專(zhuān)題01函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（數(shù)學(xué)文化）

一、單選題

1.（2022春?遼寧沈陽(yáng)?高二校聯(lián)考期末）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)

定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯

伊茲?布勞威爾（L.E.J.Brouwer）,簡(jiǎn)單的講就是對(duì)于滿(mǎn)足一定條件的連續(xù)函數(shù)/（x）存在一個(gè)點(diǎn)％,使得

/（%）=%,那么我們稱(chēng)該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，下列為“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”的是（）

A./(x)=2X+xB.f(x)=x2-x+3

2X2-1,X<1

C./(x)=<D./(x)=—+2x

|2-x|,x>1x

2.（2023?高一單元測(cè)試）上高中的小黑為弟弟解答《九章算術(shù)》中的一個(gè)題目：今有田，廣15步，縱16

步，此田面積有多少畝？翻譯為：一塊田地，寬15步，長(zhǎng)16步，則這塊田有多少畝？小黑忘記了畝與平

方步之間的換算關(guān)系，只記得一畝約在200—250平方步之間，則這塊田地的畝數(shù)是（）

A.1B.1C.-D.2

22

3.（2021秋?高一課時(shí)練習(xí)）圓的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)與圓的半徑的比例稱(chēng)為白銀比例，它在東方文化中的重

要程度不亞于西方文化中的“黃金比例”.山西應(yīng)縣釋迦塔（即著名的應(yīng)縣木塔），是中國(guó)現(xiàn)存較為古老的木

構(gòu)塔式建筑.該木塔總高度與頂層檐柱柱頭以下部分的高度之比與白銀比例高度吻合.已知木塔頂層檐柱

柱頭以下部分的高度為46.83米，則應(yīng)縣木塔的總高度大約是（）（參考數(shù)據(jù)：血。1.414）

B.63.23米

C.66.22米D.70.50米

4.（2022秋?江蘇揚(yáng)州?高一揚(yáng)州中學(xué)校考階段練習(xí)）國(guó)棋起源于中國(guó)，春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期已有記載，隋唐時(shí)經(jīng)朝

鮮傳入日本，后流傳到歐美各國(guó).圍棋蘊(yùn)含著中華文化的豐富內(nèi)涵，它是中國(guó)文化與文明的體現(xiàn).圍棋使用方

形格狀棋盤(pán)及黑白二色圓形棋子進(jìn)行對(duì)弈，棋盤(pán)上有縱橫各19條線(xiàn)段形成361個(gè)交叉點(diǎn)，棋子走在交叉點(diǎn)

上，雙方交替行棋，落子后不能移動(dòng)，以圍地多者為勝.圍棋狀態(tài)空間的復(fù)雜度上限為尸=3361據(jù)資料顯示

P

宇宙中可觀測(cè)物質(zhì)原子總數(shù)約為。=108。，則下列數(shù)中最接近數(shù)值g的是（）（參考數(shù)據(jù)：1g3。0.477）

A.1089B.IO90C.1091D.1092

5.（2021秋?江蘇?高一專(zhuān)題練習(xí)）據(jù)中國(guó)地震臺(tái)網(wǎng)測(cè)定，2021年9月16日4時(shí)33分，四川省瀘州市瀘縣

發(fā)生里氏6.0級(jí)地震.已知地震時(shí)釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)”之間的關(guān)系為

lgE=4.8+L5M.據(jù)止匕測(cè)算，2021年3月20日17時(shí)09分在日本本州東岸近海發(fā)生的7.0級(jí)地震所釋放出的

能量，約是該次瀘縣地震所釋放出來(lái)的能量的多少倍？（精確到1;參考數(shù)據(jù)：A/10?3.16）（）

A.19B.23C.32D.41

6.（2022秋?四川成都?高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）美國(guó)生物學(xué)家和人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家雷蒙德?皮爾提出一種能較好地描

述生物生長(zhǎng)規(guī)律的生長(zhǎng)曲線(xiàn)，稱(chēng)為“皮爾曲線(xiàn)”，常用的“皮爾曲線(xiàn)”的函數(shù)解析式可以簡(jiǎn)化為

（尸＞0,?＞1,左＜0）的形式.已知/0）=d條工（xeN）描述的是一種果樹(shù)的高度隨著時(shí)間x（單位：年）變化

的規(guī)律，若剛栽種時(shí)該果樹(shù)的高為1m,經(jīng)過(guò)一年，該果樹(shù)的高為2.5m,則該果樹(shù)的高度超過(guò)4.8m,至少

