專題04填空壓軸題

1.（2022?廣東）扇形的半徑為2,圓心角為90。，則該扇形的面積（結(jié)果保留為為—.

2.（2021?廣東）在AABC中，ZABC^90°,AB=2,BC=3.點(diǎn)。為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，ZADB=45。,

則線段8長(zhǎng)度的最小值為.—.

3.（2020?廣東）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待

與老鼠距離最小時(shí)撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)，模型如圖，NABC=90。，

點(diǎn)N分別在射線54,3c上，長(zhǎng)度始終保持不變，MN=4,E為MN的中點(diǎn)，點(diǎn)。到BA,BC

的距離分別為4和2.在此滑動(dòng)過(guò)程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為一.

4.（2019?廣東）如圖1所示的圖形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，且每個(gè)角都是直角，長(zhǎng)度如圖所示，小明按圖2所

示方法玩拼圖游戲，兩兩相扣，相互間不留空隙，那么小明用9個(gè)這樣的圖形（圖1）拼出來(lái)的圖形的總長(zhǎng)

度是—（結(jié)果用含“，6代數(shù)式表示）.

圖1圖2

5.（2018?廣東）如圖，已知等邊△。4片，頂點(diǎn)4在雙曲線y=X（尤＞0）上，點(diǎn)用的坐標(biāo)為（2,0）.過(guò)用作

X

44//OA交雙曲線于點(diǎn)4，過(guò)a作4坊//44交X軸于點(diǎn)斗，得到第二個(gè)等邊△44與；過(guò)層作

82A//月4交雙曲線于點(diǎn)A3,過(guò)&作A3B.//人與交x軸于點(diǎn)B3,得到第三個(gè)等邊^(qū)星3耳；以此類推，…，

則點(diǎn)B6的坐標(biāo)為.

6.（2022?東莞市一模）如圖，在矩形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為3c邊上的任意一點(diǎn)，把APBE沿PE

折疊，得到APEE,連接CF.若AB=10,BC=12,則CF的最小值為.

ID"pV

7.（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖，動(dòng)點(diǎn)M在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)，且P是CD邊上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E是邊的中點(diǎn)，則線段PE+PM的最小值為.

8.（2022?東莞市一模）如圖，正方形ABCE（中，AB=6,。是3c邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OE=1,

連接CE,將線段DE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得上，連接AE、CF.則線段O尸長(zhǎng)的最小值為.

A__________________D

BOC

9.（2022?東莞市一模）在正方形ABCD中，點(diǎn)。、點(diǎn)G分別是瓦），防形的中點(diǎn)，DE=2AE,有下列

結(jié)論：

?AEOD=AFOB；②S^Fc=SgoE；③BE。=BOBD；④4sAs國(guó)=45As；其中正確的結(jié)論是.（填

寫序號(hào)）

10.（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E是邊3C上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)5,C重

合），過(guò)點(diǎn)石作即_1隹交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)尸，交CD于點(diǎn)G,連接AF.有下列結(jié)論：①

AE=EF②CFgBE；③NDAF=NCEF;④ACEF面積的最大值為L(zhǎng).其中正確的是（把正

確結(jié)論的序號(hào)都填上）

BE

11.（2022?東莞市一模）如圖，在正方形A3CD中，AB=2,E為邊AB上一點(diǎn)，尸為邊3C上一點(diǎn).連

接DE和AF交于點(diǎn)G,連接3G.若AE=BF,則3G的最小值為.

12.（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖，函數(shù)y=62+bx+c（a,b,c為常數(shù)，且a。0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)市1,0）、（m,0）,

且1<相<2,下列結(jié)論：

①abc<0；

?0<-—<-；

2a2

③若點(diǎn)A（—2,%）,8（2,必）在拋物線上，則/<%;

@ax2+bx+c=0,必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

其中結(jié)論正確的有.（填序號(hào)）

13.（2022?東莞市一模）如圖，在扇形AOB中，NAOS=90。，點(diǎn)C為。4的中點(diǎn)，CELCM交弧回于點(diǎn)

E,以點(diǎn)。為圓心，OC的長(zhǎng)為半徑作弧CD交03于點(diǎn)。，若。4=4,則陰影部分的面積為.

14.（2022?東莞市一模）如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,BC=2,AADC與AABC關(guān)

于AC對(duì)稱，點(diǎn)E、尸分別是邊DC、3c上的任意一點(diǎn)，且DE=CF,BE、止相交于點(diǎn)尸，則CP的

最小值為.

15.（2022?中山市一模）如圖，在RtAABC中，AB=AC=1Q,ZBAC=9Q°,等腰直角AADE1繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),

ZDAE=90°,AD=AE=4,連接DC,點(diǎn)/、P、N分別為DE、DC、3c的中點(diǎn)，連接MP、PN、

MN,則APMN面積的最小值是.

16.（2022?中山市二模）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC=3,NADC=120。，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上的一動(dòng)

點(diǎn)，則E4+￡B+ED的最小值為.

