知識(shí)點(diǎn)一平面向量的概念

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

1.平面向量的相關(guān)概念

(1)向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量.

(2)向量的表示：用有向線段瓦片或Z表示，但注意有向線段與向量并不等價(jià).

(3)向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的長度，記作卜目或同.

(4)零向量：大小為0,方向任意的向量.

(5)單位向量：大小為1,方向任意的向量.

(6)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的兩個(gè)向量，基線包括平行或共線兩種情況.

(7)相等向量：大小相等，方向相同的兩個(gè)向量.

(8)相反向量：大小相等，方向相反的兩個(gè)向量.

【例題分析】

例1.(2024春?中山市月考)下列說法正確的是()

A.若|乙|=出|,則訝=5B.若1//5,bile,則商//1

c.若成=蘇,蘇=后，則沆=后D.若百石=a-e,貝

例2.(2024春?楊浦區(qū)校級(jí)期中)下列說法錯(cuò)誤的是()

A.若花//石,bile,則萬/分

B.若d=5,b=c,貝!I彳=Z5

C.若萬與B是非零向量且商//方，則％與方的方向相同或者相反

D.若商，5都是單位向量，則團(tuán)|=出|

例3.(2024春?廣西月考)下列說法錯(cuò)誤的是()

A.|AC|=|G4|B.a,B都是單位向量，則除|=|5|

C.若|荏|>|麗^\AB>CDD.零向量方向任意

例4.（2024春?聊城期中）對(duì)于任意兩個(gè)向量凡5,則下列命題中正確的是（）

A.\a+b\..\a\+\b\

B.\a-b\..\a\~\b\C.若。與5共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)2,使得5=4商

D.若。,B滿足|4|>出|,且1與5同向，貝!

例5.（2024春?河北區(qū)校級(jí)月考）關(guān)于向量方,反視下列命題中正確的是（）

A.若|4|=出|,則&=5B.若1//5,貝“M//1

C.若a=B,則商//3D.若|々|>|51,則。>5

【變式訓(xùn)練】

1.（2024春?太和縣校級(jí)月考）關(guān)于平面向量，下列說法正確的是（）

A.向量可以比較大小B.向量的?？梢员容^大小

C.速度是向量，位移是數(shù)量D.零向量是沒有方向的

2.（2024春?保定期中）下列結(jié)論正確的是（）

A.平行向量的方向都相同B.單位向量都相等

C.零向量與任意向量都不平行D.兩個(gè)單位向量之和可能仍然是單位向量

3.（2024春?回民區(qū)月考）設(shè)B是兩個(gè)非零向量，則下列描述正確的有（）

A.若|1+5|=|萬|-|5|,則存在實(shí)數(shù)4>0,使得苕=".B.若貝US+方|=陌-5|.

C.若|1+5|=|萬|+|5|,則B反向.D.若4//B,則乙，b一定同向

4.（2024春?五華區(qū)校級(jí)月考）如圖，在OO中，向量的，反，血是（）

c

A.共線向量B.相等的向量C.模相等的向量D.有相同起點(diǎn)的向量

5.（2024春?福建月考）下列說法正確的是（）

A.若。//五，石//},則乙//1B.若乙=方，則2N<35

C.對(duì)任意非零向量亙是和它同向的一個(gè)單位向量D.零向量沒有方向

\a\

知識(shí)點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

1.平面向量的線性運(yùn)算

UUUUUUUUIU

(1)向量的加法:首尾相連，由頭指尾，即AB+BC=AC；

UUUULUUUUL

(2)向量的減法:起點(diǎn)相同，由后指前，即A8-AC=C3；

(3)向量的數(shù)乘:一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)彳與向量。的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做數(shù)乘，記作它的長度和

方向規(guī)定如下:

①朋=|川同;

②；1>0時(shí)，2。的方向與。的方向相同；當(dāng)2<0時(shí),2a與a的方向相反；4=0時(shí)，Aa=0.

（4）常見結(jié)論

Irrrrrrr11rrr

①a—b4a+b<a+，當(dāng)。與人共線且同向時(shí),a+b=口+b當(dāng)a與b共線且反向時(shí),a+b=

rrrrrar-br=ar+忖當(dāng):與方共線且同向時(shí),rrr

②a-b4a-b<a+M，當(dāng)〃與人共線且反向時(shí),a-b=

UUU1uuuuuuUUIU

③在YABCZ)中，記a=AB,0=AD,a+b=AC,a—b=DB.