需要（）

附:log23ad.585

A.3年B.4年C.5年D.6年

7.（2021秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）開(kāi)普勒（八股加”1571~1630）,德國(guó)天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家，他發(fā)現(xiàn)了

八大行星與海王星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：它們公轉(zhuǎn)時(shí)間的平方與離太陽(yáng)平均距離的立方成正比，已知天王星離太陽(yáng)

的平均距離是土星離太陽(yáng)平均距離的2倍，土星的公轉(zhuǎn)時(shí)間約為10753d,則天王星的公轉(zhuǎn)時(shí)間約為（）

A.38024B.30409"C.608184D.91228d

8.（2021秋?廣東東莞?高一校考階段練習(xí)）中國(guó)古代十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法在世界數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造.

據(jù)史料推測(cè)，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國(guó)初年，算籌計(jì)數(shù)的方法是：個(gè)位、百位、萬(wàn)位……的數(shù)按縱式的

數(shù)碼擺出：十位、千位、十萬(wàn)位……的數(shù)按橫式的數(shù)碼擺出.如7738可用算籌表示_1開(kāi)三］口.

123456789

縱式IIIillIllimilTITTH

橫式=三±=Lii

1-9這9個(gè)數(shù)字的縱式與橫式的表示數(shù)碼如圖所示，則圖片TT=M表示的結(jié)果和下列相同的是（）

A.34B.3啥64C.812D.210g226

9.（2022秋?遼寧朝陽(yáng)?高一建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）中文“函數(shù)（function）”一詞，最早是由近代數(shù)學(xué)家

李善蘭翻譯出來(lái)的，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，即函數(shù)

指一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化，下列四組函數(shù)，表示同一函數(shù)的是（）

A./(x)=1,g(x)=x°B./(x)=x(xeR)與g(x)=無(wú)原eZ)

x,尤NO

C./(x)=|x|與g(x)=D.f(x)=Jx+2-y/x—2,g(x)=\]x2—4

-x,x<0

10.（2022秋?山東煙臺(tái)?高三?？茧A段練習(xí)）質(zhì)數(shù)也叫素?cái)?shù)，17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家馬林-梅森曾對(duì)“2。（P

是素?cái)?shù)）型素?cái)?shù)進(jìn)行過(guò)較系統(tǒng)而深入的研究，因此數(shù)學(xué)界將“2。-l”（p是素?cái)?shù)）形式的素?cái)?shù)稱(chēng)為梅森素?cái)?shù).已

N

知第12個(gè)梅森素?cái)?shù)為加=2⑵-1，第14個(gè)梅森素?cái)?shù)為N=26s-1,則下列各數(shù)中與最接近的數(shù)為（）

7MT

參考數(shù)據(jù)：1g2。0.3010

A.IO140B.10,42C.10144D.10145

IL（2022.貴州貴陽(yáng)?高三貴陽(yáng)一中校考階段練習(xí)）辛亥革命發(fā)生在辛亥年，戊戌變法發(fā)生在戊戌年.辛亥年、

戊戌年這些都是我國(guó)古代的一種紀(jì)年方法.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十個(gè)符號(hào)叫天干；子、

丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二個(gè)符號(hào)叫地支.按天干地支順序相組配用來(lái)紀(jì)年叫干支

紀(jì)年法.例如：天干中“甲”和地支中“子”相配即為“甲子年”，天干中“乙”和地支中“丑”相配即為“乙丑年”，以

此紀(jì)年法恰好六十年一循環(huán).那么下列干支紀(jì)年法紀(jì)年錯(cuò)誤項(xiàng)是（）

A.庚子年B.丙卯年C.癸亥年D.戊申年

12.（2022秋?湖南懷化?高一統(tǒng)考期末）繆天榮（1914-2005）,浙江人，著名眼科專(zhuān)家、我國(guó)眼視光學(xué)的開(kāi)

拓者.上世紀(jì)50年代，我國(guó)使用“國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)視力表”檢測(cè)視力，采用“小數(shù)記錄法”記錄視力數(shù)據(jù)，繆天榮發(fā)現(xiàn)

其中存在不少缺陷.經(jīng)過(guò)3年苦心研究，1958年，他成功研制出“對(duì)數(shù)視力表”及“5分記錄法”.這是一種既符

合視力生理又便于統(tǒng)計(jì)和計(jì)算的視力檢測(cè)系統(tǒng),使中國(guó)的眼視光學(xué)研究站在了世界的巔峰.“5分記錄法”將視