17.（2022?中山市模擬）如圖，矩形ABCO邊AD=3,O。的半徑為1,過(guò)邊3c上的一點(diǎn)尸作射線尸。與

00相切于點(diǎn)Q,連接"，當(dāng)NAPB=NQPC,AP+PQ=26時(shí)，則NQPC的最小值約為度

1Q

分.（參考數(shù)據(jù)：sinn°32'=—,tan36°52'=—

18.（2022?中山市一模）如圖，在AABC中，ZABC=45°,AB=3,AD_L3C于點(diǎn)。，鹿_LAC于點(diǎn)E,

AE=1.連接DE,過(guò)點(diǎn)。作DbLDE交班;于點(diǎn)B，則DF長(zhǎng)度為.

19.（2022?中山市校級(jí)一模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,M是9的中點(diǎn)，P是3c邊上的動(dòng)點(diǎn),

連接尸M,以點(diǎn)P為圓心，尸M長(zhǎng)為半徑作0P.當(dāng)QP與正方形ABCD的邊相切時(shí)，5尸的長(zhǎng)為.

20.（2022?中山市三模）將一副學(xué)生常用的三角板如圖擺放在一起，組成一個(gè)四邊形ABCD,連接AC,

探究tanNACD的值為.

21.（2022?中山市三模）如圖，的半徑為4,圓心M的坐標(biāo)為（6,8）,點(diǎn)尸是。河上的任意一點(diǎn),

PA±PB,且24、P8與x軸分別交于A、B兩點(diǎn),若點(diǎn)A、點(diǎn)3關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則AB的最小值為

22.（2022?珠海二模）如圖所示，設(shè)G是AABC的重心，過(guò)G的直線分別交回，AC于點(diǎn)P,Q兩點(diǎn),

23.（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，在AABC中，ZBAC=30°,ZACB=45°,AB=4,動(dòng)點(diǎn)P在邊至上,

連接CP將AACP沿直線CP翻折后得到△ACP，點(diǎn)4到直線AB距離的最大值是

24.（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,BC=4,4c=10,點(diǎn)。是AC上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CD為直徑作圓O,連接班＞交圓。于點(diǎn)E,則/1E的最小值為.

25.（2022?珠海一模）如圖，直線/為丁=瓜，過(guò)點(diǎn)4（1，。）作44軸，與直線/交于點(diǎn)用，以原點(diǎn)。為

圓心，O與長(zhǎng)為半徑畫圓弧交x軸于點(diǎn)4；再作4星，x軸，交直線/于點(diǎn)與，以原點(diǎn)。為圓心，。當(dāng)長(zhǎng)

為半徑畫圓弧交X軸于點(diǎn)&；……，按此作法進(jìn)行下去，則點(diǎn)4的坐標(biāo)為（—）.

26.（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，在標(biāo)有刻度的直線/上，從點(diǎn)A開始以AB=1為直徑畫半圓，記為第

一個(gè)半圓，以3c=2為直徑畫半圓，記為第二個(gè)半圓，以CD=4為直徑畫半圓，記為第三個(gè)半圓，以￡）E=8

為直徑畫半圓，記為第四個(gè)半圓，…，按此規(guī)律繼續(xù)畫半圓，則第2022個(gè)半圓的面積為—（結(jié)果保留

71）.

27.（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）在RtAABC中，NABC=90。，AB=6,BC=4,點(diǎn)尸是AABC外一點(diǎn)，且

ZAPB^90°,則CP的最大值為

28.（2。22?香洲區(qū)一模）已知函數(shù)廣；工：篇k8）的圖象如圖所示,若直線尸…與該圖象有公

29.（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，正方形ABCD中，AB=12,AE=工43,點(diǎn)p在3c上運(yùn)動(dòng)（不與3、

4

C重合），過(guò)點(diǎn)尸作尸。，石尸，交CD于點(diǎn)Q,則C。的最大值為.

30.（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形Q4BC的邊OC、Q4分另1J在x軸和

y軸上，04=10,點(diǎn)。是邊AB上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，將AQ4D沿直線OD折疊后得到△040,若反

比例函數(shù)＞=￡依#0）的圖象經(jīng)過(guò)A，點(diǎn)，則％的值為—.

31.（2022?澄海區(qū)模擬）如圖，在RtAABC中，NC=90。，點(diǎn)P在AC邊上.將NA沿直線3P翻折，點(diǎn)A

7ArP

落在點(diǎn)A處，連接A2,交AC于點(diǎn)O.若APLAP,tanA=-,則——的值為

3BP

A

32.（2022?潮南區(qū)模擬）如圖，在AABC中，AB=20,AC=16,BC=12,以邊AB的中點(diǎn)。為圓心,

作半圓與AC相切，點(diǎn)P,。分別是邊BC和半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接P。，則PQ長(zhǎng)的最小值是

C

33.（2022?潮南區(qū)模擬）如圖，在矩形MCD中，AB=2,BC=3,E是矩形內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且,

則線段CE的最小值為.

34.（2022?龍湖區(qū)一模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2j5c%,動(dòng)點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，都

以0.5cm/s的速度分別沿AB、CD向終點(diǎn)3、。移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)3時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，過(guò)點(diǎn)3作直線EF

的垂線8G,垂足為點(diǎn)G,連接AG,則AG長(zhǎng)的最小值為cm.

