24.6實(shí)數(shù)與向量相乘（第1課時）【夯實(shí)基礎(chǔ)】1.下列命題中的假命題是（ ）（A）向量與的長度相等（B）兩個相等向量若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)必相同（C）只有零向量的長度等于0（D）平行的單位向量都相等2.填空： ； ； ； ； ； ．3.如圖，已知平行四邊形ABCD，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O．設(shè)，，試用、表示下列向量：，，，，，．5.如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，EG與FH相交于點(diǎn)O．設(shè)，，試用向量或表示向量、，并寫出圖中與相等的向量．6．（2020·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，已知兩個不平行的向量．先化簡，再求作：．（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）7．（2019·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在矩形中，、、、是、的三等分點(diǎn)，設(shè)，．請用向量、表示向量、，并寫出圖中與、相等的向量．8．（2019·全國·九年級課時練習(xí)）作圖題：（1）已知向量、，求作向．（2）已知兩個不平行的向量，，求作向量．9．（2019·全國·九年級課時練習(xí)）已知非零向量，請利用勾股定理正確作出．10．（2019·全國·九年級課時練習(xí)）已知非零向量，求作、、．11．（2014·上海閔行·一模）如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB和AC上，DE∥BC，；(2)求作向量（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）．【能力提升】1．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時練習(xí)）如圖，已知DE∥AC，DF∥AB，BD：DC=2：5，設(shè)．表示：．2．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時練習(xí)）在△ABC中，D是AB邊的中點(diǎn)，E是BC延長線上的點(diǎn)，且BE=2BC，試用、表示．3．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時練習(xí)）如圖，O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且；若，，求：用向量，表示．4．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在梯形中，，，對角線、相交于點(diǎn)，設(shè)，.試用、的式子表示向量.5．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，已知平行四邊形ABCD，=，=．（1）=；（用，的式子表示）（2）=；（用，的式子表示）（3）若AC⊥BD，||=4，||=6，則|+|=．6.如圖，已知點(diǎn)D、E分別在的邊AB、AC上，DE//BC，AD=4，BD=7，試用向量表示向量．7.如圖，已知，求作（提示：利用三角形的重心）．

24.6實(shí)數(shù)與向量相乘（第1課時）（解析版）【夯實(shí)基礎(chǔ)】1.下列命題中的假命題是（ ）（A）向量與的長度相等（B）兩個相等向量若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)必相同（C）只有零向量的長度等于0（D）平行的單位向量都相等【答案】D【解析】D選項(xiàng)，平行的單位向量方向可以相同，此時是相等向量，也可以方向相反，此時是相反向量． 【總結(jié)】此題主要考查向量的相關(guān)概念．2.填空： ； ； ； ； ； ．【答案】；；；；；．【解析】此題主要考查向量的加減法則，另外，加減法則之間可以轉(zhuǎn)換，比如是利用減法法則，箭頭指向被減數(shù)，同時，這樣運(yùn)算復(fù)雜了，但也是一種思路．【總結(jié)】此題主要考查向量的加減運(yùn)算法則．3.如圖，已知平行四邊形ABCD，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O．設(shè)，，試用、表示下列向量：，，，，，．【答案】．【解析】利用平行四邊形對邊平行且相等，對角線互相平分的性質(zhì)來求解以上向量:；；；；；．【總結(jié)】此題主要考查向量的加減運(yùn)算法則．4.已知非零向量，求作，．【解析】與方向相同，長度是的倍；方向與相反，長度是的3倍，作圖略．【總結(jié)】此題主要考查如何根據(jù)已知向量求作所需的向量．5.如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，EG與FH相交于點(diǎn)O．設(shè)，，試用向量或表示向量、，并寫出圖中與相等的向量．【答案】，與相等的向量有．【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，E、F、G、H分別是各邊中點(diǎn)，所以利用平行四邊形的判定定理可知圖中的四個小四邊形都是平行四邊形，所以，與相等的向量有五個．6．（2020·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，已知兩個不平行的向量．先化簡，再求作：．（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）【答案】化簡得﹣+2；作圖見解析．【分析】首先利用平面向量的加減運(yùn)算法則化簡原式，再利用三角形法則畫出圖形．【詳解】解：==﹣+2．如圖：=2，=﹣，則=﹣+2，即即為所求．【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的運(yùn)算法則以及作法．注意作圖時準(zhǔn)確利用三角形法則是關(guān)鍵．7．（2019·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在矩形中，、、、是、的三等分點(diǎn)，設(shè)，．