力Z和視角。（單位：，）設(shè)定為對(duì)數(shù)關(guān)系：L=5-lga.如圖，標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表中最大視標(biāo)E的視角為10,，

則對(duì)應(yīng)的視力為L(zhǎng)=5-lgl0=4.0.若小明能看清的某行視標(biāo)E的大小是最大視標(biāo)石的!（相應(yīng)的視角為

2.5'）,取lg2=0.3,則其視力用“5分記錄法”記錄（

標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表

E

sm

EUJ

lUEm

SEUJ

A.3.6B.4.3C.4.6D.4.7

13.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）瑞典著名物理化學(xué)家阿倫尼烏斯通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)獲得了化學(xué)反應(yīng)速率常數(shù)隨

溫度變化的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，利用回歸分析的方法得出著名的阿倫尼烏斯方程：=其中左為反應(yīng)速率常

數(shù)，R為摩爾氣體常量，T為熱力學(xué)溫度，紇為反應(yīng)活化能，4A>0）為阿倫尼烏斯常數(shù).對(duì)于某一化學(xué)反

應(yīng)，若熱力學(xué)溫度分別為（和4時(shí)，反應(yīng)速率常數(shù)分別為K和%（此過(guò)程中R與耳，的值保持不變），經(jīng)計(jì)算

Ek

F=M,若心=2工，則ln，=（）

A.yB.MC.4MD.2M

14.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）隨著社會(huì)的發(fā)展，人與人的交流變得廣泛，信息的拾取、傳輸和處理變得

頻繁，這對(duì)信息技術(shù)的要求越來(lái)越高，無(wú)線(xiàn)電波的技術(shù)也越來(lái)越成熟.其中電磁波在空間中自由傳播時(shí)能

量損耗滿(mǎn)足傳輸公式：乙=32.44+201gO+201gF,其中。為傳輸距離，單位是km,尸為載波頻率，單位

是MHz,L為傳輸損耗（亦稱(chēng)衰減），單位為dB.若載波頻率增加了1倍，傳輸損耗增加了18dB,則傳輸

距離增加了約（參考數(shù)據(jù)：但220.3,lg420.6）（）

A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

15.（2022?遼寧?撫順市第二中學(xué)校聯(lián)考三模）一熱水放在常溫環(huán)境下經(jīng)過(guò)f分鐘后的溫度T將合公式：

t_

了一（二13/其中7；是環(huán)境溫度，”為熱水的初始溫度，〃稱(chēng)為半衰期.一杯85℃的熱水，放置

在25℃的房間中，如果熱水降溫到55℃,需要10分鐘，則一杯100℃的熱水放置在25℃的房間中，欲降

溫到55℃,大約需要多少分鐘？（）（1g2?0.3010,1g3^0.4771）

A.11.3B.13.2C.15.6D.17.1

16.（2022春.安徽宣城.高二安徽省宣城中學(xué)統(tǒng)考期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中

有一道兩鼠穿墻問(wèn)題：“今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半,

問(wèn)何日相逢？”，意思是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對(duì)分別打洞穿墻，大、小鼠第一天都進(jìn)一

尺，以后每天大鼠加倍，小鼠減半，則在第幾天兩鼠相遇？這個(gè)問(wèn)題體現(xiàn)了古代對(duì)數(shù)列問(wèn)題的研究，現(xiàn)將

墻的厚度改為10尺，則在第（）天墻才能被打穿？

A.3B.4C.5D.6

17.（2022?陜西渭南?統(tǒng)考一模）中國(guó)的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：

C=Wlog2（l+'）.它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號(hào)的

平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小.其中一叫做信噪比，當(dāng)信噪比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可

N

以忽略不計(jì).按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W,而將信噪比三從1000提升至6000,則。的增長(zhǎng)率為（）

N

（1g2?0.3010,lg3?0.4771）

A.10%B.16%C.26%D.33%

18.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉曾得到這樣的結(jié)論：小于數(shù)字x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)可以表示為Mx卜*.根

Inx

據(jù)歐拉得出的結(jié)論，可估計(jì)105以?xún)?nèi)的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)為（）（注：素?cái)?shù)即質(zhì)數(shù)，Ige?0.4343）

A.2172B.4343C.869D.8686

19.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）中國(guó)古代十進(jìn)位制的算籌記數(shù)法在世界數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造.據(jù)史

料推測(cè)，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國(guó)初年，算籌記數(shù)的方法是：個(gè)位、百位、萬(wàn)位...的數(shù)按縱式的數(shù)碼

擺出；十位、千位、十萬(wàn)位...的數(shù)按橫式的數(shù)碼擺出.如7738可用算籌表示為工=3.