35.（2022?金平區(qū)一模）如圖，ZACB=90°,AC=2,AB=4,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，連接尸C,則尸C+

2

的最小值為—.

36.（2022?南海區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4（0,1）,2（0,-5）,若在x軸正半軸上有一點(diǎn)C,使

ZACB=30°,則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是.

37.（2022?佛山二模）如圖，在AABC中，AB=CB=9,ZB=90°,點(diǎn)。是A4BC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O分別作

邊AS、3c的垂線，垂足分別為點(diǎn)。、E,5.OD2+OE2=36,連接。4、OC,則AAOC面積的最小值

為—,

38.（2022?禪城區(qū)校級(jí)一模）定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形.例：如圖1,

四邊形內(nèi)接于OO,AB^AD.則四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形.

探究與運(yùn)用：如圖2,在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB=AD,其外角NE4D的平分線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)廠,

若CD=10,AF=5,則DF的長(zhǎng)為-

39.（2022?南海區(qū)二模）如圖，矩形。4BC的面積為40,它的對(duì)角線03與雙曲線y=幺相交于點(diǎn)O,且

OD.DB=3:1,則一二

EA

40.（2022?禪城區(qū)二模）如圖，點(diǎn)A在直線y=x上，ABLx軸于點(diǎn)3,點(diǎn)C在線段至上，以AC為邊作

正方形ACDE,點(diǎn)。恰好在反比例函數(shù)丁=或（左為常數(shù)，左片0）第一象限的圖象上，連接4）.若

41.（2022?順德區(qū)一模）二次函數(shù)、=加-2ox+c（a＜0）的圖象過(guò)A（-3，x）,2（-1,%），C（2,y3）,4（4,%）

四個(gè)點(diǎn).（1）%=—（用關(guān)于?；騝的代數(shù)式表示）；（2）若"?力＜。時(shí)，則為?%—0.（填＜”

或“=”）

42.(2022?三水區(qū)一模)如圖，四邊形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-4,0),B(-2,-l),C(3,O),0(0,3),

當(dāng)過(guò)點(diǎn)3的直線/將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分時(shí)，則直線/的函數(shù)表達(dá)式為—.

43.(2022?南海區(qū)校級(jí)一模)如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=5,BC=CDS.BC>AB,BD=8.給

出以下判斷：

①AC垂直平分BD；

②四邊形ABCD的面積S=ACND；

③順次連接四邊形ABCD的四邊中點(diǎn)得到的四邊形可能是正方形；

④將AABD沿直線對(duì)折，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，連接BE■并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)歹，當(dāng)斯_LCD時(shí)，四邊形ABCD

的內(nèi)切圓半徑為烏.其中正確的是.(寫出所有正確判斷的序號(hào))

7------

44.(2022?雷州市模擬)已知點(diǎn)尸(2,3)、2(6,1),點(diǎn)A(〃z,")為線段尸。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).在點(diǎn)A從點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)

至點(diǎn)P的過(guò)程中，當(dāng)mn取最大值時(shí)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為—.

45.(2022?湛江二模)如圖，NAOB=30。，點(diǎn)/、N分別在邊。4、OB.L,且OM=1,ON=3,點(diǎn)、P、

。分別在邊OB、上，則A1P+PQ+QN的最小值是.

46.(2022?徐聞縣模擬)如圖，在RtAABC中，NC=90。，分別以鉆、BC、AC邊為直徑作半圓，圖中

陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”.當(dāng)AB=8,3C=4時(shí)，則陰影部分的面積為一.

47.(2022?開平市模擬)如圖，E,b是正方形ABCD的邊AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足=連接CF交

BD于點(diǎn)G,連接班交AG于點(diǎn)若正方形的邊長(zhǎng)為4,則線段D"長(zhǎng)度的最小值是,

48.（2022?新會(huì)區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、5在函數(shù)、='（左＞0,無(wú)＞0）的圖象上，過(guò)點(diǎn)A

X

作X軸的垂線，與函數(shù)y=-一（左＞0,x＞0）的圖象交于點(diǎn)C,連結(jié)3c交尤軸于點(diǎn)。，若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,

尤

且BC=3BD,則點(diǎn)3的橫坐標(biāo)是.

49.（2022?蓬江區(qū)校級(jí)二模）大家都知道，八點(diǎn)五十五可以說(shuō)成九點(diǎn)差五分，有時(shí)這樣表達(dá)更清楚.這啟

發(fā)人們?cè)O(shè)計(jì)了一種新的加減記數(shù)法：

比如:9寫成1T,11=10-1；

198寫成203202=200-2；

7683寫成12323,12323=10000-2320+3.

總之，數(shù)字上畫一杠表示減去它，按這個(gè)方法請(qǐng)計(jì)算5231-3/1=—.

50.（2022?蓬江區(qū)校級(jí)二模）如圖，AABC和AADE1都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90）°,

AB=AC=4,。為AC中點(diǎn)，若點(diǎn)。在直線3c上運(yùn)動(dòng)，連接OE,則在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段OE的最

小值是—.

