2024—2025年中學生能力訓練

數(shù)學階段練習（一）

時間：120分鐘滿分：120分

第一部分選擇題（共30分）

一、選擇題（本題共10小，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的）

1.下列方程是關于x的一元二次方程的是（）

,1

A.2x—6B.x+3x—4—0C.xy—3D.xH———2

x2

2.用配方法解一元二次方程——2X=3,配方后得到的方程是（）

A.（X+1）2=4B.（x—以=4C.（x+2）2=4D.（x-2）2=2

3.下列命題是真命題的是（）

A.對角線相等的平行四邊形是菱形

B.有一角為直角的四邊形是矩形

C.對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形

D.矩形的對角線互相垂直平分且相等

4.《九章算術》中的“折竹抵地”問題：“今有竹高二十尺，未折抵地，去本四尺，問折者高幾何？”意

思是：現(xiàn)有竹子高20尺，折后竹尖抵地與竹子底部距離為4尺，間折處高幾尺？如圖所示，設竹子折斷處

離地無尺，由題意可列方程為（）

A.x2+42=202B.（X-4）2+X2=202

C.X2-42=（20-X）3D.X2+42=（20-X）2

5.如圖，點￡是矩形48CD外一點，連接ZE,過點E作EGL4E交AD,BC分別于點

F,G.Z2=118°.則N1的度數(shù)為（）

A.12°B.18°C.22°D.28°

6.關于龍的一元二次方程——2x+機=0有兩個不相等的實數(shù)根，則加的取值范圍是（

A.m<1B.m<\C.m>\D.m>\

7.如圖，在矩形O4SC中，點8的坐標是（1,3）,則NC的長是（

B.272C.屈

8.如圖，用一段10m長的圍欄圈成一個一邊靠墻（墻長55m）的矩形雞舍，其面積為15m在雞舍側(cè)面

中間位置留一個1m寬的門（由其它材料成），則矩形雞舍8C長為（）

B-----------

5m或6mB.2.5m或3加C.5mD.3m

9.實數(shù)應a。滿足4a-2b+c=0,則（）

A.b1-4ac>0B.b1—4ac<0C.b2-4a<0D.b1-4ac>0

10.如圖，在菱形48CZ）中，ZABC=60°,48=4,瓦/分別是45,40的中點，連接C￡,CF,且

分別是C￡,C尸的中點，連接則"N的長為（）

C.2G

第二部分非選擇題（共90分）

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.一元二次方程必+》-2=0的解是.

12.若才是方程f—x—1=0的一個實數(shù)根，則代數(shù)式?—+2024的值為

13.如圖，在矩形48CD中，4。=4,48=8,連接NC.分別以點4c為圓心，大于長為半徑

2

畫弧，兩相交于點瓦尸，連接￡尸，45相交于點G.與CD相交于點〃，連接CG.則G”的長

為.

14.定義：如果x=l和x=-l均是一元二次方程。2+樂+。=0（。。0）的根，則這個一元二次方程為對稱

方程，已知必+2機x+〃=0是對稱方程，貝!J〃"'=.

15.如圖，在矩形Z8CD中，AB=2,4D=5.點P為BC邊上一動點（不與點重合），將4P

繞點尸順時針旋轉(zhuǎn)90°得到PQ.連接C。.則C。的最小值為.

三、解答題

16.（每題5分，共10分）選擇最佳方法解下列關于x的方程：

（1）（x+2『-9=0；（2）X2-4X-2=0.

17.（本小題8分）

已知“c是R/V48c的三邊長，a<c,+Z）2-10a-86+41-0,求c的值.

18.（本小題8分）

大連貝雕歷史悠久，明代，大連手工藝人就已經(jīng)開始把貝殼磨成細片鑲嵌在家具，首飾盒上，某貝雕吊墜

平均每月可以銷售150件，每件盈利80元，通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件貝雕吊墜讓利2元，則月銷售量增加

5件.為了增加月銷售量，決定降價促銷，如果每月要盈利11250元，求每件應降價為多少元？

19.（本小題8分）

如圖1,在矩形4BCD,4B=2,8C=4,點E是線段8c上的一個動點，連接4E.V4BE沿8C方

向平移得到V/'B'E'.

（1）證明：四邊形4EEW是平行四邊形；

（2）如圖2,當點H與點。重合，點3'與點c重合時，若四邊形4EE'。為菱形，求8E的長度.

20.（本小題8分）

某商場出售一種商品，在銷售該商品一段時間后發(fā)現(xiàn)，售價為45元/件時，日銷售量為55件；售價為50元

/件時，日銷售量為50件，并且日銷售量y（件）與每件售價無（元）之間滿足一次函數(shù)關系.

（1）求y與龍之間的函數(shù)關系式；

（2）已知該商品成本價為27元/件，單件商品的利潤率不能超過80%.若某日該商品日銷售利潤為1060

元，請求出該日該商品的售價.

21.（本小題8分）

如圖，在正方形Z8CO中，28=4+4亞，EG垂直平分CE,交2。與點G,交BC與點、F.

（1）求證：BE+DG=CF；

（2）若BE=BF,求。G的長.

22.（本小題12分）

若關于龍的方程的若干個解中，存在兩個不相等的解，且這兩個解為互為相反數(shù)，則稱這兩個解為這個方程

的對稱解，這個方程稱為對稱解方程.例如方程x=2和x=-2是方程V—4=0的對稱解，則/_4=0

為對稱解方程.