縱式：IIIIIIllimuTnww

橫式：一一11xix

123456789

1-9這9個(gè)數(shù)字的縱式與橫式的表示數(shù)碼如上圖所示，貝1」3陶64的運(yùn)算結(jié)果可用算籌表示為（）

A.

C.D.W

20.（2022秋?河北邢臺(tái)?高一邢臺(tái)一中校考階段練習(xí)）17世紀(jì)，蘇格蘭數(shù)學(xué)加皮納爾在研究天文學(xué)過(guò)程中，

為了簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算，發(fā)明了對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)的思想方法即把乘方、乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法、加法運(yùn)算，從而簡(jiǎn)化

運(yùn)算過(guò)程.數(shù)學(xué)家拉普朗斯稱(chēng)贊“對(duì)數(shù)的發(fā)明在實(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長(zhǎng)了許多倍”，現(xiàn)代物理學(xué)之

父伽利略評(píng)價(jià)“給我空間、時(shí)間及對(duì)數(shù)，我可以創(chuàng)造一個(gè)宇宙”.已知坨2。0.3010,貝合儂所在的區(qū)間為（）

A.（1O1O,1O30）B.（1O29,1O30）C.（1O3°,1O31）D.（1031,1032）

21.（2022秋?北京海淀?高三北大附中?？茧A段練習(xí)）成書(shū)于約兩千多年前的我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》

中記載了通過(guò)加減消元求解〃元一次方程組的算法，直到擁有超強(qiáng)算力計(jì)算機(jī)的今天，這仍然是一種效率極

高的算法.按照這種算法，求解〃元一次方程組大約需要對(duì)實(shí)系數(shù)進(jìn)行C/（C為給定常數(shù)）次計(jì)算.1949

年，經(jīng)濟(jì)學(xué)家萊昂提夫?yàn)檠芯俊巴度氘a(chǎn)出模型”（該工作后來(lái)獲得1973年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)），利用當(dāng)時(shí)的計(jì)算

機(jī)求解一個(gè)42元一次方程組，花了約56機(jī)時(shí).事實(shí)上，他的原始模型包含500個(gè)未知數(shù)，受限于機(jī)器算力

而不得不進(jìn)行化簡(jiǎn)以減少未知數(shù).如果不進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)未知數(shù)個(gè)數(shù)估計(jì)所需機(jī)時(shí)，結(jié)果最接近于（）

A.1（）3機(jī)時(shí)B.機(jī)時(shí)C.機(jī)時(shí)D.1（）6機(jī)時(shí)

22.（2021秋?陜西渭南?高一統(tǒng)考期中）把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是看（℃）,空氣

的溫度是4（℃）,經(jīng)過(guò)/分鐘后物體的溫度TCC）可由公式T="+（Z-幻摩乃求得.把溫度是9（rc的

物體，放在10。＜2的空氣中冷卻，分鐘后，物體的溫度是5CTC,那么r的值約等于（參考數(shù)據(jù)：山3。1.10,

ln2它0.69）（）

A.1.76B.2.76C.2.98D.4.40

23.（2021秋?陜西榆林?高一陜西省神木中學(xué)校考階段練習(xí)）中國(guó)清朝數(shù)學(xué)家李善蘭在1859年翻譯《代數(shù)學(xué)》

中首次將加所”譯做：“函數(shù)”，沿用至今，為什么這么翻譯，書(shū)中解釋說(shuō)“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此

為彼之函數(shù)”.已知集合M={-M,2,4},N={1,2,4,16},給出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)法則，請(qǐng)由函數(shù)定義判斷，其中能

構(gòu)成從M到N的函數(shù)的是（）

A.y=2xB.y=x+2

C.y=/D.y=x2-l

24.（2021秋?江蘇揚(yáng)州?高三?？计谥校┪覈?guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入

微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中我們常用函數(shù)的圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，

入3-3X

也常用函數(shù)的解析式來(lái)琢磨函數(shù)的圖象的特征.函數(shù)/（尤）=I,的部分圖象大致為（）

l」n\e-e

25.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù),

用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)xeR,用[x]表示不超過(guò)關(guān)的最大整數(shù)，則>=口]稱(chēng)為高斯函數(shù)，也稱(chēng)取整

函數(shù)，例如：[-3.7]=-4,[2.3]=2.已知==--則函數(shù)y="（初的值域?yàn)椋ǎ?/p>

e+12

A.{0}B.{-1,0）C.{-2,-1,0}D.{-1,0,1）

26.（2021?江蘇?高二專(zhuān)題練習(xí)）我們把分子、分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱(chēng)為號(hào)型，比如：當(dāng)xf0時(shí),