1uim1uuuiuuu1zrr、

④在VABC中，記。=AB,Z?=AC,5C中點(diǎn)為。，則=+

【例題分析】

例1.（2024春?潮安區(qū)校級(jí)期中）已知四邊形ABCD為正方形，則下列等式中成立的是（)

A.BC+CD=DBB.BA+BC=DBC.AB+AD=BCD.AB+BD=BC

例2.(2024春?東莞市期中)DC+AB-AC=()

A.DBB.BCC.ADD.CB

例3.（2023春?潮陽區(qū)校級(jí)期中）在四邊形ABCD中，AB=a+2b,BC=-4a-b,6=-5"3石，則四邊形ABCD

的形狀是（）

A.長方形B.平行四邊形C.菱形D.梯形

例4.（2023春?順德區(qū)校級(jí)期中）已知羽=苕+5石，BC=-2a+8b,CD=3（a-b）,貝U（）

A.A、B、。三點(diǎn)共線B.A、B、C三點(diǎn)共線

C.B、C、。三點(diǎn)共線D.A、C、。三點(diǎn)共線

【變式訓(xùn)練】

1.（2024春?電白區(qū)期中）化簡麗+麗+變的結(jié)果等于（)

A.QPB.OQC.SPD.SQ

2.（2024春?寶安區(qū)月考）在AOMN中，ON-MN+MO=（)

A.0B.2MOC.2OMD.0

3.（2023春?東莞市校級(jí)月考）下列各式中結(jié)果為零向量的是（)

A.AB+MB+W+OMB.AB-AD-DC

C.OA+OC+W+COD.AB-AC+BD-CD

4.(2023春?龍華區(qū)校級(jí)期中)如圖，在正六邊形ABCDEF中，AF-ED+EF+2.AB=()

A.6B.ABC.ADD.CF

知識(shí)點(diǎn)三平面向量的基本定理

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

1.平面向量基本定理：如果之、2是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量有且只有一對(duì)

實(shí)數(shù)4、4,使得a=46+4e2;

2.平面向量的共線定理：向量力與非零向量;共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)幾，使￡=彳石.

3.三點(diǎn)共線：若點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)共線,點(diǎn)。不在A、B、C所在直線上，則存在唯一的X與〃，使得

U1XLUUUUU

03=；1。4+〃0。，且4+〃=1.

【例題分析】

例1.已知，，窈是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是(

A.〃=o，b=G+4B.a=3,+3弓，b=ex+e2

IUU一一—11tLi一—.

C.a=ex-2e2,b=ei+e2D.a=q-2/，人=26一4%

例2.(2024?汕頭模擬)已知四邊形ABCD是平行四邊形，BE=2EC,DF=FC,則麗=()

1?1?1?1?1?1?1,1?

A.一一AB+-ADB.一一AB一一ADC.――AB+-ADD.――AB一一AD

23233232

例3.(2022?新高考I)在AABC中，點(diǎn)。在邊上，BD=2DA.記雄=沅，CD=n,則方=()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3fh+2nD.2m+3n

例4.(2023?花都區(qū)校級(jí)模擬)如圖，在AABC中,點(diǎn)。為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E,尸分別是線段AD上靠近￡),

A的三等分點(diǎn)，則而=()

4—?—?

C.-BE-CFD.一一BE-CF

339

例5.（2024?福田區(qū)校級(jí)模擬）點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的中心，E為40的中點(diǎn)，若力g=X衣+〃而，則;[-〃=（

