江蘇省啟東市2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．經(jīng)過點(diǎn)，斜率為的直線方程為（

）A． B．C． D．2．已知平面經(jīng)過點(diǎn)，且法向量為是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．3．設(shè)，若方程表示關(guān)于直線對(duì)稱的圓，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．已知是互相垂直的單位向量，若直線和的方向向量分別為，則和所成的角的余弦值為（

）A．0 B． C． D．5．已知兩點(diǎn)都在直線上，且兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之差為2，則的面積為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．若平面截圓柱得到一個(gè)離心率為橢圓，則平面與該圓柱底面的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．已知曲線，將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到曲線；將曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄玫角€．則曲線與的一個(gè)公共點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．8．在四面體中，平面，，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．若平面的法向量為，平而的法向量為，直線的方向向量為，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，是上一點(diǎn)（除去與軸的交點(diǎn)），則（

）A．周長(zhǎng)為定值 B．的最大值為3C．恒為銳角 D．直線與圓相交11．過點(diǎn)的直線與圓相切，切點(diǎn)分別為，則（

）A．當(dāng)時(shí)， B．存在，使得C．直線經(jīng)過點(diǎn) D．直線與直線的交點(diǎn)在定圓上三、填空題（本大題共3小題）12．已知，寫出平面的一個(gè)法向量.13．若兩條直線與平行，則實(shí)數(shù)的值為．14．在平面直角坐標(biāo)系中，定義為Ax1,y1,Bx2,y2兩點(diǎn)之間的“折線距離”.已知點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，則的最小值為四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在四棱柱中，底面是平行四邊形，為側(cè)面的中心，記，(1)以為基底表示向量；(2)已知，，若，求長(zhǎng)．16．在直角坐標(biāo)系中，是射線上的一點(diǎn)，是射線上一點(diǎn)（都異于點(diǎn)），為線段的中點(diǎn)．(1)若，求直線的方程；(2)若點(diǎn)在直線上，求的最小值．17．如圖，都是橢圓的頂點(diǎn)，從上一點(diǎn)向軸作垂線，垂足為焦點(diǎn)，且．

(1)求的離心率；(2)若的面積比的面積大，求的方程．18．如圖，四邊形是矩形，平面，平面，，．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值；(3)是棱上一點(diǎn)，且到平面的距離為1，求直線與平面所成角正弦值．19．已知圓．(1)求過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程；(2)若點(diǎn)是圓上兩點(diǎn)，①若共線，求的面積最大值及此時(shí)直線的方程；②若直線斜率存在，且直線與斜率互為相反數(shù)，證明：直線經(jīng)過定點(diǎn)．

參考答案1．【答案】A【詳解】經(jīng)過點(diǎn)，斜率為的直線方程為，即.故選：A.2．【答案】D【詳解】依題意，，而平面的法向量為，因此，即.故選：D.3．【答案】B【詳解】由方程表示圓，得，圓的圓心為，又此圓關(guān)于直線對(duì)稱，則，即，因此，解得或，所以的取值范圍為.故選：B.4．【答案】C【詳解】設(shè)和所成的角為，則.故選：C.5．【答案】B【詳解】設(shè)，則，，顯然點(diǎn)不在直線上，則邊上的高，所以的面積.故選：B.6．【答案】A【詳解】設(shè)圓柱的底面圓直徑為2，則平面截圓柱所得橢圓的短軸長(zhǎng)，而橢圓的離心率為，令橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，由，得，又過橢圓長(zhǎng)軸及圓柱下底面圓直徑的軸截面圖形如圖中直角梯形，其中是圓柱下底面圓直徑，是橢圓長(zhǎng)軸，，過作于，則等于平面與該圓柱底面的夾角，，所以平面與該圓柱底面的夾角的余弦值為.故選：A7．【答案】C【詳解】設(shè)曲線上任意點(diǎn)，則點(diǎn)在曲線上，于是得曲線：，同理得曲線：，由，解得，因此曲線與的公共點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C8．【答案】A【詳解】設(shè)，，則，則，由②③可得代入①得，∵，∴，∴，∵平面，∴則直線與平面所成角為.∴故選：A9．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，由，得，則，解得，A正確；對(duì)于B，由，得，則，解得，B正確；對(duì)于C，由，得，，，則或，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，，，則，D正確.故選：ABD10．【答案】AC【詳解】對(duì)A：由橢圓定義可知，又，故周長(zhǎng)為，故A正確；對(duì)B：由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故恒為正，即恒為銳角，故C正確；對(duì)D：圓的圓心為，半徑為，則圓心到直線的距離，由是上一點(diǎn)（除去與軸的交點(diǎn)），故有且，則，即，則，即，故直線與圓相離，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．【答案】ACD【詳解】A.當(dāng)，點(diǎn)是原點(diǎn)，如圖，，，則，則，根據(jù)對(duì)稱性可知，，所以是等邊三角形，即，故A正確；B.，因?yàn)?，所以，即，則，,所以不存在，使得，故B錯(cuò)誤；C.，，所以以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓為，與圓相減得，恒過點(diǎn)12,0，故C正確；D.直線的斜率，所以直線的方程為，即，直線恒過點(diǎn)，且直線恒過點(diǎn)12,0，且滿足，即兩直線互相垂直，所以兩直線的交點(diǎn)在以2,0，12,0故選：ACD12．【答案】（答案不唯一，與共線的非零向量）【詳解】設(shè)，則，故，取，得，所以平面的一個(gè)法向量.故答案為：.13．【答案】【詳解】由直線與平行，得，所以.故答案為：14．【答案】/0.5；4.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此對(duì)任意，，所以當(dāng)，即點(diǎn)時(shí)，取得最小值；設(shè)，則，令，于是，顯然，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此對(duì)任意，，所以當(dāng)，即時(shí)，如點(diǎn)，取得最小值4.故答案為：；4.15．【答案】(1)；(2)2.【詳解】（1）在四棱柱中，底面是平行四邊形，為側(cè)面的中心，則.（2）由（1）知，，由，得，由，得，解得，所以長(zhǎng)為2.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可設(shè)，，，，則，若，則有，化簡(jiǎn)得，故，，即，故直線的方程為，即；（2）由點(diǎn)在直線上，故有，整理得，故，即AB的最小值為.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可得，，．由，，解得，，故橢圓的離心率為．（2）由題意，又因?yàn)?，，所以，化?jiǎn)得又因?yàn)?，所以，解得，，所以橢圓.18．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）取中點(diǎn)，令交于點(diǎn)，連接、，由四邊形是矩形，故為中點(diǎn)，故，且，又平面平面，故，又，故且，即四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，故平面，即平面；（2）由平面，平面，平面，故，又是矩形，故，所以、、兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則、、、，故，，，設(shè)平面與平面的法向量分別為、，則有，，取、，則有，，，，即，，所以，則二面角的正弦值為；（3）設(shè)，則，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離，因?yàn)?，解得，故，又，則，則，則直線與平面所成角正弦值為.19．【答案】(1)；(2)①3，；②證明見解析.【詳解】（1）由，得點(diǎn)在圓上，則過點(diǎn)的圓半徑所在直線斜率為因此所求切線斜率為，方程為，即.（2）