■E

BD

專題04填空壓軸題

1.（2022?廣東）扇形的半徑為2,圓心角為90。，則該扇形的面積（結(jié)果保留萬(wàn)）為

【答案】兀

故答案為：71.

2.（2021?廣東）在AABC中，ZABC=9Q°,AB=2,3C=3.點(diǎn)。為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

ZADB=45°,則線段CD長(zhǎng)度的最小值為.

【答案】后-夜

【詳解】如圖所示.

-,■ZADJB=45°,AB=2,作AABD的外接圓O（因求CD最小值，故圓心O在AB的右側(cè)）,

連接OC,

當(dāng)。、D、C三點(diǎn)共線時(shí)，CD的值最小.

?.?ZAD3=45。，

:.ZAOB=90°,

.?.AAOB為等腰直角三角形，

AO=BO=sin45°xAB=42.

:NOBA=45。,ZABC=90°,

NOBE=45。,作OE_L3c于點(diǎn)E,

」.AOBE為等腰直角三角形.

OE=BE=sin45°OB=1,

:.CE=BC-BE=3-1=2,

在RtAOEC中，

oc=-JOE2+CE2=^/T+4=6.

當(dāng)（9、D、C三點(diǎn)共線時(shí)，

CD最小為CD=OC-OD=sB-血.

故答案為：A/5-5/2.

D

3.（2020?廣東）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中

間的老鼠，等待與老鼠距離最小時(shí)撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)

的線或點(diǎn)，模型如圖，NABC=90。，點(diǎn)N分別在射線54,上，長(zhǎng)度始終保

持不變，MN=4,E為MN的中點(diǎn)，點(diǎn)。到54,3c的距離分別為4和2.在此滑動(dòng)過(guò)

程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為一.

C

【答案】2如-2

【詳解】如圖，連接BE,BD.

由題意BD=722+42=2加,

ZMBN=90°,MN=4,EM=NE,

:.BE=-MN=2,

2

.?.點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以3為圓心，2為半徑的弧，

當(dāng)點(diǎn)E落在線段上時(shí)，DE的值最小，

.一.。日的最小值為2如-2.（也可以用?！?.3。-3￡,即DE..2逐-2確定最小值）

故答案為2#-2.

4.（2019?廣東）如圖1所示的圖形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，且每個(gè)角都是直角，長(zhǎng)度如圖所示,

小明按圖2所示方法玩拼圖游戲，兩兩相扣，相互間不留空隙，那么小明用9個(gè)這樣的圖

形（圖1）拼出來(lái)的圖形的總長(zhǎng)度是—（結(jié)果用含.，6代數(shù)式表示）.

……

1

I—0―I-------------------總長(zhǎng)--------------------1

圖1圖2

【答案】a+8b

【詳解】方法1、如圖，由圖可得，拼出來(lái)的圖形的總長(zhǎng)度=5a+4［。-2（°-力］=。+86

故答案為：a+8b.

方法2、?.?小明用9個(gè)這樣的圖形（圖1）拼出來(lái)的圖形

，口朝上的有5個(gè)，口朝下的有四個(gè)，

而口朝上的有5個(gè)，長(zhǎng)度之和是5a,口朝下的有四個(gè)，長(zhǎng)度為4[6-(a-6)]=86-4。,

即：總長(zhǎng)度為5o+86-4a=a+86,

故答案為a+8%.

J3

5.(2018?廣東)如圖，已知等邊△。41瓦，頂點(diǎn)A在雙曲線>=^(x>0)上，點(diǎn)用的坐標(biāo)

x

為(2,0).過(guò)用作44//OA交雙曲線于點(diǎn)4，過(guò)4作4生//4與交x軸于點(diǎn)打，得到第

二個(gè)等邊△瓦人生；過(guò)當(dāng)作打人//44交雙曲線于點(diǎn)A，過(guò)&作AB3//4B2交x軸于點(diǎn)

OC=OB{+B1C=2+a,A,（2+a,#>a）.

?.?點(diǎn)4在雙曲線>=*（x>0）上，

X

（2+a）?也a=A/3,

解得a=^/^'-1,或。=-1（舍去），

:.OB[=OB\+2B\C=2+2叵-2=2應(yīng),

點(diǎn)紇的坐標(biāo)為（20,0）；

作軸于點(diǎn)D,設(shè)B?D=b,則4。=折，

OD=OB2+B2D=2-^2+b,4（20+6,病）.

J3

???點(diǎn)4在雙曲線y=?（x〉o）上，

X

:.Q垃+b）.出b=^,

解得b=—y/2+A/3，或/?=——y/3（舍去），

OB3=OB2+2B2D=2V2-2V2+2A/3=2A/3,

點(diǎn)名的坐標(biāo)為（2百，0）；

同理可得點(diǎn)凡的坐標(biāo)為（2J?,0）即（4,0）；

以此類推…，

，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（2冊(cè)，0）,

點(diǎn)線的坐標(biāo)為（2面，0）.

故答案為（2n，0）.