（1）下列方程是對稱解方程的有

@x3-4x=0；②2x~+x—1=0；

③I卜L

（2）已知關于無的方程|2x+6|=l恰好是對稱解方程，若函數(shù)歹=|2x+b|-1與無軸交于48兩點（點/

在點8的左側(cè)），與歹軸交于點C,求V48c的面積；

（3）已知西,》2為一元二次方程依？+，x+c=O（a,ac為常數(shù)）的對稱解，當a+2c=0.試求的

值.

23.（本小題13分）如圖1,在菱形48C。中，N4BC=120°,射線5河以點8為旋轉(zhuǎn)中心，從8c位

置開始逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a（0°<a<120。），點E與點C關于8河成軸對稱，連接NE并延長與5M

交于點凡連接CE,CF,。尸.

（1）試判斷VCEE的形狀，并說明理由;

（2）當點￡為4F中點時，求此時旋轉(zhuǎn)角。的度數(shù);

（3）若4空F=?5,直接寫出巴BF土的值

AF7

■1

數(shù)學階段練習（一）參考答案（北師版）

一、選擇題

BBCDDACCDA

二、填空題

oB

11.%；=-2,x2=112.202513.27514.115.

三、解答題

16.解：（1）（X+2）2—9=0..-.（x+2）2=9.

二.％+2=±3,x+2=3或x+2=—3,「?玉=1,x2=—5；

(2)%2-4x-2=0,/.%2-Ax—2.

/.%2-4x+4=2+4/.(x2)—6,

.0.x-2—i-\/6?再=2+,X2=2->/6.

17.*.*ci^+Z）2-10a—8b+41=0,（Q-5）+[b—4）=0,a=5,b=4.

應仇。是RV4SC的三邊長，a<c,

，c為R/V/BC的斜邊.「?c=6+/=J52+42;歷

18.解：設每件降價x元，則每件的利潤為（80-x）元，每月可售出1150+|x5

件,

根據(jù)題意得：（80—x）[150+|x5]=11250.

整理得：X2-20X-300=0.

解得：x；=30,x2=-10（不符合題意，舍去）.

答：每件應降價30元.

19.（1）?.?V48E沿8C方向平移得到V/'B'E'.

:.AE=AE,NE.?.四邊形NEEW是平行四邊形：

（2）?.?48=2,8。=4;四邊形/￡/工>為菱形；.幺￡=40=8。=4

在RNABE中，NB=90°，AB2+BE2=AE2,/.BE=A/42-22=2G.

20.解：(1)由題意，設一次函數(shù)的關系式為^=區(qū)+6.

45左+6=55J左=1

由題意可得,,50左+6=50…[b=100

所求函數(shù)關系式為y=-x+100.

(2)由題章可得，(x-27)(-x+100)=1060.A=80,x2=47.

???單件商品的利潤率不能超過80%.-.x<48.6

X]=80不符合題意，舍去x=47

答：該日該商品的售價為每件47元，

21.(1)證明：過點G作GA/L8C于點M.?.NGMR=90°NFCM+NCR=90°,

?.?正方形Z8CD,BC=CD,NEBC=ND=NDCB=90°.

二四邊形CDGN為矩形，CZ)=GMr,DG=CM.GM=BC,

■：DF1CE.ZFOC=90°,:.NGFC+NFCO=90°,:.NFGM=NFCO.

又；NGMF=4B=90°.NCBE^/GMF[AAS),BE=MF.

又?；GF是CE的垂直平分線EF=MF

又<CF=CM+FM:.CF=DG+BE

(2)解：設DG=CM=x,BE=BF又?：BE=FM,28=4+40

BF=FM=BE=2+2V2--x

2

CF=2+241+-X5L-：EF=CF=2+241+-X

22

在RtVBEF中,N8=90°,BE~+BF2=EF2

:.x=442-4:.DG=4C—4

22.(1)①③

(2)?.?1的方程|2%+可=1恰好是對稱解方程.，%=一，々=二產(chǎn)

又「Xi+x2=0:.b=0---函數(shù)y=|2x+〃-l與x軸的交點為,8g,o1

與y軸的交點為C(0,—1).以480的面積為lxlx；=；

(3)玉,％2為一元二次方程a—+及。=°(見瓦。為常數(shù))的對稱解

bc,

..再+%2=-A0,Xj,X=—..b=Un

aa2

*.*Q+etc—0ci--2cXy,X2————x；+x；—(%]+%)-2XJ%2=0-2X|—|—1

a2\2)

23.(1)等邊三角形

證明：連接3￡?.?四邊形/BCD是菱形，，/鳥二臺。

???瓦。關于對稱，/.BC=BE,FE=FC,AB=BEZBAE=ZBEA

?/BC=BEZBEC=NBCE

在四邊形48CE中，N48C=120°

NBAE+NAEC+NBCE=2NAEC=360°-120°=240°

NAEC=120°ZCEF=60°XvFE=FC:NCFF是等邊三角形.

(2)連接NC為4F中點.?./￡=￡/

又7CEF是等邊三角形CE=CF=EF

AE=CE,CE=EFZEAC=ZECA,ZECF=ZEFC

2NECA+2NECF=180°，ZACF=90°

在菱形ABCD中，ACLBDNAOD=90°

BD//CFNBDC=NDFC=60°

又ZECF=60°EC與CD重合

BM1CDBM平分NDBC旋轉(zhuǎn)角a=30°

⑶亞或吆叵

13109

當￡,廠在/點同時，過點8作與點〃

5

?.?一=巳設幺￡=5左，AF=7k,EF=2k

AF7

59

???AB=BEAH=HE=-k:.HF=-k

2