第十三章差分方程第四節(jié)差分方程在經(jīng)濟管理中的應(yīng)用一、存貸款相關(guān)的模型二、動態(tài)供需均衡模型（蛛網(wǎng)模型）三、國民收入相關(guān)的模型四、小結(jié)

在經(jīng)濟與管理的許多實際問題中，所涉及的變量數(shù)據(jù)常常以等間隔時間周期進行統(tǒng)計，這就導(dǎo)致其中有關(guān)的變量是離散化取值的，它們之間的關(guān)系往往是以差分方程的形式體現(xiàn)．

本節(jié)通過舉例來說明差分方程在經(jīng)濟管理中的簡單應(yīng)用．一、存貸款相關(guān)的模型例1（存款模型）設(shè)將資金存于某金融機構(gòu)，初始資金量為

Z0=100萬，按期結(jié)息，每一期的利率為r=4%，求第10期期末的資金總量Z10.解由題意，第n期期末和第n+1期期末時的資金總量的關(guān)系為上式可化為這是一個一階常系數(shù)齊次線性差分方程，特征方程為所以是特征根，從而上面差分方程的通解為一、存貸款相關(guān)的模型例1（存款模型）設(shè)將資金存于某金融機構(gòu)，初始資金量為

Z0=100萬，按期結(jié)息，每一期的利率為r=4%，求第10期期末的資金總量Z10.解由初始資金量為

Z0，可得C=Z0，則第n期期末時的資金總量為這里Z0=100萬，r=4%，求第10年末的資金總量為例2

（貸款模型）

設(shè)某人向銀行貸款A(yù)0元，用于購買某件商品，貸款年限為n年，約定按月等額還款，假定年利率為r，求該借款人每月需向銀行還款多少元？特別地，當(dāng)A0=600000元、r=6%和n=10時，借款人每月需向銀行還款多少元？解設(shè)借款人每月還款a元.記從借款之日起，第t個月還款后尚欠銀行At元，總計還款期限為12n個月，則有以下差分方程即又由于貸款年限為n年（12n個月），則有A12n=0，所以可求得每月的還款金額為這是一個一階常系數(shù)非齊次線性差分方程，利用待定系數(shù)法可求得其通解為再由初始貸款金額A0元，可得因此有舉例說明：當(dāng)A0=600000元、r=6%和n=10時，計算得每月還款額為二、動態(tài)供需均衡模型（蛛網(wǎng)模型）例1在普通市場中，一種商品的價格和消費者對該種商品的需求量是相互影響的，多呈負(fù)相關(guān)的走勢．用Dt表示第t期該商品的供給量，

St表示第t期該商品的供給量，

Pt表示第t期該商品的價格.第t期的需求量依賴于同期價格，假設(shè)它們之間的關(guān)系（需求函數(shù)）為其中a,b為常數(shù).第t期的供給量依賴于前期價格，即供給量滯后于價格一個周期，假設(shè)它們之間的關(guān)系為其中a1,b1為常數(shù)，且b1≠b.

求供需均衡（Dt=St）的條件下，商品的價格隨時間的變化規(guī)律.解：由題意，供需均衡（Dt=St）時，得上式亦可化為這是一個一階常系數(shù)非齊次線性差分方程，它對應(yīng)的齊次線性差分方程的通解為所以商品的價格隨時間的變化規(guī)律為利用待定系數(shù)法，可求得它的一個特解說明：1.如果供需平衡，并且商品價的價格保持不變，即則可求得靜態(tài)均衡價格此時，需求函數(shù)和供給函數(shù)可改寫為如果將這兩個函數(shù)的圖形畫在同一個坐標(biāo)平面上，記其交點為

稱為該種商品的靜態(tài)均衡點．2.如果已知初始價格

則可得所以此時商品的價格隨時間的變化規(guī)律為（1）當(dāng)

時，有，這表明沒有外部干擾因素，商品的價格將固定在常數(shù)值上，也就是前面所說的靜態(tài)均衡．（2）當(dāng)

時，商品價格隨著時間t的變化而變化.容易看出，當(dāng)且僅當(dāng)時，有也就是說，當(dāng)商品的價格

隨著時間t的無限增大逐漸地振蕩趨近于靜態(tài)均衡價格.下圖給出了不同情形下商品的價格（縱軸）與供需（橫軸）的關(guān)系圖示．可以看到上圖的形狀類似于蜘蛛網(wǎng)，因此稱上面的模型為蛛網(wǎng)模型．三、國民收入相關(guān)的模型（哈羅德(HarrodR.H.)經(jīng)濟增長模型）本小節(jié)討論國民收入與消費和投資之間關(guān)系的問題．例3記Yn為第n期內(nèi)的國民收入，Sn

為該期內(nèi)的儲蓄，In為投資.假定儲蓄和國民收入的關(guān)系為其中0<s<1為邊際儲蓄傾向.當(dāng)期投資和前兩期的國民收入差相關(guān)，其關(guān)系為這里k>0為預(yù)期資本加速系數(shù)．試求在均衡條件Sn

=In下，國民收入Yn與n的關(guān)系.解：可化為這是一個一階常系數(shù)齊次線性差分方程，其通解為在均衡條件下，整理得（薩繆爾森(Samuelson)乘數(shù)-加數(shù)模型）例4

記Yn為第n期內(nèi)的國民收入，Sn

為該期內(nèi)的儲蓄，In為再生產(chǎn)投資，政府在各期內(nèi)用于公共設(shè)施的支出為常數(shù)G，則有假設(shè)第n期的消費水平與前一期的國民收入水平相關(guān)，即有這里

表示邊際消費傾向.設(shè)第n期的再生產(chǎn)投資是和消費水平的變化相關(guān)，即有其中為加速數(shù)．試建立Yn滿足的微分方程時，建立國民收入Yn與n的具體關(guān)系.解：即亦可化為由題意可得這就是Yn滿足的二階常系數(shù)齊次線性差分方程.時，上面的方程變?yōu)楫?dāng)特征方程為再求非齊次方程的一個特解由于1不是特征方程的根，且非齊次方程的右端函數(shù)為0次多項式，所以可假設(shè)特解為代入方程得解：解得，于是