第七章多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用7.1多元函數(shù)的極限與連續(xù)一元函數(shù)的定義域可用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示,這里r,h是兩個(gè)獨(dú)立取值的變量,例如,圓柱體的體積7.1.1n維空間而二元函數(shù)的定義域需用平面上的點(diǎn)來表示.當(dāng)r,h取定一對(duì)值時(shí),就有確定的V與之對(duì)應(yīng).n元有序數(shù)組

n維空間中的每一個(gè)元素稱為n維空間中兩點(diǎn)間的距離定義為記作設(shè)n為正整數(shù),的全體稱為n維空間,空間中的一個(gè)點(diǎn).

鄰域:設(shè)P0(x0,y0)是

xOy平面上的一個(gè)點(diǎn),幾何表示：Oxy.

P0令有時(shí)簡記為稱為

將鄰域去掉中心,稱為去心鄰域.記為我們先討論平面上的點(diǎn)集.內(nèi)點(diǎn):顯然,E的內(nèi)點(diǎn)屬于E.邊界點(diǎn):如點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)則稱P為E的邊界點(diǎn).設(shè)E為一平面點(diǎn)集,若存在則稱P為E的內(nèi)點(diǎn).E的邊界點(diǎn)的全體稱為E的邊界.既有屬于E的點(diǎn),也有不屬于E的點(diǎn),例如,設(shè)點(diǎn)集則P為E的內(nèi)點(diǎn);則P為E的邊界點(diǎn).E的邊界為集合聚點(diǎn):如果點(diǎn)P的任何空心鄰域都有E中的點(diǎn),則稱P是E的聚點(diǎn).開集:若E的任意一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn),則稱E為開集.若E由它的內(nèi)點(diǎn)和邊界點(diǎn)構(gòu)成,稱E為閉集.例如,為開集,為閉集,既不是開集也不是閉集.設(shè)D是集合,連通的開集稱區(qū)域或開區(qū)域.如果D內(nèi)任何兩點(diǎn),都可用折線連且該折線上的點(diǎn)都屬于D,則稱D是連通的.如都是區(qū)域.結(jié)起來,開區(qū)域連同它的邊界一起,稱為閉區(qū)域.有界區(qū)域:否則,稱為無界區(qū)域.都是閉區(qū)域.如總可以被包圍在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、半徑適當(dāng)大的圓內(nèi)的區(qū)域,為D的直徑.有界閉區(qū)域的直徑：

設(shè)D是有界閉區(qū)域,稱稱為有界區(qū)域.有關(guān)鄰域、區(qū)域等概念可推廣到

n維空間.都有唯一確定的z與之點(diǎn)集D稱為該函數(shù)稱為該函數(shù)的值域.則稱z是x,y的二元函數(shù).若對(duì)于D中設(shè)D是xOy平面上的點(diǎn)集,任意取定一個(gè)點(diǎn)P(x,y),對(duì)應(yīng),記為稱x,y為自變量,的定義域,數(shù)集z為因變量,二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).多元函數(shù)定義域定義域?yàn)榉蠈?shí)際意義的自變量取值的全體.類似地,

可定義n元函數(shù)實(shí)際問題中的函數(shù):自變量取值的全體.純數(shù)學(xué)問題的函數(shù):定義域?yàn)槭惯\(yùn)算有意義的例1

求

的定義域．解所求定義域?yàn)槎瘮?shù)的圖形這個(gè)點(diǎn)集稱為二元函數(shù)的圖形.當(dāng)x、y取遍D上一切點(diǎn)時(shí),得一個(gè)空間點(diǎn)集,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為取定的這樣,以

x為橫坐標(biāo)、y為縱坐標(biāo)、z為豎坐標(biāo)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈,對(duì)于任意在空間就確定一點(diǎn)二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面例如,圖形如右圖.例如,圖形是球面.單值分支:定義域先討論二元函數(shù)

怎樣描述呢?Oxy(1)

P(x,y)趨向于P0(x0,y0)的方向有任意多個(gè),路徑又是多種多樣的.Oxy7.1.2多元函數(shù)的極限注:(2)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與定點(diǎn)P0(x0,y0)之間的距離記為總可以用來表示極限過程:不論的過程多復(fù)雜,記作定義7.1

設(shè)二元函數(shù)在D有定義,有成立.時(shí)的極限.P0(x0,y0)是

D的聚點(diǎn).A常數(shù)為,也記作如果說明:(1)二元函數(shù)的極限也稱二重極限;(2)二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似;稱為二次極限;(3)與(4)欲證明極限存在,常用定義或夾擠定理;(5)類似地,可以給出n元函數(shù)極限的定義.