請用向量、表示向量、，并寫出圖中與、相等的向量．【答案】，，，【分析】根據(jù)平面向量的定義和性質(zhì)求解即可.【詳解】解：，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了相等向量的識別，掌握向量的定義是關(guān)鍵.8．（2019·全國·九年級課時練習(xí)）作圖題：（1）已知向量、，求作向．（2）已知兩個不平行的向量，，求作向量．【分析】（1）先將向量化簡，然后根據(jù)三角形法則即可求出答案；（2）先將向量化簡，然后根據(jù)三角形法則即可求出答案.【詳解】解：（1）原式=，如圖，，，，則即為所求；（2）原式=，=，如圖，，，，則即為所求.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量，熟練掌握平面向量的加減運(yùn)算及三角形法則解題的關(guān)鍵．9．（2019·全國·九年級課時練習(xí)）已知非零向量，請利用勾股定理正確作出．【分析】利用勾股定理作出，然后在向量的方向上截取相應(yīng)長度即可作出符合條件的向量.【詳解】解：作法：1．作射線AM，在射線AM作；2．過點(diǎn)B作AM的垂線BN，在射線BN上截取BC=2AB；3．連接AC，4．在在射線AM上截取AD=AC；5．向量就是所要求作的向量.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的作圖，用勾股定理作出長度為的線段是關(guān)鍵.10．（2019·全國·九年級課時練習(xí)）已知非零向量，求作、、．【分析】與方向相同，長度是的3倍，據(jù)此作圖即可；與方向相反，長度是的2倍，據(jù)此作圖即可；與方向相反，長度是的倍，據(jù)此作圖即可.【詳解】解：（1）（2）（3）【點(diǎn)睛】本題考查了向量的作圖，明確各向量與已知向量的方向及長度關(guān)系是作圖的關(guān)鍵.11．（2014·上海閔行·一模）如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB和AC上，DE∥BC，；(2)求作向量（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）．【答案】(1)=+；(2)取點(diǎn)AB的中點(diǎn)M，作=，連接，則即為所求．【詳解】試題分析：（1）由DE∥BC，AD:DB＝2:3，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可求得AE：AC=2：5，又由＝，＝，利用三角形法則，即可求得，繼而求得答案；（2）取點(diǎn)AB的中點(diǎn)M，作=，連接，則即為所求．試題解析：（1）∵DE∥BC，∴AE:AC＝AD:AB="2:5"，∵＝，＝，∴=+=+，∴==（）=+；（2）取點(diǎn)AB的中點(diǎn)M，作=，連接，則即為所求．考點(diǎn)：平面向量【能力提升】1．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時練習(xí)）如圖，已知DE∥AC，DF∥AB，BD：DC=2：5，設(shè)．表示：．【答案】；；；【分析】由BD：DC=2：5可得出的值；由平行線分線段成比例定理可得出的值；由BD：DC=2：5可得BD：BC=2：7，可求出的值，點(diǎn)睛向量加法法則可求出的值；平行線分線段成比例定理可得的值．【詳解】∵BD：DC=2：5，∴，BD：BC=2：7，CD：BC=5：7，∵DF∥AB，∴，∴，∵BD：BC=2：7，∴，∴，∵DE//AC，∴=，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理及向量的加法，熟練掌握向量的加法法則是解題關(guān)鍵．2．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時練習(xí)）在△ABC中，D是AB邊的中點(diǎn)，E是BC延長線上的點(diǎn)，且BE=2BC，試用、表示．【答案】【分析】根據(jù)平面向量幾何運(yùn)算的三角形法則表示.【詳解】∵D是AB邊的中點(diǎn)，BE=2BC∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握平面向量幾何運(yùn)算的三角形法則.3．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時練習(xí)）如圖，O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且；若，，求：用向量，表示．【答案】【分析】根據(jù)三角形法則和平行線分線段成比例來求．【詳解】解：∵∴∴DE∥BC∴∵∴；【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的知識．此題難度不大，注意掌握三角形法則的應(yīng)用，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在梯形中，，，對角線、相交于點(diǎn)，設(shè)，.試用、的式子表示向量.【答案】【分析】先根據(jù)平行線分線段成比例得到，得到，再根據(jù)即可求解.【詳解】即，與同向，【點(diǎn)睛】本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識.5．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，已知平行四邊形ABCD，=，=．（1）=；（用，的式子表示）（2）=；（用，的式子表示）（3）若AC⊥BD，||=4，||=6，則|+|=．【答案】（1）﹣+；（2）+；（3）2．【分析】（1）（2）根據(jù)平面向量的加法法則計算即可解決問題；（3）利用勾股定理計算即可；【詳解】解：（1）=﹣+；（2）==+；（3）∵AC⊥BD，||=4，||=6，∴|+|=．故答案為（1）﹣+；（2）+；（3）2．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)．平面向量的加法法則等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形加法法則，屬于中考?？碱}型．6.如圖，已知點(diǎn)D、E分別在的邊AB、AC上，DE//BC，AD=4，BD=7，試用