數(shù)學試題

考試時間：120分鐘滿分：150分

一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分，在題目給出的四個選項中，只有一

項符合題目要求)

1.已知復數(shù)z=(l+i)+/l(l—i)是純虛數(shù)，則實數(shù)2=()

A.-2B.-lC.OD.1

2.已知某圓錐的底面半徑為山，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的側(cè)面積為()

A.2宿B.3兀C.4宿D(zhuǎn).6兀

3.設(shè)機，"為空間中兩條不同直線，。、/為空間中兩個不同平面，下列命題中正確的為()

A.若機上有兩個點到平面a的距離相等，則機//a

B.若粗、"是異面直線，muajn////a,則a〃夕

C.若根不垂直于e,"ue,則機必不垂直于"

D.若加，u/，則“機〃"”是“a工尸”的既不充分也不必要條件

4.已知函數(shù)/(x)=Asin(ox+0)3>O,A>O,(凝切兀)的部分圖象如圖所示，且/(0)=1,貝|()

A./(x)=2sin[x+；JB./(x)=2sin12x-；J

C./(x)=2sin^2x+-^-jD./(x)=2sin^x+^

5.如圖，在正四面體A3CD中，點￡是線段AZ)上靠近點。的四等分點，則異面直線EC與3D所成角的

余弦值為()

A

A\E

BD

C

A3V13RV13「3岳nV13

26132613

6.下列命題正確的是（）

A.若云=（一1,2）,石=（根2,1）,且則加=夜

B.若V%eR,@w,則落5不共線

C.若。反近是平面內(nèi)不共線的向量，且存在實數(shù)》使得函+y反=丁礪+而，則A5c三點共線

D.若a=（-1,1）,^=（1,2）,則B在N上的投影向量為

4

7.已知2+5cos2。=cos%cos（2a+^）=-.aG，則COS夕的值為（）

444444

A.——B.——C.--------D.-

51251255

8.在AABC中，1是邊A3上一定點，滿足藤=1通，且對于邊A3上任一點P，恒有

PBPC..^B-^C,貝曙ABC為（）

A.等腰三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.銳角三角形

二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

9.已知復數(shù)Z「Z2，下列結(jié)論正確的有（）

A.若閭:目，則z；=z；

B若ZE-Z2>0,則馬>Z2

C.若復數(shù)Z?滿足Z2=—、+5i,則Z2在復平面對應的點是（—1,7）

2-i

口.若4=-4+31是關(guān)于關(guān)的方程］2+2氏+4=0（,應€區(qū)）的一個根，則p=8

10.設(shè)函數(shù)g（x）=sino%3>0）向左平移—個單位長度得到函數(shù)/（%）,已知〃尤）在［0,2可上有且只

5co

有5個零點，則下列結(jié)論正確的是（）

A./（x）的圖象關(guān)于直線x=|對稱

-1229、

B.0的取值范圍是—

Cj（x）在0,合上單調(diào)遞增

D.在（0,2兀）上，方程/（%）=1的根有3個，方程/（x）=—1的根有3個

11.化學中經(jīng)常碰到正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體是每個面都是正三角形的八面體），如六氟化硫（化學式

SR）、金剛石等的分子結(jié)構(gòu).將正方體六個面的中心連線可得到一個正八面體（如圖1）,已知正八面體

E—A5CO—尸的（如圖2）棱長為4,則（）

647r

A.正八面體E-ABCD-F的外接球體積為——

3

32兀

B.正八面體E-ABCD-尸的內(nèi)切球表面積為——

3

C.若點尸為棱￡8上的動點，則AP+CP的最小值為

D.若點。為棱AF上的動點，則三棱錐E-Q8C的體積為定值電也

3

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

/、sin（cr-3TI）+cos（571-or）

12.tan（兀+a）=2,貝U---——----------^-=_________.

sin（-cr）-cos（7i+cr）

兀

13.在中，A=§,0為AABC的外心，若天）.初=而?/=2，則荏?/的值為.

14.在AABC中，角的對邊分別為a,反c,若逐（90+整=吧（吃9,5='，則2a+c

VbcJsinC3

的取值范圍為.

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.如圖，在底面是矩形的四棱錐尸—ABCD中，平面ABCRE是PD的中點.

（1）求證：P6〃平面EAC；

（2）求證：平面平面。AD.

16.已知向量G=(sinx』)Z=l,sin(1—x],f^x)=a-b

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期;

JT

(2)若當xe0,-時，關(guān)于x的不等式2/(x)—L3”有解，求實數(shù)，力的取值范圍.

_hc

17.已知AABC的內(nèi)角A,昆C的對邊分別為a,b,c,滿足——+--=1.

c-ab-a

(1)求角A；

(2)若AABC的外接圓的面積為？巴,sin5+sinC="ZsinA，求AABC的面積.

37

18.如圖，在四棱錐P—A5co中，PC_L平面ABC。,AB〃DC,。。LAC.

(1)求證：OC,平面PAC；

(2)若PC=AB=AC=1,求Pfi與平面PAC成角的正弦值；

PF

(3)設(shè)點E為A3的中點，過點C片的平面與棱必交于點尸，且〃平面CEF,求——的值.

PB

19.若函數(shù)/(%)滿足：對任意xeR,/(x)=/1+-d=/[g+x：則稱/(%)為函數(shù)”.