口“一

1的極限即為0《型.兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必

x0

達(dá)法則：在一定條件下通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法.如：

xx

].e-1r（，T）evxo1同Im'"”.二（）

lim-------=hm---------=lim—=hme=e=1f人"巴-i~

%->0%x->0￡x->0Ix->0%-1

A.0B.JC.1D.2

27.（2022秋.河南駐馬店?高一校考期中）意大利畫(huà)家達(dá)?芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下

自然下垂，那么項(xiàng)鏈所形成的曲線(xiàn)是什么？這就是著名的“懸鏈線(xiàn)問(wèn)題”，其中雙曲余弦函數(shù).就是一種特殊

的懸鏈線(xiàn)函數(shù).其函數(shù)表達(dá)式為coshx=C二，相應(yīng)的雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式為sinhx=三^.設(shè)函數(shù)

22

〃力=洶詈，若實(shí)數(shù)機(jī)滿(mǎn)足不等式/（2〃2+3）+/（-M）>。，則M的取值范圍為（）

A.（-1,3）B.（-3,1）

C.（-3,3）D.（f,-3）u（l,E）

28.（2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）高斯是世界著名的數(shù)學(xué)家之一，他一生成就極為豐碩僅以他的名字“高斯”

命名的成果就多達(dá)110個(gè)，為數(shù)學(xué)家中之最.對(duì)于高斯函數(shù)了=[可，其中[可表示不超過(guò)了的最大整數(shù)，如

[1,7]=1,[-1.2]=-2,㈤表示實(shí)數(shù)x的非負(fù)純小數(shù),gp{x}=x-[x],{1.7}=0.7,{-1.2}=0.8.若函數(shù)

y={x}-l+loSax（。＞0,且。力1）有且僅有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（2,3]B.[2,3）C.（3,4]D.[3,4）

29.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）十八世紀(jì)，數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了公式sinx=x-反+反-且

3!5!7!

2n-lQ2O4O6o2n-2

++其中〃eN*,xeR,^7，=1-—+—-—+---+（-l）,,-1—~…，下列選項(xiàng)中

（2〃-l）!2!4!6!\2n-2y.

與T的值最接近的是（）

A.—cos8°B.—sin8°C.—cosl8°D.—sinl80

30.（2022秋?江蘇鎮(zhèn)江?高三江蘇省丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）意大利著名天文學(xué)家伽利略曾錯(cuò)誤地猜

測(cè)鏈條自然下垂時(shí)的形狀是拋物線(xiàn).直到1690年，雅各布?伯努利正式提出該問(wèn)題為“懸鏈線(xiàn)”問(wèn)題并向數(shù)學(xué)

界征求答案.1691年他的弟弟約翰?伯努利和菜布尼茲、惠更斯三人各自都得到了正確答案，給出懸鏈線(xiàn)的

數(shù)學(xué)表達(dá)式為雙曲余弦型函數(shù)：〃x）=acosh2=a?竺上二鹿為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.當(dāng)。=2時(shí)，記2=〃-2）,

機(jī)?=/（!）＞則p,m,”的大小關(guān)系為（）

A.根<p<nB.m<n<p

C.n<m<pD.p<m<n

31.（2022.天津?yàn)I海新.天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形

時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖

象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來(lái)研究函數(shù)圖象的特征.我們從這個(gè)商標(biāo)人人中抽象出一個(gè)

如圖所示的圖象，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可能是（）

y

cos6x

B.f(x)=

2X-2-X

sin6x

f(x)=

D.|2%-2-%|

32.（2022秋?福建廈門(mén)?高三廈門(mén)雙十中學(xué)?？计谥校┘{皮爾是蘇格蘭數(shù)學(xué)家，其主要成果有球面三角中的

納皮爾比擬式、納皮爾圓部法則（1614）和納皮爾算籌（1617）,而最大的貢獻(xiàn)是對(duì)數(shù)的發(fā)明，著有《奇妙

的對(duì)數(shù)定律說(shuō)明書(shū)》，并且發(fā)明了對(duì)數(shù)表，可以利用對(duì)數(shù)表查詢(xún)出任意對(duì)數(shù)值.現(xiàn)將物體放在空氣中冷卻，如

果物體原來(lái)的溫度是北（℃）,空氣的溫度是4（℃）,經(jīng)過(guò)f分鐘后物體的溫度T（°C）可由公式

t=4[log3口-幻-摩3（T-幻]得出；現(xiàn)有一杯溫度為70℃的溫水，放在空氣溫度為零下10℃的冷藏室中，

則當(dāng)水溫下降到10℃時(shí)，經(jīng)過(guò)的時(shí)間約為（）參考數(shù)據(jù)：1g220.301,1g370.477.