例2

求極限

解其中

由夾擠定理

練習(xí)

求解例3

設(shè)函數(shù)討論極限

是否存在.解取其值隨k的不同而變化,故極限不存在.定義7.2

設(shè)n元函數(shù)f(P)的定義域?yàn)辄c(diǎn)集D,如果則稱n元函數(shù)f(P)在點(diǎn)P0處連續(xù).則稱P0是函數(shù)

f(P)P0∈D.如果f(P)在點(diǎn)P0處不連續(xù),的間斷點(diǎn).如果函數(shù)

f(P)在開區(qū)域(閉區(qū)域)D內(nèi)的每一一點(diǎn)連續(xù),則稱函數(shù)f(P)在D內(nèi)連續(xù),f(P)是

D內(nèi)的連續(xù)函數(shù).7.1.3多元函數(shù)的連續(xù)性或稱函數(shù)例4

討論函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處的連續(xù)性．解由例3知,故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù).極限

不存在,多元初等函數(shù):由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)稱為多元初等函數(shù).結(jié)論:多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域.性質(zhì)1

有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)是有界的；性質(zhì)2在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù),在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．性質(zhì)3有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)在上必取得其介于最大值和最小值之間的一切值.例5求解函數(shù)定義區(qū)域?yàn)楣是?.2偏導(dǎo)數(shù)7.2.1偏導(dǎo)數(shù)的概念及其計(jì)算法

例如,二元函數(shù)

z=f(x,y),先讓

y固定

(即y視為常數(shù)),這時(shí)z就是

x的一元函數(shù),z對(duì)

x的導(dǎo)數(shù),為了一元函數(shù)的變化率,我們引入了導(dǎo)數(shù)的概念.對(duì)于多元函數(shù),我們先考慮它關(guān)于一個(gè)自變量的變化率.稱為二元函數(shù)

z

對(duì)

x的偏導(dǎo)數(shù).設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y),P0(x0,y0)為平面上一點(diǎn).定義7.3如果z=f(x,y0)在x0的某一鄰域內(nèi)有定義且在x0點(diǎn)即極限存在,則稱此極限為函數(shù)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù),記為或可導(dǎo),同理,可定義函數(shù)

在點(diǎn)

處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)為記為或的偏導(dǎo)數(shù),

如果函數(shù)

z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)任一點(diǎn)

(x,y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在,那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x、y同理,可以定義函數(shù)

對(duì)自變量

y數(shù),簡稱偏導(dǎo)數(shù).的函數(shù),稱其為函數(shù)z=f(x,y)對(duì)自變量

x的偏導(dǎo)函記作或記作或求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)并不需要新的方法,利用一元函數(shù)只需將y看作常量,的求導(dǎo)法對(duì)x求導(dǎo)即可.解例1求

在點(diǎn)

處的偏導(dǎo)數(shù)．證證畢．例2

設(shè)證明偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如

在

處

解利用函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱性,有例3

求的偏導(dǎo)數(shù)．證例4

已知理想氣體的狀態(tài)方程(R

為常數(shù)),求證:有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明：例解1.偏導(dǎo)數(shù)

是一個(gè)整體記號(hào),不能拆分;2.分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求;按定義得3.偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系？但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在

連續(xù).一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)

連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在

連續(xù)，在(0,0)處,例如,函數(shù)例5研究函數(shù)在(0,0)點(diǎn)的解因?yàn)檫B續(xù)性與可導(dǎo)性.

所以,函數(shù)在(0,0)點(diǎn)連續(xù).