311

A.1B.-C.--D.-

422

【變式訓(xùn)練】

1.設(shè)《工是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的一組是（）

A.2q—4和26—4,B.G—2/和6

C.,+弓手口G—2/D.,+弓不口24+ex

2.（2024?番禺區(qū)校級(jí)模擬）已知在AABC中，點(diǎn)。在邊3c上，且麗=5/，則通=（）

1.5?1—?5?1—?4?4?1,

A.-AB+-ACB.-AC+-ABC.-AB+-ACD.-AB+-AC

66665555

3.（2024?順德區(qū)模擬）在AABC中，AB=a,AC=b,若ZC=2反，配=2反，線段AD與5石交于點(diǎn)/，則CF=（

）

A.-a-\--bB.—a——bC.-—a+—bD.——a——b

33333333

__kko__,__.

4.（2024?中山市校級(jí)模擬）AABC中，。為3c中點(diǎn)，設(shè)向量荏=4，AC=b,AE=-BC,則力后=（）

2

A.-2.a+bB.2a-bC.a—2bD.—a+2b

5.（2020?海南）在AABC中，。是AB邊上的中點(diǎn)，則而=（）

A.2CD+CAB.CD-2,CAC.2CD-CAD.CD+2C4

6.（2023春?順德區(qū)校級(jí)期中）已知荏=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3（a-S）,則（）

A.A、B、。三點(diǎn)共線B.A、B、C三點(diǎn)共線

C.B、C、。三點(diǎn)共線D.A、C、。三點(diǎn)共線

知識(shí)點(diǎn)四平面向量的數(shù)量積

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

1.斗cose（。為。與方的夾角，夾角必須有公共起點(diǎn)）；

2.若a_L"則；了=0；

rr

=|a|-|a|-cosO=|a|-|a|,即什r2

3.a-a=a；

|a|-cos^=a-bx1

4二在力上的投影為-RT;a在6上的投影向量為

5.若a與b所稱之角為銳角，則。人＞0且。與b不共線；若。與b所稱之角為鈍角，則。人＜0且a與b不共線.

【例題分析】

例1.（2022?甲卷）設(shè)向量5的夾角的余弦值為L且|乙|=1,|5|=3,則（2商+方）-5=

3

例2.（2020?新課標(biāo)H）已知單位向量5的夾角為45。，妨-5與4垂直，則左=

例3.（2020?新課標(biāo)I）設(shè)1，5為單位向量，且|々+5|=1,則|6-5|=

例4.（2024?新高考H）已知向量日,B滿足：|萬|=1,舊+25|=2,且巧一2彷，5,則出|=（）

￡

A.RD.垃--D.1

22

例5.（2020?新課標(biāo)HI）已知向量商，方滿足I商1=5,出|=6,ab--6,則cos<萬，a+b>={）

3119

A.B.C.以D.12

35353535

例6.（2023?新高考H）已知向量日,5滿足I商一用=若,\a+b\^2a-b\,則|B|=

例7.（2022?上海）若平面向量|初=|5|=|川=2,且滿足小石=0,a-c=2,b-c=\,則2=

例8.（2021?新高考H）已知向量1+5+1=0,|a|=1,\b\^c\=2,^a-b+b-c+c-a=

例9.（2021?甲卷）若向量苕,5滿足|刈=3,|商-昨5,ab=l,則|方|=

例10.（2023?赤坎區(qū)二模）已知向量萬，B滿足|日+方|=3,|萬一方|=2,則萬?方=（）

A.-B.-C.-D.-

2345

例H.（2024?廣東模擬）若兩個(gè)非零向量茯，B滿足|4+5|=|萬-51=2問，則向量商+B與d的夾角為（）

27r

A.-B.—C.D—

63T6

例12.（2023?深圳一模）已知b為單位向量，5.133-5*1=7,則M與方-5的夾角為（)

A.三B,二C.71D—

33~66

例13.（2020?北京）已知正方形ABCD的邊長為2,點(diǎn)尸滿足Q=g（通+痔，則|麗|=；PBPD=

例14.（2024?白云區(qū)模擬）已知商，分是夾角為120。的兩個(gè)單位向量，若向量力+%5在向量N上的投影向量為21,

則2=（）

A.-2B.2C.--D.—

33

【變式訓(xùn)練】

1.（2021?上海）如圖正方形ABCD的邊長為3,求福./=

2.（2021?浙江）已知非零向量b,c,貝?。荨盁ocB”是"商=5"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2020?新課標(biāo)H）已知單位向量方的夾角為60。，則在下列向量中，與5垂直的是（