A.3.048分鐘B.4.048分鐘C.5.048分鐘D.6.048分鐘

33.（2022秋?江蘇南京?高一江蘇省高淳高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)聲源亦稱(chēng)為“球面聲源”或“簡(jiǎn)單聲源”，

為機(jī)械聲源中最基本的輻射體，點(diǎn)聲源在空間中傳播時(shí)，衰減量與傳播距離廠（單位：米）的關(guān)系視為

△L=101g<（單位：dB）,取lg5在0.7,貝什從5米變化到80米時(shí)，衰減量的增加值約為（）

A.18dBB.20dBC.24dBD.27dB

二、多選題

34.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）17世紀(jì)初，約翰?納皮爾為了簡(jiǎn)化計(jì)算而發(fā)明了對(duì)數(shù).對(duì)數(shù)的發(fā)明是數(shù)學(xué)史

上的重大事件，恩格斯曾經(jīng)把笛卡爾的坐標(biāo)系、納皮爾的對(duì)數(shù)、牛頓和萊布尼茲的微積分共同稱(chēng)為17世紀(jì)

的三大數(shù)學(xué)發(fā)明.我們知道，任何一個(gè)正實(shí)數(shù)N可以表示成N=axl0"（l4a<10,〃eZ）的形式，兩邊取常

用對(duì)數(shù)，則有l(wèi)gN=〃+lg。，現(xiàn)給出部分常用對(duì)數(shù)值（如下表），則下列說(shuō)法中正確的有（）

真數(shù)X2345678910

1gX(近似值)0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.000

真數(shù)X111213141516171819

1gX(近似值)1.0411.0791.1141.1461.1761.2041.2301.2551.279

A.>在區(qū)間(KAI。')內(nèi)

B.2$。是15位數(shù)

C.若2-5°=oxl0'"(lVa<10,機(jī)eZ),貝卜找=一16

D.若12(〃zeN*)是一個(gè)35位正整數(shù)，則加=12

35.(2021秋.重慶沙坪壩.高三重慶南開(kāi)中學(xué)?？茧A段練習(xí))懸鏈線(xiàn)是平面曲線(xiàn)，是柔性鏈條或纜索兩端固

定在兩根支柱頂部，中間自然下垂所形成的外形，在工程中(如懸索橋、雙曲拱橋、架空電纜)有廣泛的

應(yīng)用.當(dāng)微積分尚未出現(xiàn)時(shí)，伽利略猜測(cè)這種形狀是拋物線(xiàn)，直到1691年萊布尼茲和伯努利利用微積分推

導(dǎo)出懸鏈線(xiàn)的方程y=；,其中。為參數(shù).當(dāng)c=i時(shí)，我們可構(gòu)造出雙曲函數(shù)：雙曲正弦函數(shù)

sinh(x)=《『和雙曲余弦函數(shù)cosh(x)=￡f.關(guān)于雙曲函數(shù)，下列結(jié)論正確的是()

A.sinh(-%)=-sinh(x)B.(cosh(x))'=-sinh(x)

C.cosh(-1)<cosh(2)D.[sinh(x)]~_[cosh(x)丁=1

36.(2021秋?浙江湖州?高一校聯(lián)考期中)在一個(gè)展現(xiàn)人腦智力的綜藝節(jié)目中，一位參加節(jié)目的少年能將圓

周率萬(wàn)準(zhǔn)確地記憶到小數(shù)點(diǎn)后面200位，更神奇的是，當(dāng)主持人說(shuō)出小數(shù)點(diǎn)后面的位數(shù)時(shí)，這位少年都能準(zhǔn)

確地說(shuō)出該數(shù)位上的數(shù)字.如果記圓周率萬(wàn)(=3.14159265358979323846264338327950288...)小數(shù)點(diǎn)后第"位

上的數(shù)字為y,則y是關(guān)于〃的函數(shù)，記為y=/（〃）.設(shè)此函數(shù)定義域?yàn)锳,值域?yàn)?,則關(guān)于此函數(shù)，下列

說(shuō)法正確的有（）

A.-2gAB.3.14GB

C./⑷=5D.值域?8={xeN|x<10}

37.（2022秋?吉林通化?高一?？茧A段練習(xí)）中國(guó)清朝數(shù)學(xué)家李善蘭在1859年翻譯《代數(shù)學(xué)》中首次將，制〃仃汕?'

