陜西省咸陽(yáng)市武功縣2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．如圖，空間四邊形中，，，.點(diǎn)在上，且，為的中點(diǎn)，則（

）

A． B．C． D．2．已知，，且，則的值為（）A．6 B．10 C．12 D．143．已知為空間的一個(gè)基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，4．已知點(diǎn)，，若過(guò)點(diǎn)的直線與線段相交，則該直線斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．三點(diǎn)，，在同一條直線上，則值為（

）A．2 B． C．或 D．2或6．設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)，關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，則（

）A．10 B． C． D．387．如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．8．在空間直角坐標(biāo)系中，，三角形重心為，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的有（

）A．若兩條不重合的直線，的方向向量分別是，，則B．若直線的方向向量是，平面的法向量是，則C．若直線的方向向量是，平面的法向量是，則D．若兩個(gè)不同的平面，的法向量分別是，，則10．已知空間中三點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．與是共線向量 B．與同向的單位向量是C．和夾角的余弦值是 D．平面的一個(gè)法向量是11．在長(zhǎng)方體中，，，分別為棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．平面C．平面 D．直線和所成角的余弦值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且其方向向量為則直線的方程為.13．已知，，，若，，三向量共面，則實(shí)數(shù)等于.14．在直棱柱中，分別是，的中點(diǎn)，．則二面角的余弦值是．

四、解答題（本大題共5小題）15．已知點(diǎn)，，，設(shè)，，．(1)若實(shí)數(shù)使與垂直，求值．(2)求在上的投影向量．16．如圖所示，平行六面體中，．(1)用向量表示向量，并求；(2)求．17．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面間的距離．18．棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是的中點(diǎn)，在棱上，且，是的中點(diǎn).(1)證明：；(2)求；(3)求的長(zhǎng).19．如圖，四棱錐中，平面，底面四邊形為矩形，，，，為中點(diǎn)，為靠近的四等分點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值：(3)求點(diǎn)到平面的距離.

參考答案1．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】，，為的中點(diǎn)，，.故選D.2．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算以及空間向量垂直的坐標(biāo)表示可以計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)椋?，解?故選C.3．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量基底的概念，空間的一組基底，必須是不共面的三個(gè)向量求解判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)樵O(shè)，即，可解得，所以，，共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)樵O(shè)，無(wú)解，所以不共面，能構(gòu)成空間的一組基底，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)樵O(shè)，可解得，所以共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)樵O(shè)，可解得，所以共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤.故選B.4．【答案】B【分析】首先求出直線,的斜率，然后結(jié)合圖象即可寫出答案．【詳解】記為點(diǎn)，直線的斜率，直線的斜率，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，且與線段相交，所以結(jié)合圖象，可得直線的斜率的取值范圍是．故選B．5．【答案】D【解析】根據(jù)三點(diǎn)共線，可得，由兩點(diǎn)求斜率即可求解.【詳解】由題意可得，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，解得或，所以的值為2或．故選D．6．【答案】A【分析】寫出點(diǎn)坐標(biāo)，由對(duì)稱性易得線段長(zhǎng)．【詳解】點(diǎn)是點(diǎn)，關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)與相同，而豎坐標(biāo)與相反，，直線與軸平行，.故選A．7．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，，進(jìn)而求出線線角的向量公式即可求出結(jié)果.【詳解】如圖所示，以D為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，則.所以，因?yàn)?，所?故選C.