A.a+2.bB.2a+bC.a—2bD.2a—b

4.（2022?乙卷）已知向量5滿足|菊=1,|5|=百，g-25|=3,則無5=（）

A.-2B.-1C.1D.2

5.（2024?潮陽區(qū)模擬）若4方都為非零向量，且。，。+2后），|4+3加=|2萬-5|,則向量的夾角為（）

A.-B.—C.-D.—

4433

6.（2024?東莞市一模）在AABC中，|荏|=4,|*|=3,|通+/|=|交貝|/?就=（）

A.-16B.16C.-9D.9

7.（2023?廣州二模）已知兩個(gè)非零向量萬,B滿足|商|=3|5|,(a+b)rb,則cos〈扇5〉=()

A.-B.--C.-D.--

2233

8.（2023?乙卷）正方形ABCD的邊長是2,E是AB的中點(diǎn)，貝I皮?麗=（）

A.A/5B.3C.275D.5

9.(2023?甲卷)向量|商|=|5|=1,|e|=J?,J=La+5+c=O>貝!Jcos。-*,b-c')=()

24

A-4B-C.-D.-

55

10.（2024?湛江一模）已知向量萬，B均為單位向量，1,若向量萬=百1+后B與向量萬的夾角為。，貝!1cos6=（

）

「君

A.BB.巫u(yù).—un.-岳-----

55105

11.（2024?海珠區(qū)模擬）己知單位向量,與￡的夾角為（，則4+2可與2家-31的夾角為（）

A-TB-tc->D-7

12.（2024?荔灣區(qū)模擬）己知|菊=出|=1,|1+刈=百，則%在5上的投影向量為（）

A&1-C

A.—茯nB.—a-與D.產(chǎn)

22

13.（2024?羅湖區(qū)模擬）已知|加|=2|可，若力與5的夾角為120。，則2。-5在方上的投影向量為（）

-3f1--

A.-3bB.--bC.――bD.3b

22

知識(shí)點(diǎn)五平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

1.平面向量的正交分解與坐標(biāo)運(yùn)算

(1)設(shè)。=(再，％),b=(x2,y2),貝！J

①?！?。=(七±21±%)；

②&z=(4%,4yJ；

③a?b=+%%；

@a//b0a=2b0玉=a/，%=2%=%%一尤2%=0<?—=—(xw0,%w0).

'一_%%2」

⑤aJoa?〃=0o玉元2+X%=0；

⑥|a|=y/aa=Jx；+y；.

(2)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(%i，%),B(x2,y2),AB=(x2-xi,y2-yiy

+%%

(3)夾角問題：,."5=a?司?cos6C0S〈Q,0>=.?,?=,——

14H舊

【例題分析】

例1.(2022?乙卷)已知向量4=(2,1),石=(-2,4),則|”昨()

A.2B.3C.4D.5

例2.(2022?港澳臺(tái))已知向量苕=(x+2,l+x),5=(X-2,1-X).若商//B,貝U()

A.x2=2B.|尤|=2C.x2=3D.|A-|=3

例3.(2020?新課標(biāo)I)設(shè)向量1=(1,-1),5=(m+1,2根-4),若々，B,則機(jī)=

例4.(2024?新高考I)已知向量彳=(0,1),石=(2,尤)，若萬)，貝壯=()

A.-2B.-1C.1D.2

例5.(2023?新高考I)已知向量4=(1,1),=(1,-1).若(1+C方)，(2+〃方)，貝！J()

A.Z+//=1B./1+〃=—1C.加=1D.A//=—1

例6.(2023?北京)已知向量五，B滿足商+B=(2,3),a-^=(-2,1),則—出『=()

A.-2B.-1C.0D.1

例7.(2022?新高考n)已知向量M=(3,4),5=(1,0),c—a+tb若vM,c>=<b?c>,則/=()

A.—6B.—5C.5D.6

例8.(2021?港澳臺(tái))已知向量商=(cosO,sin。)，5=(3,-4),則商0的最大值是()

A.7B.5C.4D.1

例9.(2021?新高考I?多選)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)片(cosa,sinar),(cos/?,-sin(3),P3(cos(tz+/3),sin(a+￡)),

A(l,0)，貝1()

A.|可|=|四|B.|亞|=|南|

C.OAO^=O^OP^D.OAO^=O^O^

【變式訓(xùn)練】

1.(2023?上海)已知向量商=(3,4),5=(1,2),貝二商一2石=.

