2．2不等式2．2.1不等式及其性質(zhì)【課程標(biāo)準(zhǔn)】理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì)．教

材

要

點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一實(shí)數(shù)大小比較1．文字?jǐn)⑹鋈绻鸻－b是________，那么a＞b；如果a－b________，那么a＝b；如果a－b是________，那么a＜b，反之也成立．正數(shù)等于0負(fù)數(shù)2．符號(hào)表示a－b＞0?a________b；a－b＝0?a________b；a－b＜0?a________b．>＝<狀元隨筆1.不等式“a≤b”的含義是“a＜b”或“a＝b”．2．比較兩實(shí)數(shù)a，b的大小，只需確定它們的差a－b與0的大小關(guān)系，與差的具體數(shù)值無關(guān)．因此，比較兩實(shí)數(shù)a，b的大小，其關(guān)鍵在于經(jīng)過適當(dāng)變形，能夠確認(rèn)差a－b的符號(hào)，變形的常用方法有配方、分解因式等．知識(shí)點(diǎn)二不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對(duì)稱性a＞b?________可逆2傳遞性a＞b，b＞c?________

3可加性a＞b?___________可逆4可乘性________c的符號(hào)____________b<aa>ca＋c>b＋cac<bcac<bc5同向可加性_____________同向6同向同正可乘性________同向7可乘方性a＞b＞0?_____________(n∈N，n≥2)同正8可開方性a＞b＞0?____________(n∈N，n≥2)同正a＋c>b＋dac>bdan>bn

狀元隨筆(1)性質(zhì)3是移項(xiàng)的依據(jù)．不等式中任何一項(xiàng)改變符號(hào)后，可以把它從一邊移到另一邊．即a＋b＞c?a＞c－b.性質(zhì)3是可逆性的，即a＞b?a＋c＞b＋c.(2)注意不等式的單向性和雙向性．性質(zhì)1和3是雙向的，其余的在一般情況下是不可逆的．(3)在應(yīng)用不等式時(shí)，一定要搞清它們成立的前提條件．

不可強(qiáng)化或弱化成立的條件．要克服“想當(dāng)然”“顯然成立”的思維定勢(shì)．知識(shí)點(diǎn)三證明問題的常用方法方法定義綜合法從__________出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)過逐步推導(dǎo)最后得到結(jié)論的方法．分析法從要證明的__________，__________使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止．反證法首先假設(shè)結(jié)論的________成立，然后由此進(jìn)行推理得到矛盾，最后得出假設(shè)不成立．反證法是一種間接證明的方法．已知條件結(jié)論出發(fā)逐步尋求否定基

礎(chǔ)

自

測(cè)1．大橋橋頭豎立的“限重40噸”的警示牌，是提示司機(jī)要安全通過該橋，應(yīng)使車和貨物的總質(zhì)量T滿足關(guān)系(

)A．T＜40B．T＞40 C．T≤40D．T≥40答案：C解析：“限重40噸”是不超過40噸的意思．2．設(shè)M＝x2，N＝－x－1，則M與N的大小關(guān)系是(

)A．M＞NB．M＝NC．M＜ND．與x有關(guān)答案：A

3．已知x＜a＜0，則一定成立的不等式是(

)A．x2＜a2＜0B．x2＞ax＞a2C．x2＜ax＜0D．x2＞a2＞ax答案：B解析：因?yàn)閤<a<0，不等號(hào)兩邊同時(shí)乘a，則ax>a2；不等號(hào)兩邊同時(shí)乘x，則x2>ax，故x2>ax>a2.題型1比較大小例1比較x2－x和x－2的大?。鸢福阂?yàn)?x2－x)－(x－2)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，又因?yàn)?x－1)2≥0，所以(x－1)2＋1≥1＞0，從而(x2－x)－(x－2)＞0，因此x2－x＞x－2.狀元隨筆通過考察這兩個(gè)多項(xiàng)式的差與0的大小關(guān)系，可以得出它們的大小關(guān)系．方法歸納用作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的步驟

答案：(1)∵(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，∴x2＋3>2x.(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，∵a>0，b>0，且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0，∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.狀元隨筆

答案：C

狀元隨筆

方法歸納(1)首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì)．(2)解決有關(guān)不等式選擇題時(shí)，也可采用特值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循以下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗(yàn)證計(jì)算．跟蹤訓(xùn)練2