而所以,設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)有如圖,為曲面偏導(dǎo)數(shù).上的一點(diǎn),過點(diǎn)作平面此平面與曲面相交得一曲線,曲線的方程為由于偏導(dǎo)數(shù)等于一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)故由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義7.2.2偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知:偏導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線對(duì)x軸的斜率;偏導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線對(duì)y軸的斜率.例6求曲線在點(diǎn)(2,4,5)處的切線與x軸正向所成的傾角.解設(shè)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).7.2.3高階偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為解例7

設(shè)求一般地,多元函數(shù)的高階混合偏導(dǎo)數(shù)如果連續(xù)就與求導(dǎo)次序無關(guān).如果函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏在區(qū)域D內(nèi)連續(xù),定理7.1那么在導(dǎo)數(shù)該區(qū)域內(nèi)如問題:混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎?具備怎樣的條件才相等?解利用函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱性例8

驗(yàn)證函數(shù)

滿足拉普拉斯方程由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得7.3

全微分及其應(yīng)用二元函數(shù)對(duì)x和y的偏增量二元函數(shù)對(duì)x和y的偏微分全增量:鄰域內(nèi)有定義,函數(shù)取得的增量的全增量.定義7.4(全微分)可表示為處可微分,則稱函數(shù)稱為函數(shù)記作即的全增量處的全微分.如果函數(shù)也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).多元函數(shù)即使在某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)都存在,若函數(shù)在某區(qū)域

D內(nèi)各點(diǎn)處都可微分,定理

7.2

(可微的必要條件)設(shè)函數(shù)可微分,且處偏導(dǎo)數(shù)存在,則則稱該函數(shù)在

D內(nèi)可微分.證(1)有所以,函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).于是由函數(shù)可微分,(2)令同理可得從而一元函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)可微分．多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在可微分．？例如，但函數(shù)

f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處不連續(xù),所以不可微.說明:

多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證可微.在點(diǎn)(0,0)處有

證所以,在該點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)偏導(dǎo)數(shù)必存在.定理7.3

(微分充分條件)用拉氏定理因偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)P(x,y)連續(xù),連續(xù),可微分.如果函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)同理故函數(shù)處可微分.通常把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況.習(xí)慣上,全微分記為稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理．如三元函數(shù)有分之和,解所以例1計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)(1,2)的全微分.解所求全微分例2

計(jì)算函數(shù)

的全微分.解例3計(jì)算的近似值.所以令則因且取多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微的關(guān)系

函數(shù)可微

函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在對(duì)應(yīng)的增量,增量時(shí);就是切線縱坐標(biāo)2.3.2微分的幾何意義當(dāng)是曲線的縱坐標(biāo)在點(diǎn)M的附近,切線段MP可近似代替曲線段MN.定理7.4設(shè)函數(shù)且其導(dǎo)數(shù)為具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),此時(shí),

稱為全導(dǎo)數(shù).7.4多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則7.4.1多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則例1

設(shè)

求這是冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù),但用全導(dǎo)數(shù)公式較簡便.yuvx解可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法計(jì)算.上述定理可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況.如則解例2

設(shè)

而求全導(dǎo)數(shù)則復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在,且有下列求導(dǎo)公式具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),的情形：定理可推廣到

函數(shù)復(fù)合圖uv解例3

設(shè)

而求

類似地再推廣,中間變量多于兩個(gè)的情形復(fù)合函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在,且可用下列公式計(jì)算:即兩者的區(qū)別區(qū)別類似把復(fù)合函數(shù)中的y看作不變而對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)把中的u及y看作不變而對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)解

zuxyxy函數(shù)復(fù)合圖求

例4

設(shè)

而解令記同理有例5設(shè)其中f

具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求于是例6設(shè)

其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),解求即于是當(dāng)、時(shí),有設(shè)函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則全微分

稱為一階全微分的形式不變性

無論z是自變量u,v的函數(shù)或中間變量u,v的函數(shù),它的全微分形式是一樣的.

