函數(shù)與極限第1章1目錄１.１函數(shù)的概念１.２初等函數(shù)１.３函數(shù)的極限１.４函數(shù)極限的運算法則１.５函數(shù)的連續(xù)性2教學(xué)要求：1.理解函數(shù)的概念和性質(zhì)；了解反函數(shù)的概念，并認識反三角函數(shù)．2.掌握基本初等函數(shù)的定義，熟悉它們的圖像和性質(zhì)．3.理解復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)的定義，會進行復(fù)合函數(shù)的分解．4.了解數(shù)列極限的含義；理解函數(shù)極限的概念，了解函數(shù)左、右極限的概念及其簡單的計算．35.了解無窮小與無窮大的概念，會用無窮小的性質(zhì)求極限，知道一些等價無窮小，會用等價無窮小代換求極限．6.掌握極限的四則運算法則；掌握用兩個重要極限求函數(shù)極限的方法．7.理解函數(shù)連續(xù)的定義和初等函數(shù)連續(xù)性的概念，會求一些簡單的函數(shù)的間斷點；熟悉閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)．41.1函數(shù)的概念5集合集合一般地，某些指定的對象組成的全體就是一個集合（簡稱集）．集合中的每個對象都稱為這個集合的元素，集合可以用列舉法或描述法來表示．通常用大寫英文字母A，B，C等表示集合，用小寫英文字母a，b，c等表示集合中的元素．如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A；如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A．6實例考察中自變量的取值范圍是在實數(shù)范圍內(nèi)的數(shù)的集合，簡稱數(shù)集，一些常用的數(shù)集及其記法如下表：7區(qū)間對于數(shù)集，還有一種更為簡單的表示方法———區(qū)間．設(shè)a，b都是實數(shù)，且a＜b．89上表中，“－∞”和“＋∞”分別讀作“負無窮大”和“正無窮大”．“－∞”和“＋∞”不是數(shù)，僅僅是記號，“－∞”表示區(qū)間的左端點可以無限地減小，“＋∞”表示區(qū)間的右端點可以無限地增大．鄰域鄰域也是常用到的一個集合概念．設(shè)a與δ是兩個實數(shù)，且δ＞０，開區(qū)間（a－δ，a＋δ）稱為a的δ鄰域，記作U（a，δ），（a－δ，a）∪（a，a＋δ）稱為a的去心δ鄰域，記作

（a，δ）．10函數(shù)的概念函數(shù)的定義在某一個變化過程中，有兩個變量x與y，如果對于x在某個非空的實數(shù)集D中的每一個值，按照某個對應(yīng)關(guān)系（或稱對應(yīng)法則）f，y都有唯一確定的值與x對應(yīng)，那么我們就說y是x的函數(shù)，記作y＝f（x），x∈D．其中，x稱為自變量，y稱為因變量，x的取值范圍D稱為函數(shù)的定義域，與x的值相對應(yīng)的y的值稱為函數(shù)值．當x取遍D中所有值時，所得到的函數(shù)值y的集合{f（x）丨x∈D}稱為函數(shù)的值域．11由函數(shù)的定義可知，一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱兩個函數(shù)相等．函數(shù)的定義域的確定通常有以下兩種情形：對有實際背景的函數(shù)，根據(jù)實際背景中變量的實際意義確定定義域；對抽象的算式表達的函數(shù)，約定定義域是使得函數(shù)表達式有意義的一切實數(shù)組成的集合，這種定義域稱為函數(shù)的自然定義域．12函數(shù)的表示法解析法（公式法）用數(shù)學(xué)式子表示自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法．列表法用表格來表示自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法．圖像法在平面內(nèi)用圖像來表示自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法．反函數(shù)在函數(shù)關(guān)系中，自變量與因變量是相對的．例如，對于函數(shù)y＝2x，若把x解出，得x＝log2y，則x就成為y的函數(shù)．13設(shè)函數(shù)y＝f（x），定義域為D，值域為M，如果對于M中的每一個y值（y∈M），都可以從關(guān)系式y(tǒng)＝f（x）確定唯一的x值（x∈D）與之對應(yīng)，那么所確定的以y為自變量的函數(shù)x＝f－1（y）就稱為函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù)，它的定義域為M，值域為D．由此定義可知，函數(shù)y＝f（x）也是函數(shù)x＝f－1（y）的反函數(shù)，即它們互為反函數(shù)．習(xí)慣上，函數(shù)的自變量用x表示，因變量用y表示，所以把函數(shù)y＝f（x），x∈D的反函數(shù)記為y＝f－1（x），x∈M．函數(shù)y＝f（x）的圖像與其反函數(shù)y＝f－1（x）的圖像關(guān)于直線y＝x對稱．14反三角函數(shù)正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R是沒有反函數(shù)的，但是在正弦函數(shù)y＝sinx的一個單調(diào)區(qū)間