(1)已知a＜b，那么下列式子中，錯(cuò)誤的是(

)A．4a＜4b B．－4a＜－4bC．a(chǎn)＋4＜b＋4 D．a(chǎn)－4＜b－4答案：B

解析：根據(jù)不等式的性質(zhì)，a<b，4>0?4a<4b，A項(xiàng)正確；a<b，－4<0?－4a>－4b，B項(xiàng)錯(cuò)誤；a<b?a＋4<b＋4，C項(xiàng)正確；a<b?a－4<b－4，D項(xiàng)正確．狀元隨筆利用不等式的性質(zhì)，解題關(guān)鍵找準(zhǔn)使不等式成立的條件．

答案：ABD解析：對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)c<0時(shí)，不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)c＝0時(shí)，不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，∵ac2>bc2，∴c≠0，c2>0，∴一定有a>b，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)a>0，b<0時(shí)，不正確．題型3利用不等式性質(zhì)求范圍[經(jīng)典例題]例3已知－2＜a≤3，1≤b＜2，試求下列代數(shù)式的取值范圍：(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b.答案：(1)∵－2<a≤3，∴|a|∈[0，3].(2)∵－2<a≤3，1≤b<2，∴－2＋1<a＋b<3＋2，∴－1<a＋b<5.(3)依題意得－2<a≤3，－2<－b≤－1，相加得－4<a－b≤2.(4)由－2<a≤3得－4<2a≤6，①由1≤b<2得－6<－3b≤－3，②由①②得－10<2a－3b≤3.狀元隨筆運(yùn)用不等式性質(zhì)研究代數(shù)式的取值范圍，關(guān)鍵是把握不等號(hào)的方向．方法歸納利用不等式性質(zhì)求取值范圍的一般思路(1)借助性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同向不等式相加進(jìn)行解答；(2)借助所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件；(3)結(jié)合不等式的傳遞性進(jìn)行求解．跟蹤訓(xùn)練3

(1)已知實(shí)數(shù)x，y滿足：1＜x＜2＜y＜3，①求xy的取值范圍；②求x－2y的取值范圍．答案：(1)①∵1<x<2<y<3，∴1<x<2，2<y<3，則2<xy<6，則xy的取值范圍是(2，6)．②由(1)知1<x<2，2<y<3，從而－6<－2y<－4，則－5<x－2y<－2，即x－2y的取值范圍是(－5，－2)．(2)若－2<x＋y≤2且－1≤x－y≤1，則z＝4x＋2y的最大值是________．7

(3)用反證法證明：若a，b，c∈R，且x＝a2－2b＋1，y＝b2－2c＋1，z＝c2－2a＋1，則x，y，z中至少有一個(gè)不小于0.答案：假設(shè)x，y，z均小于0，即x＝a2－2b＋1<0

①，y＝b2－2c＋1<0

②，z＝c2－2a＋1<0

③，①＋②＋③得x＋y＋z＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2<0，這與(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2≥0矛盾，則假設(shè)不成立，∴x，y，z中至少有一個(gè)不小于0，即得證．

方法歸納利用不等式的性質(zhì)證明簡單不等式的實(shí)質(zhì)及注意點(diǎn)(1)實(shí)質(zhì)：就是根據(jù)性質(zhì)把不等式變形．(2)注意點(diǎn)：①記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用；②應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．證明不等式常選用綜合法，對(duì)于不方便用綜合法證明的不等式可以靈活選擇分析法與反證法．

a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥0

答案：C

答案：A

答案：D

3．(5分)[2024·寧夏中寧一中階段練習(xí)]已知實(shí)數(shù)x，y滿足1≤x－y≤2，2≤x＋y≤4，則4x－2y的取值范圍是(

)A．[3，12]B．[5，10] C．[6，12]D．[3，10]答案：B

答案：AD

二、填空題(每小題5分，共15分)5．(5分)已知a，b均為實(shí)數(shù)，則(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)(填“>”“<”或“＝”)．<解析：因?yàn)?a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．

④

161解析：①設(shè)蔬菜水果類店面m間，其中m∈N*，則2400×80%≤28m＋20(80－m)≤2400×85%，解得，40≤m≤55，則兩類店面間數(shù)的建造方案共有55－40＋1＝16種；②由題意可得：mx＋0.8(80－m)≥80×0.9x(40≤m≤55)，整理為關(guān)于m的一元一次不等式，可得：(x－0.8)m－72x＋64≥0(40≤m≤55)，由題意可轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一元一次不等式在40≤m≤55恒成立，所以(x－0.8)×40－72x＋64≥0，且(x－0.8)×55－72x＋64≥0，解得x≤1，故x的最大值為1萬元．8．(10分)比較大小：(1)a2＋b2和2(a－b－1)；答案：因?yàn)閍2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b－1)．

9．(17分)已知－1<x<4，2<y<3.(1)求x－y的取值范圍；(2)求3x＋2y的取值范圍．答案：(1)因?yàn)椋?<x<4，