工程數(shù)學(xué)主

編

馬玉

高琰

盧靜極限與連續(xù)第二章目錄數(shù)列的極限01函數(shù)的極限02極限運(yùn)算與兩個(gè)重要極限03無窮大與無窮小04CONTENTS行業(yè)PPT模板/hangye/函數(shù)的連續(xù)性05函數(shù)的連續(xù)性06用MATLAB求極限07第一節(jié)數(shù)列的極限01一、數(shù)列極限的定義01

定義2.1.1如果按照某一法則,對(duì)每個(gè)n∈N+,都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)an,那么這些實(shí)數(shù)an按照下標(biāo)n從小到大排列得到的一個(gè)序列a1,a2,a3,a4,…,an,…稱為數(shù)列,記作數(shù)列{an}.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng),第n項(xiàng)an稱為數(shù)列的通項(xiàng)(或一般項(xiàng)),表示通項(xiàng)的公式稱為通項(xiàng)公式.例如,數(shù)列1,3,5,…,2n-1,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是2n-1.

定義2.1.2如果當(dāng)無窮數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí),an無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A,那么A就稱為數(shù)列{an}的極限,或稱數(shù)列{an}收斂于A.記作

01二、數(shù)列極限的運(yùn)算法則

下面介紹數(shù)列極限的運(yùn)算法則,利用這些法則可以求某些復(fù)雜的數(shù)列的極限.第二節(jié)函數(shù)的極限02一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限02

現(xiàn)在考慮自變量x的變化過程為x→x0.如果在x→x0的變化過程中,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限接近于確定的數(shù)值A(chǔ),那么就說A是f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限.下面給出自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限的定義.

定義2.2.1設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0的某空心鄰域內(nèi)有定義,如果當(dāng)x無限趨近于x0時(shí),函數(shù)f(x)無限趨近于常數(shù)A,那么A就稱為函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限,記作注意:在自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限的定義中,y=f(x)不需要在x0處有定義,x只需無限趨近于x0即可,不一定要達(dá)到.02

定義2.2.2如果當(dāng)

時(shí),函數(shù)f(x)的值無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A,那么A就稱為函數(shù)f(x)在x→x0時(shí)的左極限(右極限),記作注意:在考慮單側(cè)極限時(shí),應(yīng)注意x→x0的趨近方向.當(dāng)02二、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限定義2.2.3如果當(dāng)x→∞時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限趨近于常數(shù)A,那么A就稱為函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時(shí)的極限,記作注意:x→∞表示x→+∞、x→-∞兩種情況.但有的時(shí)候x的變化趨勢(shì)只能取這兩種變化中的一種情況.下面給出當(dāng)x→+∞或x→-∞時(shí)函數(shù)f(x)極限的定義.定義2.2.4如果當(dāng)x→+∞(x→-∞)時(shí),函數(shù)f(x)的值無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A,那么A就稱為函數(shù)f(x)當(dāng)x→+∞(x→-∞)時(shí)的極限,記作注意到x→∞意味著同時(shí)考慮x→+∞和x→-∞,可以得到下面的結(jié)論:第三節(jié)極限運(yùn)算與兩個(gè)重要極限0303一、極限的四則運(yùn)算法則

上一節(jié)討論了函數(shù)極限的定義,下面我們介紹極限的運(yùn)算法則,利用這些法則可以求一些復(fù)雜函數(shù)的極限.03二、兩個(gè)重要極限03第四節(jié)無窮大與無窮小0404一、無窮小04二、無窮大如果當(dāng)x→x0(x→∞)時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的絕對(duì)值f(x)可以大于預(yù)先指定的任何很大的正數(shù)M,那么就稱函數(shù)f(x)是當(dāng)x→x0(x→∞)時(shí)的無窮大.0404三、無窮小與無窮大的關(guān)系04四、無窮小的比較

通過無窮小的性質(zhì)可以知道,兩個(gè)無窮小的和、差、積還是無窮小.但是,關(guān)于兩個(gè)無窮小的商,卻會(huì)出現(xiàn)不同的情況.例如,當(dāng)x→0時(shí),sinx,3x,x2都是無窮小,而第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性0505一、函數(shù)的連續(xù)性的定義0505二、間斷點(diǎn)第六節(jié)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)0606一、連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性06二、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性06三、初等函數(shù)的連續(xù)性性質(zhì)2.6.3一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.06四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)2.6.4(有界性與最大值最小值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),那么函數(shù)f(x)在[a,b]上一定有最大值與最小值.如圖2-4所示,函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上至少存在x1和x2,使得當(dāng)x∈[a,b]時(shí),f(x1)≥f(x),f(x2)≤f(x)恒成立,則f(x1)和f(x2)分別稱為函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的最大值和最小值.x1、x2稱為最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn).06

性質(zhì)2.6.5(介值定理)如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且在兩端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f(a)=A和f(b)=B,C是A和B之間的任一實(shí)數(shù),那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得f(ξ)=C.如圖2-6所示.

推論(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)與f(b)異號(hào),即f(a)·f(b)<0,則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得f(ξ)=0.如圖