譯做：“函數(shù)”，沿用至今，為什么這么翻譯，書(shū)中解釋說(shuō)“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)1930

年美國(guó)人給出了我們課本中所學(xué)的集合論的函數(shù)定義.已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4,16},

給出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)法則，請(qǐng)由函數(shù)定義判斷，其中能構(gòu)成從/到N的函數(shù)的是（）

A.y=2xB.y=x+2C.y=\x\D.y=x2

38.（2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)概念最早是在17世紀(jì)由德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨提出的，后又經(jīng)歷了貝努

利、歐拉等人的改譯.1821年法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西給出了這樣的定義：在某些變數(shù)存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給

定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著確定時(shí)，則稱(chēng)最初的變數(shù)叫自變量，其他的變數(shù)叫做函數(shù).德

國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立的集合論使得函數(shù)的概念更嚴(yán)謹(jǐn).后人在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了高中教材中的函數(shù)定義：“一

般地，設(shè)A,8是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按某種對(duì)應(yīng)法則了,對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素x,在集合8中都有

唯一的元素》和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)叫做從A到8的一個(gè)函數(shù)”.下列對(duì)應(yīng)法則/滿(mǎn)足函數(shù)定義的有（）

A./（|x-2|）=xB./（%+1）=X2+2X

C./Qj=xD.f（X2+2X）=|X+1|

39.（2022秋?廣西柳州?高一統(tǒng)考期中）中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對(duì)稱(chēng)美”，如圖所示的太極

圖是由黑白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱(chēng)統(tǒng)一的形式美、和諧美.定義：圖象

能夠?qū)A。的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩部分的函數(shù)稱(chēng)為圓0的一個(gè)“太極函數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）

A.對(duì)于任意一個(gè)圓。，其“太極函數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè)

B.函數(shù)/（尤）=彳3可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“太極函數(shù)

C.函數(shù)/'（》）=!可以是某個(gè)圓的“太極函數(shù)”

X

D.函數(shù)y=是“太極函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y=/（%）的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形

三、填空題

,1,XG2

40.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）十九世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷（。加,"7府）提出了“狄利克雷函數(shù)"D（尤）={］

0,無(wú)

“狄利克雷函數(shù)”在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程中有著重要意義.根據(jù)“狄利克雷函數(shù)”求得

￡＞（D（2+r＞（V2）］+D（＞/3+D（3）））=.

41.（2022.全國(guó)?高一假期作業(yè)）2021年3月20日，國(guó)家文物局公布，四川三星堆考古發(fā)掘取得重大進(jìn)展,

考古人員在三星堆遺址內(nèi)新發(fā)現(xiàn)6座祭祀坑，經(jīng)碳14測(cè)年法測(cè)定，這6座祭祀坑為商代晚期遺址，碳14

測(cè)年法是根據(jù)碳14的衰變程度測(cè)度樣本年代的一種測(cè)量方法，己知樣本中碳14的原子數(shù)N隨時(shí)間/（單位：

年）的變化規(guī)律是N=N02「贏，則該樣本中碳14的原子數(shù)由N。個(gè)減少到+個(gè)時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間（單位：

年）為?

42.（2021春?福建南平?高二校考期中）Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者

根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)13的單位:天）的Logistic模型：/⑺=-~1e，

其中K為最大確診病例數(shù).當(dāng)/（f*）=0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則/*約為.（參考數(shù)據(jù)：

Ini9a3）

43.（2021秋.江蘇?高一專(zhuān)題練習(xí)）田忌賽馬是中國(guó)古代對(duì)策論與運(yùn)籌思想的著名范例，故事中齊將田忌與

齊王賽馬，孫臏獻(xiàn)策以下馬對(duì)齊王上馬，以上馬對(duì)齊王中馬，以中馬對(duì)齊王下馬，結(jié)果田忌一負(fù)兩勝?gòu)亩?/p>

獲勝，該故事中以局部的犧牲換取全局的勝利成為軍事上一條重要的用兵規(guī)律，在比大小游戲中（大者為

勝），已知我方的三個(gè)數(shù)為a=0.32］，/；=iog30.8,°=3。%對(duì)方的三個(gè)數(shù)以及排序如表：

第一局第二局第三局

對(duì)方30.90.027

則我方必勝的排序是.