上，對于y在[－1，1]上每一個值，x在

上都有唯一的值和它對應(yīng)，因此，函數(shù)y＝sinx，

x∈有反函數(shù)．函數(shù)y＝sinx，x∈的反函數(shù)稱為反正弦函數(shù)，記作y＝arcsinx，它的定義域為[－1，1]，值域為．類似地，函數(shù)y＝cosx，x∈[0，π]的反函數(shù)稱為反余弦函數(shù)，記作y＝arccosx，它的定義域為[－1，1]，值域為[0，π]．函數(shù)y＝tanx，x∈的反函數(shù)稱為反正切函數(shù)，記作y＝arctanx，它的定義域為R，值域為．函數(shù)y＝cotx，x∈（0，π）的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記作y＝arccotx，它的定義域為R，值域為（0，π）．反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)、反余切函數(shù)統(tǒng)稱為反三角函數(shù)．15函數(shù)的基本性質(zhì)奇偶性設(shè)函數(shù)y＝f（x），x∈D，定義域D關(guān)于原點對稱，如果對于任意x∈D，都有f（－x）＝f（x），則稱y＝f（x）為偶函數(shù)；如果對于任意x∈D，都有f（－x）＝－f（x），則稱y＝f（x）為奇函數(shù)．不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)的函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù)．幾何特征：偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱．1617周期性設(shè)函數(shù)y＝f（x），x∈D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對于任意x∈D，都有x＋T∈D，且f（x＋T）＝f（x），則稱y＝f（x）為周期函數(shù)，T稱為這個函數(shù)的周期．對于每個周期函數(shù)來說，周期有無窮多個．如果其中存在一個最小正數(shù)，則規(guī)定這個最小正數(shù)為該周期函數(shù)的最小正周期，簡稱周期．我們常說的某個函數(shù)的周期通常指的就是它的最小正周期．幾何特征：以T為周期的周期函數(shù)的圖像在定義域內(nèi)每隔長度為T的區(qū)間上形狀相同．18單調(diào)性設(shè)函數(shù)y＝f（x），x∈D，區(qū)間I?D．如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間I上隨著x的增大而增大，即對于I上任意兩點x1，x2，當x1＜x2時，有f（x1）＜f（x2），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增；如果函數(shù)f（x）在區(qū)間I上隨著x的增大而減小，即對于I上任意兩點x1，x2，當x1＜x2時，有f（x1）＞f（x2），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞減．區(qū)間I稱為y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間．幾何特征：單調(diào)遞增區(qū)間上的圖像沿橫軸正向上升，單調(diào)遞減區(qū)間上的圖像沿橫軸正向下降．特別地，當函數(shù)f（x）在它的定義域上單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）時，就稱f（x）是增函數(shù)（或減函數(shù)）．1920有界性設(shè)函數(shù)y＝f（x），x∈D，區(qū)間I?D．若存在一個正數(shù)M，對于任意x∈I，都有│f（x）│≤M，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上有界，否則，稱f（x）在區(qū)間I上無界．幾何特征：有界函數(shù)的圖像全部夾在直線y＝M與y＝－M之間．211.2初等函數(shù)22基本初等函數(shù)常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)．為了便于同學(xué)們復(fù)習(xí)，現(xiàn)將常見基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像和性質(zhì)列表如下：2324252627282930復(fù)合函數(shù)我們先來看一個例子．設(shè)y＝u5，u＝3－2x．把u＝3－2x代入y＝u5可以得到函數(shù)y＝（3－2x）5．這個函數(shù)就是由y＝u5與u＝3－2x復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)．31復(fù)合函數(shù)不僅可以有一個中間變量，還可以有多個中間變量，即可以由兩個以上的函數(shù)進行復(fù)合，只要它們依次滿足能夠復(fù)合的條件．另外，對于復(fù)合函數(shù)，我們要弄清兩個問題，那就是“復(fù)合”和“分解”．所謂“復(fù)合”，就是把幾個作為中間變量的函數(shù)復(fù)合成一個函數(shù)，該過程就是把中間變量依次代入的過程；所謂“分解”，就是把一個復(fù)合函數(shù)分解為幾個簡單的函數(shù)，而這些簡單的函數(shù)往往都是基本初等函數(shù)或是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算得到的函數(shù)．32初等函數(shù)例如，y＝x2－2x＋1，y＝，y＝2x＋xlnx，y＝（1＋cosx）tanx等都是初等函數(shù)．而分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)，如符號函數(shù)就不是初等函數(shù)．絕對值函數(shù)y＝丨x