通過全微分求所有一階偏導(dǎo)數(shù),比鏈導(dǎo)法則求偏導(dǎo)數(shù)有時(shí)會(huì)顯得靈活方便.一階全微分形式不變性的實(shí)質(zhì)：于是,得所以存在的一個(gè)鄰域,在這個(gè)鄰域內(nèi)得恒等式兩邊關(guān)于x求導(dǎo),由全導(dǎo)數(shù)公式,得將方程所確定的函數(shù)代入其中,7.4.2

多元隱函數(shù)的求導(dǎo)法則解則于是令例7

設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求

定理7.5(隱函數(shù)存在定理)設(shè)函數(shù)F(x,y,

z)滿足(1)F(x,y,z)在某鄰域內(nèi)可偏導(dǎo)，且連續(xù)，則(1)存在

的某個(gè)鄰域,在此鄰域內(nèi)存在唯一且.確定的二元函數(shù)z=f(x,y)滿足F(x,y,f(x,y))=0,(2)z=f(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且解故先求例8設(shè)z=f(x,y)由方程求確定令則再求兩邊分別對(duì)y求偏導(dǎo),得對(duì)代入得將則偏導(dǎo)數(shù)，

求例9設(shè)有隱函數(shù)，其中F具有連續(xù)的解令，解方程兩端對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù),得整理得方程兩端對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù),得練習(xí)設(shè)求7.5.1無條件極值7.5多元函數(shù)的極值則稱點(diǎn)P0為函數(shù)的極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn)),稱為函數(shù)的極大值(或極小值).函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值.極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點(diǎn),如果對(duì)于該鄰域內(nèi)異于P0的任意一點(diǎn)P,都有設(shè)多元函數(shù)在點(diǎn)P0的某鄰域內(nèi)有定義,

簡單函數(shù)的極值是容易判斷的.在(0,0)點(diǎn)取極小值

(也是最小值).在(0,0)點(diǎn)取極大值

(也是最大值).在(0,0)點(diǎn)無極值.旋轉(zhuǎn)拋物面下半錐面馬鞍面例函數(shù)例函數(shù)例函數(shù)證定理7.6(極值存在的必要條件)則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零:都有必有類似地可證不妨設(shè)處有極大值,有說明一元函數(shù)處有極大值,設(shè)函數(shù)具有偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)處有極值,推廣如果三元函數(shù)具有偏導(dǎo)數(shù),則它在有極值的必要條件為點(diǎn),均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).極值點(diǎn)仿照一元函數(shù),凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)?如,點(diǎn)的駐點(diǎn),但不是極值點(diǎn).注:駐點(diǎn)定理7.7(極值存在的充分條件)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),處是否取得極值的條件如下:(1)有極值,時(shí),有極大值,時(shí),有極小值;(2)無極值;(3)可能有極值,也可能無極值.設(shè)函數(shù)的某鄰域內(nèi)連續(xù),又令說明：但z(0,0)=0為極小值,在(0,0)點(diǎn)處均有對(duì)于函數(shù)與而u(0,0)=0不是極值.求函數(shù)極值的一般步驟:第一步:解方程組求出實(shí)數(shù)解,得駐點(diǎn).第二步:對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B、C.再判定是否是極值.第三步:定出的符號(hào),例1求函數(shù)的極值.解令又在(0,0)處,

在(1,1)處,

故故在(0,0)無極值;在

(1,1)有極小值,得駐點(diǎn)解方程兩邊分別對(duì)x,y求偏導(dǎo)數(shù),得得駐點(diǎn)方程組兩邊再分別對(duì)x,y求偏導(dǎo)數(shù),練習(xí)求由方程令確定的函數(shù)的極值.故函數(shù)在P有極值.代入原方程,為極小值;為極大值.所以,所以,取得.然而,如函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在,這些點(diǎn)當(dāng)然不是駐點(diǎn),但也可能是極值點(diǎn).如:函數(shù)不存在,但函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處都具有極大值.在研究函數(shù)的極值時(shí),除研究函數(shù)的駐點(diǎn)外,由極值的必要條件知,極值只可能在駐點(diǎn)處在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)注:還應(yīng)研究偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).并無其他條件.無條件極值:對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外,條件極值:對(duì)自變量有附加條件的極值.7.5.2條件極值拉格朗日乘數(shù)法解例2某廠要用鐵皮制成容積一定的無蓋的長方體盒子，問怎樣設(shè)計(jì)尺寸才能使用料最??？設(shè)盒子底邊長、寬、高分別為此盒子所用材料面積為則容積為得駐點(diǎn)由條件解出代入上式化為函數(shù)令故當(dāng)盒子長、寬、高都為

