第十二章微分方程第四節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程三、二階常系數(shù)齊次線性方程解法一、n階線性微分方程的定義二、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)四、二階常系數(shù)非齊次線性方程解法五、小結(jié)一、n階線性微分方程定義1稱形如的方程為n階線性微分方程；右端函數(shù)不恒為零時，稱之為非齊次的.稱之為齊次的.方程右端函數(shù)f(x)恒為零時，以上方程變?yōu)槔缍际歉唠A線性微分方程.以上的線性方程中，(1)、(4)是非齊次的；(2)、(3)是齊次的.接下來以n=2時的線性方程為例，來說明解的結(jié)構(gòu).二、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)1、

齊次線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)定理1的解，則也是方程(1)的解.說明：對于齊次線性微分方程來說，它的兩個解的線性組合

也是方程的解.問題:例如，那么，如何得到二階齊次線性方程的通解呢？解中只有一個獨立的任意常數(shù).定義2使得恒等式成立，則稱這n個函數(shù)在區(qū)間I上是線性相關(guān)的，否則稱它們是線性無關(guān)的.對于兩個函數(shù),若比值恒等于常數(shù)，則是線性相關(guān)的;若比值不恒等于常數(shù)，則是線性無關(guān)的.定理2的解，且線性無關(guān)，則是方程的通解.是該齊次線性微分方程的通解.定理3的n個線性相關(guān)的解，則方程2、非齊次線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)定理4特解，Y(x)是與方程(2)對應(yīng)的齊次線性方程(1)的通解，則是二階非齊次線性微分方程(2)的通解.例如，是它的一個特解，所以是方程的通解.與一階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)相同.定理5即并且

與分別是微分方程與的解，的解.解的疊加原理.都是微分方程的解,是對應(yīng)齊次方程的解,常數(shù)所求通解為例1解又三、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法將其代入上述方程,得故有特征根為其中p,q為實常數(shù).二階常系數(shù)齊次線性微分方程方程通解的求法：特征方程.(1)有兩個不相等的實根兩個線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為特征根為則一特解為得齊次方程的通解為特征根為(2)有兩個相等的實根(3)有一對共軛復(fù)根則齊次方程的通解為特征根為根據(jù)定理1，則方程的解為均為方程的解，且時線性無關(guān)的.利用歐拉公式：注：由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.特征根的情況通解的表達式微分方程特征方程解特征方程為例2解得故所求通解為解方程的特征方程為所以原方程的通解為將初始條件代入通解，于是有得將上式求導(dǎo)，再結(jié)合初始條件于是原方程滿足初始條件的特解為得例3解特征方程為因此，故所求的通解為例4解得一對共軛的復(fù)根四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法難點：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.非齊次方程通解的結(jié)構(gòu)二階常系數(shù)非齊次線性方程對應(yīng)的齊次線性方程方程右端函數(shù)f(x)常見類型代入原方程，整理得1、

型設(shè)非齊次方程特解為(1)若不是特征方程的根，即則綜上，有特解形式為(2)若是特征方程的單根，即(3)若是特征方程的重根，即解又由題意，由特征方程例5于是原方程對應(yīng)的齊次線性方程的通解為得故可設(shè)特解形式為則代入原方程，得比較兩邊的系數(shù)，得于是原方程的特解為綜上，原方程的通解為解例6顯然，由特征方程得故可設(shè)特解形式為則于是得到原方程的一個特解為代入原方程，得比較兩邊的系數(shù)，得解于是原方程對應(yīng)的齊次線性方程的通解為又由題意，由特征方程得故可設(shè)特解形式為例7則解例7代入原方程，化簡得比較兩邊的系數(shù)，得于是得到原方程的一個特解因此，原方程的通解為又因此，原方程滿足所給初始條件的特解為特別地，設(shè)特解形式為解例8故可設(shè)特解形式為由特征方程得由題意，右端函數(shù)為比較上式等號兩邊的系數(shù)，得于是得到原方程的一個特解將代入原方程，得解例9故其對應(yīng)的齊次線性微分方程的通解為再分別利用待定系數(shù)法，求得由特征方程得右端函數(shù)可看作兩個函數(shù)之和根據(jù)解的疊加原理，可分別求兩個方程的特解.方程的一個特解為的一個特解為方程解例9所以，原方程的特解為綜上，原方程的通解為1、線性方程解的結(jié)構(gòu)；2、二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1