丨雖然是分段函數(shù)，但由于

，所以它仍是初等函數(shù)．本教材所討論的函數(shù)絕大多數(shù)都是初等函數(shù)．331.3函數(shù)的極限34數(shù)列的極限根據(jù)定義，“割圓術(shù)”中圓面積A＝35有些數(shù)列的極限是不存在的，例如：（1）數(shù)列{n2}，當n→∞時，n2也無限增大，不能無限接近于一個確定的常數(shù)，根據(jù)數(shù)列極限的定義，這個數(shù)列的極限不存在，為方便起見，這時可以記作（2）數(shù)列{（－1）n}，當n→∞時，（－1）n在兩個數(shù)1與－1上來回跳動，也不能無限接近于一個確定的常數(shù)，根據(jù)數(shù)列極限的定義，這個數(shù)列的極限也是不存在的．36函數(shù)的極限當x→∞時，函數(shù)f（x）的極限前面我們討論了數(shù)列的極限．數(shù)列{an}可看作自變量為n的函數(shù)an＝f（n），n∈N?．因此，數(shù)列的極限

＝a，又可以寫成也就是說，當自變量n取正整數(shù)且無限增大時，對應(yīng)的函數(shù)值f（n）無限接近于一個確定的常數(shù)a．對于一般的函數(shù)f（x），當它的自變量x的絕對值無限增大時，我們可以類似地定義．37值得注意的是，上述定義中“x→∞”表示x既可取正值而趨于無窮（記作x→＋∞），也可取負值而趨于無窮（記作x→－∞）．但有時所討論的x值，只能或只需取正值（或負值）趨于無窮，此時我們可以類似地給出如下定義．38由上述極限的定義，可得結(jié)論：

＝A的充分必要條件是39當x→x0時，函數(shù)f（x）的極限40值得注意的是，上述定義中“x→x0”表示x可以以任意方式趨近于x0，但有時所討論的x值，只能或只需從x0的左側(cè)趨近于x0（記作x→x0－）或從x0的右側(cè)趨近于x0（記作x→x0＋），此時我們可以類似地給出如下定義．41由上述極限的定義，可得結(jié)論：

的充分必要條件是無窮小與無窮大無窮小注意：（1）無窮小是以零為極限的變量，任何一個很小常數(shù)都不是無窮?。?）常數(shù)中只有零可以看作無窮小．（3）不能籠統(tǒng)地說某個函數(shù)是無窮小，必須指出自變量的變化過程．因為無窮小是用極限來定義的，在自變量的某個變化過程中的無窮小，在另一個變化過程中則不一定是無窮?。?2函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系一般地，函數(shù)、函數(shù)極限與無窮小三者之間具有如下的關(guān)系．43無窮小的性質(zhì)在自變量的同一變化過程中，無窮小具有以下性質(zhì)．性質(zhì)1有限個無窮小的代數(shù)和仍為無窮?。再|(zhì)2有限個無窮小的乘積仍為無窮小．性質(zhì)3無窮小與有界函數(shù)的乘積為無窮?。普摮?shù)與無窮小的乘積為無窮?。?4無窮大當x→x0（或x→∞）時的無窮大的函數(shù)f（x），按函數(shù)極限的定義來說，極限是不存在的．但為了便于敘述函數(shù)的這一特征，我們也稱“函數(shù)的極限是無窮大”，并記作45如果當x→x0（或x→∞）時，函數(shù)f（x）大于零且無限增大，這時可記作如果當x→x0（或x→∞）時，函數(shù)f（x）小于零但絕對值無限增大，這時可記作注意：（1）無窮大是變量，任何一個絕對值很大的常數(shù)都不是無窮大．（2）說一個函數(shù)是無窮大，必須同時指出自變量的變化過程．46無窮小與無窮大的關(guān)系在自變量的同一變化過程中，如果函數(shù)f（x）為無窮大，則函數(shù)

為無窮??；反之，如果函數(shù)f（x）為無窮小，且f（x）≠0，則函數(shù)

為無窮大．471.4函數(shù)極限的運算法則48函數(shù)極限的四則運算法則在下面的討論中，求極限的過程中自變量的趨向沒有標出，表示對任何一個自變量的變化過程都成立，只要在同一問題中的自變量的趨向相同即可．以上法則都可以利用函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系來證明．49證明由函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系，得f（x）＝A＋α，g（x）＝B＋β，其中α，β都是自變量在同一變化過程中的無窮小，于是f（x）·g（x）＝（A＋α）（B＋β）＝AB＋（Aβ＋Bα＋αβ）．由無窮小的性質(zhì)可知，Aβ＋Bα＋αβ也是無窮?。俑鶕?jù)函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系知道lim[f（x）·g（x）]＝AB．50推論若limf（x）＝A，C為常數(shù)，n為正整數(shù)，則（1）limCf（x）＝Climf（x）＝CA；（2）lim[f（x）]n＝[limf（x）]n＝An．注意：只有當運算中所涉及的函數(shù)極限都存在，且分母的極限不為零時，才能用極限的四則運算法則求極限，否則法則不能使用．51復(fù)合函數(shù)的極限運算法則前面已經(jīng)得到，對于多項式函數(shù)和有理分式函數(shù)f（x），只要f（x0）存在，函數(shù)f（x）當x→x0時的極限，等于該函數(shù)在x0處的函數(shù)值f（x0）．事實上，一切基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點處同樣具有這樣的性質(zhì)，即如果f（x）是基本初等函數(shù)，定義域為D，x0∈D，則52類下面給出一個復(fù)合函數(shù)的極限運算法則．53兩個重要極限第一個重要極限