時(shí)用料最省.上例的極值問題也可以看成是求三元函數(shù)的極值,要受的限制,這便是一個(gè)條件極值問題.目標(biāo)函數(shù)約束條件目標(biāo)函數(shù)中化為無條件極值.

有時(shí)條件極值可通過將約束條件代入但在一般情形甚至是不可能的.

下面要介紹解決條件極值問題的一般下,這樣做是有困難的,方法——拉格朗日乘數(shù)法到條件拉格朗日乘數(shù)法:在條件要求函數(shù)下的可能極值點(diǎn),先構(gòu)造函數(shù)為某一常數(shù),其中可由解出其中(x,y)就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo).其中

均為常數(shù),可由偏導(dǎo)數(shù)為零及條件解出即得極值點(diǎn)的坐標(biāo).下的極值.例如,求函數(shù)在條件先構(gòu)造函數(shù)拉格朗日乘數(shù)法可推廣:或約束條件多于兩個(gè)的情況.自變量多于兩個(gè)解由題意，目標(biāo)函數(shù)為作拉格朗日函數(shù)約束條件為.解得令例3求直線上最靠近坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn).直線上的點(diǎn)距原點(diǎn)最近.7.7二重積分7.7.1二重積分的概念柱體體積

=底面積×高

平頂柱體引例求曲頂柱體的體積曲頂柱體體積=?D曲頂柱體以xOy面上的閉區(qū)域D為底,D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面,側(cè)面以頂是曲面且在D上連續(xù)).x0z

yDSS:z=f(x,y)1.任意分割區(qū)域

D,化整為零2.以平代曲

ix0z

yDS:z=f(x,y)3.積零為整2.

以平代曲1.任意分割區(qū)域

D,化整為零

ix0z

yDS:z=f(x,y)4.取極限

i2.

以平代曲1.任意分割區(qū)域

D,化整為零V=3.積零為整x0z

yS:z=f(x,y)4.取極限V2.以平代曲V=1.任意分割區(qū)域

D,化整為零3.積零為整也表示它的面積,定義7.5(1)將閉區(qū)域

D任意分成n個(gè)小閉區(qū)域

(2)作乘積

(3)并作和D設(shè)是有界閉區(qū)域

D的有界函數(shù),積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達(dá)式面積元素這和式則稱此零時(shí),如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值

趨近于的極限存在,記為即(4)極限為函數(shù)在閉區(qū)域D上的二重積分,曲頂柱體體積曲頂

即在底D上的二重積分,二重積分的幾何意義

當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí),二重積分是柱體的體積的負(fù)值．2.在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D,二重積分可寫為注定積分中1.重積分與定積分的區(qū)別:重積分中可正可負(fù).則面積元素為D7.7.2直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

二重積分的計(jì)算方法是:將二重積分化為二次1.矩形區(qū)域上的二重積分積分區(qū)域D為矩形在D上連續(xù).設(shè)積分(累次積分)來計(jì)算.

的值等于以區(qū)域D為底,曲面z=f(x,y)把柱體切割成平行于xOz平面的薄片,對(duì)應(yīng)薄片又有于是

為頂?shù)那斨w的體積,現(xiàn)用定積分計(jì)算這個(gè)體積.2.橫向區(qū)域:這樣的區(qū)域上通常可以先對(duì)x積分,再對(duì)y積分

則例2計(jì)算其中D是由直線

先對(duì)x積分

所圍平面閉區(qū)域.解3.縱向區(qū)域這樣的區(qū)域上通?？梢韵葘?duì)y積分,再對(duì)x積分

則例3計(jì)算其中D如圖所示.

解先對(duì)y積分