8．【答案】B【分析】三角形重心為，所以，計(jì)算出和，得到在上的投影，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，，三角形重心為，所以，，，所以在上的投影為，所以點(diǎn)到直線的距離為.故選B.9．【答案】BD【分析】根據(jù)向量與不平行，可判定A錯(cuò)誤；由，可判定B正確；由，可判定C不正確；由，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)橛芍本€，的方向向量分別是，，設(shè)，可得，此時(shí)方程組無(wú)解，即與不平行，所以與不平行，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)橛芍本€的方向向量是，平面的法向量是，可得，所以，所以，所以B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)橛芍本€的方向向量是，平面的法向量是，可得，可得，所以或，所以C不正確；對(duì)于D，因?yàn)橛蓛蓚€(gè)不同的平面，的法向量分別是，，可得，所以，則，所以D正確.故選BD.10．【答案】BD【分析】利用空間向量共線可判斷A；求出與同向的單位向量可判斷B；求出和夾角的余弦值可判斷C；求出平面的一個(gè)法向量可判斷D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，，，所以與不是共線向量，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，，與同向的單位向量是，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，，，所以和夾角的余弦值是，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，，令，可得，所以平面的一個(gè)法向量是，故D正確.故選BD.11．【答案】ACD【分析】A.根據(jù)線面垂直作出判斷；B.假設(shè)結(jié)論成立，然后通過(guò)條件驗(yàn)證假設(shè)；C.通過(guò)面面平行來(lái)證明線面平行；D.將直線平移至同一平面內(nèi)，然后根據(jù)長(zhǎng)度計(jì)算異面直線所成角的余弦值.【詳解】選項(xiàng)A．如圖所示，

因?yàn)?，所以四邊形是正方形，所以，因?yàn)閹缀误w為長(zhǎng)方體，所以平面，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故A正確；選項(xiàng)B．如圖所示，

假設(shè)平面，因?yàn)槠矫?，所以，顯然不成立，故假設(shè)錯(cuò)誤，所以B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C．如圖所示，

連接，因?yàn)橛蓷l件可知，所以，因?yàn)?，所以平面平面，因?yàn)槠矫妫云矫?，故C正確；選項(xiàng)D．如圖所示，

連接，因?yàn)?，所以和所成角即為或其補(bǔ)角，因?yàn)橛蓷l件可知：，所以，故D正確.故選ACD.12．【答案】【分析】根據(jù)直線的方向向量求出斜率，從而利用點(diǎn)斜式寫出直線方程，化為一般式.【詳解】由題意該直線斜率為，所以直線l的方程為：，化為一般式方程為：.故答案為：.13．【答案】【分析】依題意設(shè)，列方程組能求出結(jié)果．【詳解】，，，且，，三向量共面，設(shè)，，，解得，，．故答案為：．14．【答案】【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，由題意可得：平面的法向量，則，由圖形可知：二面角為鈍角，所以其余弦值為.

15．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出空間向量的坐標(biāo)，再結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示列式計(jì)算即得.（2）利用投影向量的定義求解即得.【詳解】（1）依題意，，，因?yàn)榕c垂直，可得，所以解得.（2）因?yàn)橛桑?）知，，，所以在上的投影向量為.16．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）借助空間向量的線性運(yùn)算和模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系計(jì)算即可得；（2）結(jié)合題意，借助空間向量的線性運(yùn)算與夾角公式計(jì)算即可得.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所?（2）由空間向量的運(yùn)算法則，可得，因?yàn)?，且，所以，，所?17．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，證明，，即可得，從而可證平面，平面，再利用面面平行的判定定理即可得證；（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以點(diǎn)到平面的距離即為平面與平面間的距離，求出平面的法向量，從而可求的答案.【詳解】（1）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)橛深}意可得，，，，，，，，所以，，，，所以，，所以EFMN，AMBF．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面平面，?）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以點(diǎn)到平面的距離即為平面與平面間的距離．設(shè)是平面的法向量，則有，即，可取，因?yàn)?，所以點(diǎn)B到平面AMN的距離為，故平面與平面間的距離為．18．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出，得到直線垂直；（2）利用空間向量夾角余弦公式進(jìn)行求解；（3）求出的坐標(biāo)，由公式計(jì)算出.【詳解】（1）如圖，以為原點(diǎn)，，，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，因?yàn)?，，所以，所以，故；?）因?yàn)椋砸驗(yàn)?，，所以；?）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，，?19．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）直接建立空間直角坐標(biāo)系，然后用空間向量計(jì)算垂直，利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）利用第一小問(wèn)建立的空間直角坐標(biāo)系計(jì)算即可；（3）利用向量的投