L.Hospital法則

在第一章中我們已經知道，當分子分母都是無窮小或都是無窮大時，兩個函數(shù)之比的極限可能存在也可能不存在，即使極限存在也不能用“商的極限等于極限的商”這一運算法則。這種極限稱為未定式

本節(jié)我們就利用Cauchy中值定理來建立求未定式極限的L.Hospital法則，利用這一法則，可以直接求這兩種基本未定式的極限，也可間接求出等其它類型的未定式的極限第三章L.Hospital法則定義例如,第三章L.Hospital法則定理定義這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則.第三章L.Hospital法則證定義輔助函數(shù)則有第三章L.Hospital法則注①定理的條件：分子分母都是無窮??；分子分母都可導，且分母的導數(shù)不等于0；導數(shù)之比的極限存在或為∞②定理的結論：函數(shù)之比的極限等于導數(shù)之比的極限③第三章L.Hospital法則④仍有類似的結論如：定理第三章L.Hospital法則關于型的極限，有下述定理定理結論仍成立第三章L.Hospital法則例1解例2注在反復使用法則時，要時刻注意檢查是否為未定式，若不是未定式，不可使用法則。第三章L.Hospital法則例3解例4解第三章L.Hospital法則例5證明證分兩種情況①則連續(xù)使用μ次法則，得②則連續(xù)使用[μ]次法則，得第三章L.Hospital法則本例說明：但它們趨于+∞的速度有快有慢由慢到快依次是：對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)這一點從圖上即可看出oxy第三章L.Hospital法則例6解直接應用法則比較麻煩，先變形，再用法則第三章L.Hospital法則例7分母→1，分子振蕩而沒有極限L.Hospital法則“失效”注分子分母中出現(xiàn)不可使用L.Hospital法則第三章L.Hospital法則例8解注意：洛必達法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法——尤其是等價無窮小的代換——結合使用，可以簡化運算過程，效果會更好，使用起來也更有效。第三章L.Hospital法則關鍵:通過適當?shù)暮愕茸冃螌⑵渌愋臀炊ㄊ交癁槁灞剡_法則可解決的類型.仍可使用L.Hospital法則來求極限步驟:即將其中之一個因子下放至分母就可轉化為第三章L.Hospital法則例9注意：對數(shù)因子不下放，要放在分子上步驟:第三章L.Hospital法則例10解步驟:第三章L.Hospital法則例11解例12解第三章L.Hospital法則例13解第三章L.Hospital法則例14解極限不存在洛必達法則失效。注意：洛必達法則的使用條件．第三章L.Hospital法則幾點說明①L.Hospital法則只是求未定式極限的一種有效方法，是充分條件，當定理的條件滿足時，所求的極限存在或為∞，當定理的條件不滿足時，主要是指（3）不成立，即導數(shù)之比的極限不易求出，或不存在但不∞，函數(shù)之比的極限未必不存在，此時L.Hospital法則：“失效”不宜使用L.Hospital法則②L.Hospital法則只能對這兩種基本未定式才可直接應用，其它類型的未定式必須先轉化第三章L.Hospital法則③L.Hospital法則與等價無窮小的代換結合使用效果會更好④使用L.Hospital法則前宜先行約去可約因子，特別是極限不為0的因子，宜將確定后的極限值提到極限號外，以簡化計算（這相當于提前使用了一次乘積極限的運算法則）⑤可考慮進行恒等變形或引入適當?shù)淖兞看鷵Q，以簡化計算第三章L.Hospital法則三、小結洛必達法則第三章L.Hospital法則