2.(2022?甲卷)已知向量a=(〃?,3),b=(l,m+l).若萬_1_方，則力?=

3.(2021?乙卷)已知向量益=(2,5),方=(44),若商//石,則;1=.

4.(2021?乙卷)已知向量日=(1,3),方=(3,4),若("痛方,則彳=

5.(2021?甲卷)已知向量，=(3,1),5=(1,0),c=a+kb.若斤_11,則左=____.

6.(2023?甲卷)已知向量1=(3,1),b=(2,2),則cos〈M+』,a-b)=()

A.±B.叵「小n2君

171755

7.(2023?港澳臺(tái))設(shè)向量4=(2,x+l),方=(尤-2,-1),若商，5,則x=()

A.5B.2C.1D.0

8.(2024?佛山模擬)已知平面向量日=(-1,2),5=(3,4),則M在5上的投影向量為()

(-|「：)B.(|令'W)。?居

知識(shí)點(diǎn)六以向量為背景的多結(jié)論問題

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

1.若求平面向量的數(shù)量積，常見的處理方法有以下四種：

(1)方法一：定義直接展開：a-5=|a|-|5|-cos0;

1u1rrirrrirrrr

(2)方法二：線性運(yùn)算代換：若a=Im+rm,則〃?辦um+mn\lbIm?bimlb；

(3)方法三：建系坐標(biāo)代換：若。=(%,%)力(%，%)，貝Ua?b再當(dāng)+%>2；

(4)方法四：利用三角函數(shù)進(jìn)行代換：在RfVABC中，C為直角，a=csinA=ccosB=btanA,在任意AABC

中，可利用正弦定理-^=—竺=—^=27?進(jìn)行轉(zhuǎn)換；

sinAsinBsinC

適用條件：

①若已知同、聞和夾角e,可用方法一；

②若口、M與。存在未知數(shù)且能線性代換，可用方法二；

③若存在直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、菱形、矩形、正方形、直角梯形等特殊圖形，可用方法三;

④若存在直角三角形或知道兩角一邊，可利用方法四.

2.以平面向量的數(shù)量積為背景的最值問題常見處理方法

(1)方法一：三角函數(shù)法：若代數(shù)式可化為+6的性質(zhì)，可利用三角函數(shù)的值域進(jìn)行求解；

(2)方法二：基本不等式法：若代數(shù)式可化為/+1的形式，可利用基本不等式進(jìn)行求解；

t

(3)方法三：二次函數(shù)法：若代數(shù)式可化為成2+初+c的形式，可利用二次函數(shù)進(jìn)行求解；

(4)方法四：投影法：若a?b，申|cosq中，已知"或"，則"xcosq或.xcosq可利用向量投影進(jìn)行求解；

注意事項(xiàng)：①不管使用哪種方法求最值，均需討論最值何時(shí)能取到；

②若換元，則需注意新變量的取值范圍.

3.常見結(jié)論

1UUU1uuiu11uumIIuum

在YABCD中，記a==ACIBD=O,a+b=AC,a-b=DB.

UUIQizrr、

(1)AO=^yi+by

rrrr

(2)若a+b=a-b則a_L。.

iiiiiiiirr

(3)^a+bla-b,或者a+。平分a與b的夾角，則。b

【例題分析】

題型一：利用三角函數(shù)求最值

例1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知AABC中，AB=3,AC=4,BC=5,點(diǎn)尸在平面/阿內(nèi)，CP=1,貝U

Q.而的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

例2.（2023?全國?高一專題練習(xí)）若荏.〃=而=4,且網(wǎng)=1，則爐通的最大值為（）

A.-2B.-4C.2D.4

例3.已知矩形ABCD的邊長A5=2,AD=4,點(diǎn)P,。分別在邊5C,CD±,且/24。=（，則萬?題

的最小值為.

