年級(jí)統(tǒng)考期中)用配方法解方程/-4x-3=0,配方后的方程是()

A.0-2)2=7B.(x+2)2=7c.(乂-2)2=1D.(x+2)2=1

19.(2022秋?全國(guó)?九年級(jí)期中)先閱讀材料，再解決下列問(wèn)題.

例如：用配方法求代數(shù)式d+4久+6的最小值.

原式=%2+4%+4+2=(%+2)2+2.

；(久+2)2>o,

當(dāng)久=—2時(shí)，x2+4%+6有最小值是2.

根據(jù)上述所用方法，解決下列問(wèn)題：

(1)求代數(shù)式d—6久+12的最小值；

(2)若y=—/+2x—3,當(dāng)比=時(shí)，y有最_______值(填"大"或"小”)，這個(gè)值是；

⑶當(dāng)a,b,c分別為△ABC的三邊時(shí)，且滿足。2+62+?2一6?！?06—80+50=0時(shí)，判斷△ABC的形

狀并說(shuō)明理由.

20.(2022秋?江蘇無(wú)錫?九年級(jí)無(wú)錫市江南中學(xué)校考期中)用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?/p>

(l)3x2—x—0

(2)(x+1)2—9=0

⑶久2_2x_5=0

(4)x(x-3)=10

21.(2021秋■福建莆田?九年級(jí)?？计谥?解方程：

(l)x2—6%—6=0

(2)2/—7x+6—0

22.(2022秋?河南信陽(yáng)?九年級(jí)統(tǒng)考期中)用合適的方法解方程：

(1)(久一5尸=16.

(2)x2—2x—4=0.

⑶(y—1)2+2y(l-y)=0.

(4)2x2—7x+1=0.

23.（2022秋?天津紅橋?九年級(jí)?？计谀┙庀铝蟹匠?

(l)x(x—3)+%-3=0；

(2)3/—5%+1=0.

24.（2022秋?天津河?xùn)|?九年級(jí)校考期末）解方程

(I)%2—2%—6=0；

(2)。+4>=5(尤+4).

25.（2022秋?遼寧大連?九年級(jí)校考期末）解方程:

(l)x2—8x+1=0

(2)x(x-2)+x-2=0

26.（2022秋?北京東城?九年級(jí)北京二中校聯(lián)考期末）把關(guān)于x的一元二次方程2%2一4%+租=0配方，得

到(比+p)2=|

（1）寫(xiě)出完整的配方過(guò)程，并求常數(shù)m與p的值;

⑵求此方程的解.

27.（2022秋?河北唐山?八年級(jí)?？计谀┮阎P(guān)于x的方程x+^=a+工的兩個(gè)解分別為a,則方程x+

Xaa

擊=。+左的解是C

.a11r1

A.a,-------B.-7,a+1C.-,a+1D.a,-------

a+la+laa+l

28.（2022秋?河北石家莊?八年級(jí)石家莊市第四十中學(xué)?？计谀┌逊质椒匠?=-產(chǎn)=1化為整式方程正

x—22—x

確的是（）

A.1—(1—x)=1B.1+(1-%)=1

C.1—(1-%)=x—2D.1+(1—%)=%—2

29.（2022秋?湖北武漢?八年級(jí)?？计谀┙夥匠?

21

(1)0=0+1;

(2)￡-1=Q-2；a+3)-

30.（2022秋?湖北?八年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程:

21

⑴布丁°

⑵*瑞=1

31.（2023秋?山東臨沂?八年級(jí)知城縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┙庀铝蟹匠?

⑴卷=-

⑵G古4一%二+2T1

32.（2022秋?山東煙臺(tái)?八年級(jí)統(tǒng)考期中）解方程:

X2—3%%2—2

(1)=+寸1

x+2

⑵一=0

x(x—1)

考點(diǎn)4：一元二次方程根的判別式

例11.（2022秋?河南新鄉(xiāng)?九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：關(guān)于萬(wàn)的一元二次方程2尤2一3久+k=0有兩個(gè)不相

等的實(shí)數(shù)根.

⑴求k的取值范圍；

（2）當(dāng)k取最大整數(shù)值時(shí)，求該方程的解.

知識(shí)點(diǎn)訓(xùn)練

1.（2022秋?陜西西安?九年級(jí)校考期末）若方程爐—2乂+瓶=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為（）

A.4B.2C.1D.0

2.（2022秋?遼寧鞍山?九年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的一元二次方程kx2—4x+l=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的

取值范圍是（）

A.fc<4B.k>-4C.kW4且kAOD.k