考察當x→0時，函數(shù)

的變化趨勢如下表．由表我們可以看出，當x→0時，

無限接近于常數(shù)1，即54注意：（1）第一個重要極限是

型．（2）形式必須一致，在x的同一個變化過程中，

中的兩個φ（x）是同一個無窮小．（3）第一個重要極限也可以寫成55第二個重要極限考察當x→∞時，函數(shù)

的變化趨勢如下表．56由表可以看出，當x→－∞或x→＋∞時，函數(shù)的值越來越接近一個確定的常數(shù)2.71828···．這個確定的常數(shù)用e來表示，即在上式中令t＝，則x→∞時，t→0，于是上式可變成

＝e，即注意：（1）第二個重要極限是1∞型．（2）形式必須一致，在x的同一個變化過程中，中的兩個φ（x）是同一個無窮?。?7無窮小的比較在無窮小的性質(zhì)中，我們已經(jīng)知道兩個無窮小的和、差、積仍然為無窮小，那么兩個無窮小的商是否為無窮小呢?答案是不定．例如，當x→0時，x2，2x，3x，sinx都是無窮小，而兩個無窮小的商的各種極限情況，反映了分子、分母的無窮小趨于零的“快慢”程度的不同．就上面的例子來說，在x→0的過程中，x2→0比2x→0“快得多”，3x→0比x2→0“慢得多”，3x→0與2x→0“快慢相仿”，而sinx→0與x→0“快慢一致”．58為了對無窮小趨于零的快慢有一個定性的描述，我們給出“無窮小的階”的概念．59由定義可知，當x→0時，x2是比2x高階的無窮小；3x是比x2低階的無窮小，3x與2x是同階無窮小，而sinx與x是等價無窮?。懊嫖覀円呀?jīng)求出，當x→0時，60所以，當x→0時，有下列常用的等價無窮?。畇inx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x，對于等價無窮小，有下列性質(zhì)．定理當x→x0時，α~α′，β~β′，且存在，則這個定理表明，求兩個無窮小之比的極限時，分子、分母都可以用等價無窮小來代替，這樣可以使計算簡化，但當分子或分母是若干項無窮小的和或差時，則一般不能對其中某一項無窮小作等價代換．611.5函數(shù)的連續(xù)性62函數(shù)連續(xù)性的概念函數(shù)的增量設(shè)x0是一個定點，當自變量從初值x0變化到終值x時，我們稱自變量終值與初值的差x－x0為自變量的增量（或自變量的改變量），記作Δx，即Δx＝x－x0，從而有x＝x0＋Δx，即x0＋Δx也表示自變量的終值．63設(shè)函數(shù)y＝f（x）在點x0

的某鄰域內(nèi)有定義，當自變量從x0

變化到x0

＋Δx時，即自變量x在x0

處有增量Δx時，函數(shù)y＝f（x）的值相應(yīng)地從f（x0

）變到f（x0

＋Δx）也產(chǎn)生了一個改變量，我們把Δy＝f（x0

＋Δx）－f（x0

）稱為函數(shù)y＝f（x）在點x0

處的增量．64函數(shù)在一點處的連續(xù)性在幾何上，函數(shù)的增量表示當自變量從x0變化到x0＋Δx時，曲線上對應(yīng)點的縱坐標的增量．65函數(shù)在點x0

處連續(xù)，在幾何上表示為函數(shù)圖像在x0

附近為一條連續(xù)不斷的曲線．從上圖可以看出，當自變量的增量Δx趨近于0時，函數(shù)的增量Δy也趨近于0．66由于x＝x0

＋Δx，因此Δx→0就是x→x0

；Δy→0就是f（x）→f（x0

）．由此，函數(shù)y＝f（x）在點x0

處連續(xù)的定義也可敘述如下．67函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性如果函數(shù)f（x）在點x0

處有則稱函數(shù)y＝f（x）在點x0

左連續(xù)（或右連續(xù)）．如果函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)每一點處均連續(xù)，則稱函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)，區(qū)間（a，b）稱為函數(shù)f（x）的連續(xù)區(qū)間．如果函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)，且在左端點a處右連續(xù)，在右端點b處左連續(xù)，即則稱函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)．在幾何上，連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不間斷的曲線．基本初等函數(shù)在其定義