6.（2022?東莞市一模）如圖，在矩形ABCD中，E為他的中點(diǎn)，P為BC邊上的任意一

點(diǎn)，把APBE1沿PE折疊，得到APFE,連接CF.若AB=10,BC=12,則CF的最小值

【詳解】如圖所示，點(diǎn)尸在以E為圓心E4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E、F、C共線時(shí)時(shí),

此時(shí)CF的值最小，

根據(jù)折疊的性質(zhì)，AEBP^AEFP,

:.EF±PF,EB=EF,

?.?E是至邊的中點(diǎn)，AB=W,

：.AE=EF=5,

AD^BC=12,

:.CE=^BE2+BC2=A/52+122=13,

:.CF=CE-EF=13-5=8.

故答案為：8.

7.（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖，動(dòng)點(diǎn)M在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)，且

P是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E是AD邊的中點(diǎn)，則線段PE+PM的最小值為.

【答案】2A/10-2

【詳解】作點(diǎn)E關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)￡,設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)O,連接OE',交DC于點(diǎn)尸,

連接PE,如圖：

?.?動(dòng)點(diǎn)M在邊長(zhǎng)為4的正方形ABC。內(nèi)，且

.?.點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上，OM=^AB=2,

2

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,

：.AD^AB=2,ZDAB=90°,

???E是AD的中點(diǎn)，

DE=—AD=—x4=2,

22

?.?點(diǎn)E與點(diǎn)E關(guān)于DC對(duì)稱，

:.DE'=DE=2,PE=PE',

:.AE'=AD+DE'=4+2=6,

在RtAAOE,中，OE'=VAE,2+OA2=^62+22=2回,

線段PE+PM的最小值為：PE+PM=PE'+PM=ME'=OE'-OM=2M-2.

故答案為2&U-2.

8.（2022?東莞市一模）如圖，正方形ABCD中，AB=6,。是3c邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方

形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OE=2,連接DE,將線段DE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得DR,連接AE、CF.則

線段O尸長(zhǎng)的最小值為

【答案】3M-2

【詳解】如圖，連接。O,將線段OO繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得。連接Ob，F(xiàn)M,OM,

???ZEDF=ZODM=90°,

.\ZEDO=ZFDMf

在AEZX?與中，

DE=DF

<ZEDO=ZFDM,

DO=DM

:.AEDO=AFDM(SAS)f

:.FM=OE=2,

???正方形ABCD中，AB=6,O是5。邊的中點(diǎn),

/.OC=3,

:.OD=yj0C2+CD2=79+36=36,

OM=y]DO2+DM2=,45+45=3A/10,

■.■OF+MF..OM,

.-.OF..3A/W-2,

線段OF長(zhǎng)的最小值為3加-2,

故答案為：3M—2.

9.（2022?東莞市一模）在正方形ABCD中，點(diǎn)。、點(diǎn)G分別是斯形的中點(diǎn),

DE=2AE,有下列結(jié)論:

1

①AEOD三AFOB；@5^=5^；?BE=BOBD；④4sAs叱=45As0G；其中正確的結(jié)

論是—.（填寫序號(hào)）

【答案】①②

【詳解】①?.?四邊形ABCD是正方形，

:.AD//BC,

:.ZEDO=ZFBO.

又ZEOD=/FOB,OB=OD,

AEOD=\FOB（ASA）.

故①正確，符合題意.

②如圖，過(guò)點(diǎn)O作0H_L3C交于點(diǎn)〃，

,點(diǎn)（9是皮）中點(diǎn)，

:.OH=-AB.

2

由①可知AE0D=AFOB,

:.DE=BF,

:.AE^CF,

:.CF^-BF.

2

??,SAEFC=^ABCF=^-2OHCF=OHCF,

5AB°F=^BFOH=^-2CFOH=OHCF.

??S郎FC~SABOF'

故②正確，符合題意.

③設(shè)AE=a,則DE=2a,AB=3a,

根據(jù)勾股定理可得BE2=AB2+AE2=10a2,BD=7AB2+AD2=3垃a,

則BO-BD=K^-3&a=9a2,

2

BE2^BOBD,

故③錯(cuò)誤，不符合題意.

④之刃=；AB?DESg=；OHBG,

.-.SABDE^SABOG,

豐

??45ABzJE4sAsg,

故④錯(cuò)誤，不符合題意.

故答案為：①②.

10.（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E是邊3c上一動(dòng)點(diǎn)（不

與點(diǎn)5,。重合），過(guò)點(diǎn)石作交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)尸，交CD于點(diǎn)G,

