第十三章差分方程第三節(jié)二階常系數(shù)線性差分方程一、二階常系數(shù)齊次線性差分方程的解法二、二階常系數(shù)非齊次線性差分方程的解法三、小結(jié)二階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為其中是常數(shù)，當(dāng)不恒等于零時，稱差分方程是非齊次的；當(dāng)恒等于零時，稱差分方程是齊次的，可表示為稱方程(2)是方程(1)所對應(yīng)的齊次線性差分方程.一、二階常系數(shù)齊次線性差分方程的解法因為齊次差分方程可化為代入方程，得所以特征根特征方程(ii)(i)(iii)特征方程有一對共軛復(fù)特征根則通解為解：例1所以原方程的通解為特征方程為得特征根為例2解：所以原方程的通解為特征方程為得特征根為這是二階常系數(shù)齊次線性差分方程，其特征方程為解

原方程可改寫為易知此特征方程有兩個共軛的復(fù)根即則所以原方程的通解為解：例4所以原方程的通解為特征方程為得特征根為由初始條件可得解得所以原方程滿足初始條件的特解為二、二階常系數(shù)非齊次線性差分方程的解法由解的結(jié)構(gòu)知，差分方程(1)的通解由兩項的和組成：一項是該方程的一個特解，另一項是對應(yīng)的齊次差分方程的通解.在前一部分已經(jīng)討論完齊次線性差分方程的通解，所以接下來只討論特解的求法.1、

f(x)為多項式型：此時，差分方程(1)可寫為利用差分的概念，上面的方程可化為若是上面方程的解，則有這里Qn(x)是n次待定多項式，k的取值按下列方式確定因此可假設(shè)差分方程的解為以下的待定式解：例5

則特征根為特征方程為所以原方程對應(yīng)的齊次線性差分方程的通解為由于1不是特征根，且右端函數(shù)為一次多項式，則可令特解為將代入原方程，有求得所以從而，原方程的通解為解：則特征根為特征方程為所以原方程對應(yīng)的齊次線性差分方程的通解為由于1是特征根且為單根，而右端函數(shù)為一次多項式，則可令特解為例6將代入原方程，有求得所以從而，原方程的通解為解：例7所以原方程對應(yīng)的齊次線性差分方程的通解為特征方程為得特征根為由于1是特征根且為二重根，而右端函數(shù)為零次多項式，則可令特解為將代入原方程，有求得所以特解為從而，原方程的通解為由初始條件可得因此所求的特解為2、f(x)為指數(shù)函數(shù)與多項式之積型：此時，差分方程(1)可改寫為若作變換則上面的方程可化為這是右端函數(shù)為多項式型的非齊次線性差分方程.由待定系數(shù)法得它的特解，則原方程的特解為解：例8所以齊次線性方程的通解為原方程對應(yīng)的齊次線性方程為特征方程為則特征根為這是屬于右端函數(shù)為零次多項式的情形.令特解為將其代入原方程，經(jīng)化簡得解：例8特征方程為由于1不是特征根，且上面方程的右端函數(shù)為零次多項式，所以可令特解為解得特征根為將代入以上方程，整理并比較兩邊同次冪的系數(shù)，可得則有進而有因此原方程的通解為三、小結(jié)1、二階常系數(shù)齊次線性差分方程的解法(1)寫出