(1)判斷工(%)=5由[?！?|"：力(》)=tan：x是不是M函數(shù)(直接寫出結(jié)論)；

「3兀1「3-

(2)已在函數(shù)〃力是M函數(shù)，且當XC0,—時，/(%)=5K.求〃%)在-71,371的解析式；

(3)在(2)的條件下，xe[0,6可時，關(guān)于x的方程/(%)=。(。為常數(shù))有解，求該方程所有解的和

S

高二聯(lián)考數(shù)學試卷參考答案及評分標準

一、單選題

18.BDBCACBB

二、多選題

9.CD10.BC11.BCD

三、填空題

12.313.219.(右,2?]

四、解答題

15.(13分)

解:(1)連接3D交AC于點G,連接EG.

?.?四邊形A3CD是矩形，，G是3D的中點.

又石為PD的中點，

EGu平面EAC,PB<Z平面EAC,PB//平面EAC

(2)?.?以，面45。。,。。<=面430),，/54_1。。.

?.?ABCD是矩形，.,.ADLCD.

而。AcA￡>=A,PA,A。u平面PA。,CD，平面PAQ

又；CDu平面QDC..?.平面PDC±平面PAD.

16.（15分）

/、/、

711.兀

(1)因為/(同二日出=sinx+sin——X=—sinx+——cosx=sinx+—

13223J

所以函數(shù)/(x)的最小正周期T=2TI；

因為函數(shù)y=sinx的單調(diào)增區(qū)間為----F2kji,—F2kli，左eZ,

2-----2

TTTTTT

所以----F2kn<%+—<—+2hi,GZ,

232

STTTT

解得-----F2kn<%<—+2防i,keZ,

66

51171

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為-豆+2E彳+2桁，左eZ；

（2）不等式"⑴―14加有解，即—2/⑴皿；

ec\兀匚UI、I兀/兀/7兀771.57c.71

因為工￡0,一,所以一《xH—<—,又sin—=sin—>sin—,

14」331212123

故當x+g=m，即％=o時，“工)取得最小值，且最小值為了⑼二手，

所以加2A/3-1

17.(15分)

hr

(1)解：(1)因為——+——=1,

c-ab-a

所以Z?9+=,

所以Z?2—ab+c2—ac—be—cic—ab+a?，即——be,

由余弦定理可得：b2+c2—a2=2Z?ccosA，

所以COSA=L,

2

因為Ac(0,兀),

TT

所以A=A；

3

7兀

(2)因為△ABC的外接圓的面積為,

設(shè)5c的外接圓半徑為小

即7ir2=—,

3

解得r=亙，

3

由正弦定理得一L=2r,a=2rsinA=2x^x@=J7，

sinA32

因為sinB+sinC=5ssinA，由正弦定理得￡>+c=5sa=5，

77

由(1)知/+c?—a?=Z?c,

所以(6+c)2—7=36c,得3bc=25—7=18,則bc=6,

所以AABC的面積為SARr=—besinA=!x6x.

△ABC2222

18.(17分)

(1)因為尸CL平面48。。,。。<=平面45。0,所以PCLCD,

又。C_LAC,ACr\PC=C,AC,PCu平面PAC,

所以。平面QAC

（2）:。）〃平面PAC

.?.AB,平面QAC，.,./AP5為所求

?.?RtAB4c中，PC^AC=l,:.PA^y/2

.?.RtAB43中，PB=y[3

.-.sinZAPB=—

3

（3）因為“4〃平面CEF,平面平面CEF=EF,

B4u平面Q4B，所以Q4〃￡F，因為點石為AB的中點,

PF1

所以點尸為PB的中點，所以一=-

PB2

19.（17分）

471

（1）/；（%）=sin3%+2是M函數(shù)，證明如下:

4714,3兀兀4

因為＜（九）=sin|-x+-=cos-x,又力-----x=cosl^xj=cosf2-gx=cos—X,

322323

4（3TI=c°s2兀+3=cos|x,所以工（x）=E3兀

=cos———I-冗--------X=/1+x

3I32T

471

故力（無）=sin|-x+—是〃函數(shù),

32

/、2

力（x）=tan§x是“函數(shù)，證明如下:

37c2/3?tan322

因為人--------Xtan—--%-tan—%=tan—%,

23I333

2/3兀2

+xtan-----}-xtan=tan—x,所以

4^32I33

3兀=力*2

于2（》）=于2-----x，故力（%）=tanjx是〃函數(shù).

2

37r3兀

（2）因為/（x）=/1x,所以函數(shù)/（力的周期為T=5,又/（%）=/-----x

+2

37r

所以函數(shù)“X）關(guān)于直線x=1對稱,

因為工￡一兀,3兀時，所以％--—吟

371八3兀3兀9兀3兀3兀

當X-----G0,—,=即xe—,—時，f(x)=fx---=--sinx---=--cos%,

242422

3兀3兀3兀2,3兀時，/(%)=/3兀3兀

當x-----e-~'即%--=〃3兀—耳,

2422

9兀37兀i

又xe—,3兀時，3?1-xe0,—,所以

44

3兀3兀3兀

f{x}=fx-----x―--=f(3TI-x)=sin(3TI-x)=sinx,

22

3兀9兀

cosx,xe

324

綜上，/(%)在-71,371上的解析式為/("=<

S1I1X,xG"3兀

4

,「,3無3兀，33兀兀八33兀兀▼，

(3)由(2)知，當xe——,—時，——xe0,—,所以

42224

sin%,xe

3兀3兀吟

f(x)=f-----x-smX=-cosx,得到/(%)=<

223兀3兀

-cosx,xe

42

3冗

又函數(shù)的周期為7=5,所x?0,6可時，/⑴的圖像如圖,

1T(x)

V2