連接AF.有下列結(jié)論：?AE=EF；?CF=42BE；?ZDAF=ZCEF；④ACEF面積

（把正確結(jié)論的序號(hào)都填上）

【答案】①②

【詳解】在A5上取點(diǎn)〃，使AH=￡C,連接EH,

???ZHAE+ZAEB=90°,Z.CEF+ZAEB=9G0,

:.ZHAE=ZCEF,

又???AH=CE,

:.BH=BE,

ZAHE=135°,

?.?CF是正方形外角的平分線，

.,.ZECF=135。，

:.ZAHE=ZECF,

在AA//E和AECF中，

NHAE=ZCEF

<AH=EC,

NAHE=NECF

:.\AHE=\ECF{ASA),

:.AE=EF,EH=CF,故①正確；

:.EH=^2BE,

:.CF=42BE,故②正確；

vZAHE=135°,

.?.NHAE+NAEH=45。,

又,；AE=EF,

.\ZEAF=45°,

ZHAE-}-ZDAF=45°,

:.ZAEH=ZDAFf

\ZAEH=ZEFC,

:.ZDAF=ZEFC,

而NFEC不一定等于ZEFC,

.?.ND4F不一定等于NFEC,故③錯(cuò)誤；

\-MHE=AECF,

,,SbAHE~SMEF，

設(shè)AH=x,貝1J5MH后=gx?（l-x）=一（/,

當(dāng)X=!時(shí)，5AA班取最大值為工，

28

.?.△CEF面積的最大值為工，故④錯(cuò)誤，

8

故答案為①②.

11.（2022?東莞市一模）如圖，在正方形ABCD中，AB=2,E為邊的上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC

上一點(diǎn).連接DE和AF交于點(diǎn)G,連接BG.若AE=BF,則3G的最小值為.

【答案】75-1

【詳解】如圖，取AD的中點(diǎn)T,連接3T,GT,

?.?四邊形ABCD是正方形，

：.AD=AB=2,ZDAE=ZABF=90。，

在AIM石和AAB廠中，

DA=AB

</DAE=ZABF,

AE=BF

:.ADAE=AABF(SAS)f

:.ZADE=ZBAF,

???Z^AF+ZZMF=90。，

/.ZEZM+ZZKF=90°,

:.ZAGD=90°,

\DT=AT,

GT=-AD=1,BT=ylAT2+AB2=^l2+22=^,

2

:.BG..BT-GT,

BG..>J5—1,

.?.3G的最小值為6-1.

故答案為：51.

12.（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖，函數(shù)y=62+笈+或〃，5，c為常數(shù)，且QWO）經(jīng)過(guò)

點(diǎn)（一1,0）、（m,0）,_&l<m<2,下列結(jié)論：

①abc<0；

?0<-—<-；

2a2

③若點(diǎn)A（-2,%）,3（2,%）在拋物線上，則“<%;

@ax2+bx+c=O,必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

其中結(jié)論正確的有—.（填序號(hào)）

【答案】②④

【詳解】?.?拋物線的開口方向向上,

:.a>0,

?.?拋物線的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，

/.--—>0,

2a

:.b<G,

?.,拋物線與y軸交于負(fù)半軸，

「.cvO,

:.abc>Q.

.?.①的結(jié)論不正確；

?.?函數(shù)y=/+far+c(a,b,c為常數(shù),且〃w0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一1,0)、(m,0),

拋物線的對(duì)稱軸為直線X=士'，

2

?.,拋物線的對(duì)稱軸為直線尤=-2,

2a

八b1

/.0<-----<—.

2a2

.?.②的結(jié)論正確；

?.?點(diǎn)A(-2，K),8(2,%)在拋物線上，

A(-2,%)到拋物線的對(duì)稱軸的距離大于2(2,%)到拋物線的對(duì)稱軸的距離，

；?%>%，

，③的結(jié)論不正確；

,拋物線>=辦2+6x+c與無(wú)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

，方程/+/?+。=(),必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

.?.④的結(jié)論正確，

結(jié)論正確的有：②④，

故答案為：②④.

13.(2022?東莞市一模)如圖，在扇形AQB中，NA06=90。，點(diǎn)C為。4的中點(diǎn)，CE±OA

交弧AB于點(diǎn)E,以點(diǎn)。為圓心，OC的長(zhǎng)為半徑作弧CD交QB于點(diǎn)D,若。4=4,則

陰影部分的面積為.

【答案】。+26

3

【詳解】連接OE、AE,

/點(diǎn)。為。4的中點(diǎn)，

.-.ZCEO=30°,ZEOC=60°,

「.AAEO為等邊三角形，

._60TTX42_8

一扇形AOL360一『

?*,S陰影—S扇形AO8-S扇形co。一(S扇形AOE—^COE

907rx42907rx2?

360360

=37r——+2^/^

3

=—7T+2^3.

3

14.（2022?東莞市一模）如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,BC=2,AADC

與AABC關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)石、尸分別是邊DC、5C上的任意一點(diǎn)，且。E=CF,BE、

DF相交于點(diǎn)P,則CP的最小值為.

【答案】竿

【詳解】如圖1,連接班＞,

RtAABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,BC=2,

，加述，*=迪

33

???AAZ)C與AABC關(guān)于AC對(duì)稱，

:,BC=DC,ZACD=ZACB=30°,

.\ZBCD=60°,

ABDC是等邊三角形，

:.BD=CD,ZBDC=ZBCD=60。,

?.?DE=CF,

??.ABDE二ADCF(SAS),

:.ZBED=ZDFC,

???ZBED+ZPEC=180。，

/.ZPEC+ZDFC=180°,

ZDCF+ZEPF=ZDCF+ZBPD=180°,

?/ZDCF=60°,

.-.ZBPD=120°,

由于點(diǎn)F在運(yùn)動(dòng)中保持ZBPD=120°,

如圖2,.?.點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑為：以A為圓心，AB為半徑的120。的弧,

連接AC與圓弧的交點(diǎn)即為點(diǎn)此時(shí)CP的長(zhǎng)度最小，

:.CP=AC-AP=處一巫=空,

333

則線段CP的最小值為空；

3

故答案為：巫.