44.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文的過(guò)程中，通過(guò)對(duì)運(yùn)算體系的研究，最終

找到了簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算的有效工具，發(fā)明了對(duì)數(shù)，這是數(shù)學(xué)史上的大事件.他的朋友布里格斯構(gòu)造了現(xiàn)在常

用的以10為底的常用對(duì)數(shù)Igx,并出版了常用對(duì)數(shù)表，以下是部分?jǐn)?shù)據(jù)（保留到小數(shù)點(diǎn)后三位），瑞士數(shù)學(xué)

家歐拉則在1770年指出了“對(duì)數(shù)源于指數(shù)”，根據(jù)下表中的參考數(shù)據(jù)和指對(duì)數(shù)之間關(guān)系，判斷下面的結(jié)論，

其中正確的序號(hào)是.

①4°在區(qū)間（lOFO'）內(nèi)；

②250是15位數(shù)；

③若3期=左xlO"'（"左<10,加eZ）,則％=-9；

④若〃嚴(yán)（meN*）是一個(gè)70位正整數(shù)，則加=5.

參考數(shù)據(jù)如下表：

真數(shù)X235711131719

1gX（近似值）0.3010.4770.6990.8451.0411.1141.2301.279

45.（2021秋?河南信陽(yáng)?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）水車(chē)在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類(lèi)的一項(xiàng)古老發(fā)明，

也是人類(lèi)利用自然和改造自然的象征.如圖是一個(gè)半徑為R的水車(chē)，一個(gè)水斗從點(diǎn)A（L-6）出發(fā)，沿圓周

按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)6秒.經(jīng)過(guò)f秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到P點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（x,y）,其

縱坐標(biāo)滿(mǎn)足y=〃O=Rsin3+0，2O,0>O,|d<m，則當(dāng)問(wèn)0,加）時(shí)，函數(shù)就恰有2個(gè)極大值，則相

的取值范圍是.

46.（2022?江蘇連云港?模擬預(yù)測(cè)）建筑學(xué)中必須要對(duì)組合墻的平均隔聲量進(jìn)行設(shè)計(jì).組合墻是指帶有門(mén)或

窗等的隔墻，假定組合墻上有門(mén)、窗及孔洞等幾種不同的部件，各種部件的面積分別為H，邑，…，（單

位：m2）,其相應(yīng)的透射系數(shù)分別為q,2，…，如，則組合墻的實(shí)際隔聲量應(yīng)由各部分的透射系數(shù)的平均

值5確定：,于是組合墻的實(shí)際隔聲量（單位：dB）為R=41nl.已知某墻的透射

系數(shù)為白，面積為20m2,在墻上有一門(mén)，其透射系數(shù)為白，面積為2m2,則組合墻的平均隔聲量約為

dB.（注：

47.（2022春?河南安陽(yáng)?高二統(tǒng)考階段練習(xí)）德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾是集合論的創(chuàng)始人，以其名字命名的“康托爾

塵?！弊鞣ㄈ缦拢旱谝淮尾僮?，將邊長(zhǎng)為1的正方形分成9個(gè)邊長(zhǎng)為;的小正方形，保留靠角的4個(gè)，刪除

其余5個(gè)；第二次操作，將第一次剩余的每個(gè)小正方形繼續(xù)9等分，并保留每個(gè)小正方形靠角的4個(gè)，其

余正方形刪除；以此方法繼續(xù)下去，經(jīng)過(guò)〃次操作后，若要使保留下來(lái)的所有小正方形的面積之和不超過(guò)卷

則至少需要操作的次數(shù)為.(1g2=0.3010,1g3=0.4771)

48.(2022?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí))1883年，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托提出了二分康托集，亦稱(chēng)康托爾集.下圖是其構(gòu)造

過(guò)程的圖示，其詳細(xì)構(gòu)造過(guò)程可用文字描述為：第一步，把閉區(qū)間［。1］平均分成三段，去掉中間的一段，

12

剩下兩個(gè)閉區(qū)間。京和［§』］;第二步，將剩下的兩個(gè)閉區(qū)間分別平均分為三段，各自去掉中間的一段，剩

下四段閉區(qū)間：［0,5，弓,1］；如此不斷的構(gòu)造下去，最后剩下的各個(gè)區(qū)間段就構(gòu)成了三

分康托集.若經(jīng)歷〃步構(gòu)造后，就202不1屬于剩下的閉區(qū)間，則〃的最小值是_____.

2022

49.(2022秋?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱市第一中學(xué)校?？计谥?在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)

里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲?布勞威爾^LEJBrouwer),簡(jiǎn)

單的講就是對(duì)于滿(mǎn)足一定條件的圖象不間斷的函數(shù)/