題型二：利用基本不等式求最值

例1.（2023春?重慶北培?高一西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）平面向量Z,5滿足忖=2同，且忖-陷=3,貝玲

與Z-5夾角的余弦值的最大值是（）

A.-立B.--C.1D.在

2222

、91T

例2.（2023?全國?高一專題練習(xí)）在AASC中，ZABC=—,AC邊的中點(diǎn)為〃且9=1,則3ABe的最大

值為（）

A.2B.3C.2?D.4

例3.（2023春?廣東云浮?高一?？茧A段練習(xí)）在AABC中，〃為勿上一點(diǎn).若而=4而+〃砌彳>0,〃>0）,

21

則不+一的最小值為（）

A.72B.2+2夜C.3+2應(yīng)D.4+20

例4.（2022秋?湖南岳陽?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知面積為6的直角AABC中，P,。為斜邊3C上的兩個(gè)三等分

點(diǎn)，則而?通的最小值為（）

題型三：利用二次函數(shù)求最值

例1.（2023春?全國?高一專題練習(xí)）如圖，在等腰直角“LBC中，斜〕力BC=4,為線段回上的動(dòng)點(diǎn)，且

MN=1,則畫乙麗的最小值為（）

A

;

BMNC

1315

A.—B.—C.4D.6

44

例2.（2023?全國?高一專題練習(xí)）AABC是邊長為6的等邊三角形，（mE分別在邊AC,BC±,且

DE1BC,則方屋詼的最小值為（）

A27口27「27n27

A.——B.—C.——D.-

488T

例3.（2023?全國?高一專題練習(xí)）邊長為2的正六邊形ABCD跖中,〃為邊切上的動(dòng)點(diǎn)，則誠.礪的最小

值為（）

,1513

A.—B.6C.4D.-

4，

例4.（2021春?陜西渭南?高一?？茧A段練習(xí)）如圖,在矩形ABCD中，點(diǎn)￡是2（7的中點(diǎn)，點(diǎn)戶在8上.

⑴若點(diǎn)尸是8上靠近C的三等分點(diǎn)，設(shè)方=4而+〃AD,求幾+〃的值；

（2）若AB=2,BC=A/^,求4p.斯的最值.

AB

例5.（2023春?江蘇鹽城?高一鹽城中學(xué)校考階段練習(xí)）在△極:中，AB=2,AC=3,AB=2DB，EC=2AE，

BEBC=3.

⑴求角力和龍的長；

（2）若〃是線段〃?上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），求力麗?麗的最值.

題型四：利用投影法求最值

例1.（2023春?廣東佛山?高一佛山市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，正六邊形ABCDE產(chǎn)邊長為1,記四=a,

從點(diǎn)A、B、C、D、E、廠這六點(diǎn)中任取兩點(diǎn)為分的起點(diǎn)和終點(diǎn)，則的最大值為.

例2.（2022春?上海楊浦?高一上海市控江中學(xué)?？计谥校┮阎沁呴L為1的正六邊形ABCDE尸的邊上的任

意一點(diǎn)，則衣.通的取值范圍是.

例3.（2022?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知P是邊長為2的正六邊形A5CDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則而.說的取值范圍是

知識(shí)點(diǎn)七奔馳定理與四心問題

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

1.奔馳定理：己知P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，則有S△p2DwC-?西+SApirMiC.?而+Sp△ArrlzBj?定=0.

推論：若P為AABC內(nèi)任意一點(diǎn)，且x-AX+y?而+z?無=0,則.

2.三角形內(nèi)心:

①定義：三角形內(nèi)接圓圓心，三角形內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)，內(nèi)心到三角形各邊距離相等.

UUUULUIUL

②性質(zhì)：若尸為三角形的內(nèi)心，則SBPC:SAPC：SAPBa:b:c0a,PA+b?PB+c-PC=。=

UUUULUUU

sinA-PA+sinB-PB+sinC-PC=0.

ULUIUL1LHUUUULUI

證明：由奔馳定理知SBPCPA-\-PCPB=0

iuuniamiiumrr

:.-BCrPA+-AC-rPB+-AB-rPC=0

222

,即.

3.三角形外心:

①定義：三角形外接圓圓心，三角形各邊的垂直平分線的交點(diǎn)，到頂點(diǎn)距離相等(R4=P3=PC=—^).

2sinA

UllUULUUU

②性質(zhì)：若尸為三角形的外心，則sin24PA+sin25?PB+sin2cpe=005皿：5.：5.=

sin2A:sin2B:sin2C.

ULUUUUIUUULUU

證明：由奔馳定理知,/N+SMB-尸c+Sipc,尸片=0

iuuniuumiumrr

：.-PB-PC-sinZBPC-PA+-PA-PC-