3

15.（2022?中山市一模）如圖，在RtAABC中，AB=AC=10,4AC=90。，等腰直角AADE

繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，ZDAE=90°,AD=AE=4,連接DC,點(diǎn)〃、P、N分別為DE、DC、BC

的中點(diǎn)，連接八仍、PN、MN,則APAW面積的最小值是

E

【答案】-

2

【詳解】vAABC,AADE是等腰直角三角形，

:.AD=AE,AB=AC,ZBAC=ZDAE=90°,

.\ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,即44D=NC4E,

在AAZM和AAEC中，

AB=AC

<ABAD=/CAE,

AD=AE

:.\ADB=\AEC{SAS）,

:.DB=EC,ZABD=ZACE,

vM,N,尸分別是DE,DC,的中點(diǎn)，

:.MP//EC,MP=-EC,NP=-DB,NPUBD,

22

,\MP=NP,ZDPM=/DCE,ZPNC=ZDBC,

設(shè)NACE=x。，ZACD=y0,

.\ZABD=x°,NDBC=45。—x。=NPNC,ZDCB=45°-y°f

...ZDPM=x0+y°,ZDPN=ZDCB+/PNC=90°-x°-j°,

:.NMPN=90°且PN=PM,

/."MN是等腰直角三角形，

.-.S^=\PN2={BD2,

Zo

當(dāng)班）最小時(shí)，APMN的面積最小，

?.?點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，BD最小，最小值為10-4=6,

1Q

/.APMN的面積最小值為-x62=?,

82

故答案為：

2

16.（2022?中山市二模）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC=3,NADC=120。，點(diǎn)E為對(duì)角

線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則上4+￡8+即的最小值為

【答案】3

【詳解】以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將AAED旋轉(zhuǎn)60。到△M'D,連接EE',作37/_LZX4于H.

則DE'=DE,OA=DA,AE=AE',

.?.AME'為等邊三角形，

:.AE=EE',

:.EA+EB+ED=EE'+EB+E'D'..BD',

即EA+EB+ED的最小值為BD'.

ZADC=120°,四邊形ABCD為菱形，

ZDAB=60°,ZDAC=30°,

ZD'AE'=30°,

.?."'=30°,

ADAC=90°,

:.ZHAB=6O°,

■.■AC=3,

AD=AC=A/3=AB=BC,

.-.AH=-AB=-j3,

22

:.HB=43AH-s/3xy/3=-,

22

3

:.BD'=2HB=2x-=3,

2

即EA+EB+ED的最小值為3.

17.（2022?中山市模擬）如圖，矩形ABCD邊A￡>=3,的半徑為1,過(guò)邊3c上的一點(diǎn)

尸作射線PQ與。。相切于點(diǎn)Q,連接AP,當(dāng)ZAPB=ZQPC,AP+PQ=246時(shí),則NQPC

的最小值約為一度

13

分.（參考數(shù)據(jù)：sinll°32'=—,tan36°52'=-）

【答案】41,36

【詳解】如圖，設(shè)PQ與71D交于

延長(zhǎng)和交于點(diǎn)N,連接DN、DQ,

???射線PQ與。。相切于點(diǎn)Q，

:.DQINQ,DQ=T,

?；ZAPB=NQPC,ZQPC=ZBPN,

:.ZAPB=ZBPN,

\-BP±AN,

:.AP=PN,

:.NQ=AP+PQ=2y/6,

由勾股定理得：DN=g府=5,AN=^52-32=4,

An3

在RtAAND中，tanZA7VD=—=-,

AN4

3

,.?tan36°52'=—,

4

r

ZAND=36°52f

在RtANQD中，sinZDNQ=箓=(,

vsinll°32r=-,

5

ZDNQ=llo32f,

/.ZBNP=36°5Z-ll°32r=25°20r,

/.ZQPC=ZBPN=90°-25。20'=64°40r.

如圖2,如圖，設(shè)PQ與人。交于M,

延長(zhǎng)MP和AB交于點(diǎn)N,連接DN、DQ,

???射線PQ與OD相切于點(diǎn)Q,

:.DQINQ,DQ=1,

?.?ZAPB=NQPC,ZQPC=ZBPN,

:.ZAPB=ZBPN,

\-BP±AN.

:.AP=PN,

:.NQ=AP+PQ=2^/6,

由勾股定理得：DN=Q(2府=5,AN=^52-32=4,

ATJQ

在RtAAND中，tanNAM)=——二—,

AN4

3

???tan36°52'=—,

4

...ZA7VD=36052',

在RtANQD中，sinNDNQ=^=g,

?/sinll°32r=-,

5

:.ZDNQ=ir3T,

ZBNP=36。52'+ll°32r=48。24、

z.ZQPC=ZBPN=90°-48。24'=41°36r.

18.（2022?中山市一模）如圖，在AABC中，NABC=45。，45=3,AD_L5C于點(diǎn)。，

AC于點(diǎn)石，AE=1.連接DE,過(guò)點(diǎn)。作。方，交5石于點(diǎn)尸，則上長(zhǎng)度為

【答案】2一交

2

【詳解】\AD^BC,

,\ZABD=90°,

?.Z/WC=45。,

:.ZABD=ZBAD,

AD=BD,

?,又DELDF,

.\ZFDE=90°,

:.ZBDF=ZADE,

又???5￡_LAC,

.\ZEBC+ZC=90°,

vZC+ZZMC=90°,

.\ZEBC=ZDAC，

在ABED和中，

ZBDF=/ADE

<BD=AD9

ZFBD=ZDAE

:.ABFD=AAED(ASA),

:.DE=DF,BF=AE=1,

???AB=3,

BE=>jAB2-AE2==2A/2,

:.EF=BE-BF=2y/2-l,

:.DF=—EF=—(2^2-V)=2-—

222

故答案為：2一彳

19.（2022?中山市校級(jí)一模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,M是他的中點(diǎn)，P是BC

邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接以點(diǎn)P為圓心，長(zhǎng)為半徑作QP.當(dāng)O尸與正方形ABCD的邊

相切時(shí)，3尸的長(zhǎng)為.

【答案】3或4拓

【詳解】如圖1中，當(dāng)。尸與直線CD相切時(shí)，設(shè)PC=PM=x.

在RtAPBM中，PM2=BM2+PB2,

：.X2=4?+(8—尤了，

.\x=59

:.PC=5,BP=BC-PC=8-5=3.

如圖2中當(dāng)。尸與直線4）相切時(shí).設(shè)切點(diǎn)為K,連接PK,則尸KLAD,四邊形PKDC是

矩形.

:.PM=PK=CD=2BM,

:.BM=4,PM=8,

在RtAPBM中，PB=jG-4。=4』.

綜上所述，BP的長(zhǎng)為3或4班.

20.（2022?中山市三模）將一副學(xué)生常用的三角板如圖擺放在一起，組成一個(gè)四邊形ABCD,

連接AC,探究tanNACD的值為.

【答案】73+1

【詳解】過(guò)點(diǎn)A作AHLCB,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

?.?ZABD=90°,NDBC=45。,

ZABH=180°-ZABD-ZDBC=45°,

-.?ZAHB=90°,

.〔AAHB是等腰直角三角形，

:.設(shè)AH=BH=a,則AB=0AH=0a,

在RtAABD中，ZZMB=60°,

DB=\/3AB=y/6a,

在RtADBC中，ZDBC=45°,

BC=BD-cos45°=痘?正=嗎，

2

:.CH=BH+BC=a+j3a,

在RtACAH中，tan/C4H=^="島=1+退,

AHa

ZAHB=ZBCD=90°,

ZAHB+ZBCD=180°,

:.AH//DC,

:.ZACD=ZCAH,

tanZACD=tanACAH=也+1,

故答案為：A/3+1.

21.(2022?中山市三模)如圖，O"的半徑為4,圓心”的坐標(biāo)為(6,8),點(diǎn)P是QVf上

的任意一點(diǎn)，PALPB,且24、形與龍軸分別交于A、B兩點(diǎn),若點(diǎn)A、點(diǎn)3關(guān)于原點(diǎn)

O對(duì)稱，則AB的最小值為.

【詳解】連接OP,

-.■PA±PB,

:.ZAPB=90°,

AO=BO,

:.AB=2PO,

若要使AB取得最小值，則尸。需取得最小值，

連接OM,交于點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P位于P位置時(shí)，OP取得最小值,

過(guò)點(diǎn)M作MQ_Lx軸于點(diǎn)Q,

則OQ=6,MQ=8,

:.OM=10,

又；MP=4,

.-.OP=6,

.\AB=2OP=12,

故答案是：12.

22.（2022?珠海二模）如圖所示，設(shè)G是AABC的重心，過(guò)G的直線分別交AB,AC于點(diǎn)

P,。兩點(diǎn)，則堂+耍=

PAQA------

【詳解】過(guò)點(diǎn)5、C忤BEIIAD,CF//AD,交直線尸。于點(diǎn)石、F,

.?.四邊形班FC是梯形，

?.?G是AABC的重心，

「.AG=2OG,點(diǎn)。是5C的中點(diǎn)，

:.BE+CF=2DG,

.BE//GD,

.PB_BE

"PA-AG?

?.GDIICF,

.QCCF

'~QA~~AG'

.PB]QCBE]CFBE+CF2DG、

"PAQA~AGAG~AG~GA~'

故答案為：1.

23.（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，在AABC中，44C=30。，ZACB=45°,AB=4,

動(dòng)點(diǎn)P在邊AB上，連接CP將AACP沿直線CP翻折后得到△ACP,點(diǎn)A到直線AB距離

的最大值是.

【答案】1+6

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)3作出/_LAC于H,

在R