第十一章三角形專項突破練1三角形的倒角模型類型1

8字形模型1.

如圖，

AB

和

CD

相交于點

O

，∠

A

＝∠

C

，則下列結(jié)論

中不能完全確定正確的是(

D

)A.

∠

B

＝∠

D

B.

∠1＝∠

A

＋∠

D

C.

∠2＞∠

D

D.

∠

C

＝∠

D

D234567891012.

【學(xué)科素養(yǎng)·模型觀念】如圖①，已知線段

AB

，

CD

相交

于點

O

，連接

AC

，

BD

，我們把形如這樣的圖形稱為“8

字形”.(1)求證：∠

A

＋∠

C

＝∠

B

＋∠

D

；(1)證明：在△

AOC

中，∠

A

＋∠

C

＝180°－∠

AOC

.

在△

BOD

中，∠

B

＋∠

D

＝180°－∠

BOD

.

∵∠

AOC

＝∠

BOD

，∴∠

A

＋∠

C

＝∠

B

＋∠

D

.

234567891012.

【學(xué)科素養(yǎng)·模型觀念】如圖①，已知線段

AB

，

CD

相交于點

O

，

連接

AC

，

BD

，我們把形如這樣的圖形稱為“8字形”.(2)如圖②，若∠

CAB

和∠

BDC

的平分線

AP

和

DP

相交于點

P

，與

CD

，

AB

分別相交于點

M

，

N

.

①以線段

AC

為邊的“8字形”有

個，以點

O

為交點的“8字形”有

個；3

4

②若∠

B

＝100°，∠

C

＝120°，求∠

P

的度數(shù).(2)解：②∵在△

AMC

和△

DMP

中，∠

C

＋∠

CAM

＝∠

P

＋∠

PDM

，在△

BDN

和△

PAN

中，∠

B

＋∠

BDN

＝∠

P

＋∠

PAN

，23456789101∴∠

C

＋∠

CAM

＋∠

B

＋∠

BDN

＝∠

P

＋∠

PDM

＋

∠

P

＋∠

PAN

＝2∠

P

＋∠

PDM

＋∠

PAN

.

∵

AP

平分

∠

BAC

，

DP

平分∠

BDC

，∴∠

CAM

＝∠

PAN

，∠

BDN

＝∠

PDM

，∴∠

C

＋∠

B

＝2∠

P

，即120°＋100°＝2∠

P

，∴∠

P

＝110°.23456789101類型2飛鏢模型3.

如圖，∠

ABD

，∠

ACD

的平分線交于點

P

，若∠

A

＝

48°，∠

D

＝10°，則∠

P

的度數(shù)為(

A

)A.19°B.20°C.22°D.25°A234567891014.

[2023秦皇島期中]一個零件的形狀如圖中陰影部分.按規(guī)

定∠

A

等于90°，∠

B

，∠

C

分別等于29°和21°的零件

是合格零件，檢驗人員量得∠

BDC

＝141°，就斷定這個

零件不合格.你能說明理由嗎？23456789101解：理由：如圖，延長

BD

交

AC

于點

E

.

根據(jù)三角形的外

角性質(zhì)可知，∠

CED

＝∠

A

＋∠

B

，∠

BDC

＝∠

CED

＋

∠

C

，∴∠

BDC

＝∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＝90°＋29°＋21°＝140°，∴檢驗人員量得∠

BDC

＝141°，可斷定這個零件不

合格.234567891015.

【新考向·開放性問題】如圖，在四邊形

ABCD

中，∠

A

＝55°，∠

B

＝30°，∠

D

＝20°，求∠

BCD

的度數(shù).下面是學(xué)習(xí)小組的同學(xué)們交流時得到的解決問題的三

種方法：方法一：作射線

AC

；方法二：延長

BC

交

AD

于點

E

；方法三：連接

B

D.

請選擇上述一種方法，求∠

BCD

的度數(shù).23456789101解：選擇方法一：如圖①，作射線

AC

并在線段

AC

的延

長線上任取一點

E

.

∵∠

BCE

是△

ABC

的外角，∴∠

BCE

＝∠

B

＋∠

BAE

.

同理可得∠

DCE

＝∠

D

＋∠

DAE

，∴∠

BCD

＝∠

BCE

＋∠

DCE

＝∠

B

＋∠

BAE

＋∠

D

＋∠

DAE

＝∠

B

＋∠

BAD

＋∠

D

.

∵∠

BAD

＝55°，∠

B

＝30°，∠

D

＝20°，∴∠

BCD

＝105°.23456789101∵∠

BED

是△

ABE

的外角，∴∠

BED

＝∠

B

＋∠

A

.

同理可得∠

BCD

＝∠

BED

＋∠

D

，∴∠

BCD

＝∠

B

＋

∠

A

＋∠

D

.

∵∠

A

＝55°，∠

B

＝30°，∠

D

＝20°，

∴∠

BCD

＝105°.選擇方法二：如圖②，延長

BC

交

AD

于點

E

.

23456789101選擇方法三：如圖③，連接

BD

.

在△

ABD

中，∠

A

＋∠

ABD

＋∠

ADB

＝180°，∴∠

A

＋∠

ABC

＋∠

CBD

＋∠

ADC

＋∠

BDC

＝180°，∴∠

A

＋∠

ABC

＋∠

ADC

＝

180°－∠

CBD

－∠

BDC

.

在△

BCD

中，∠

BCD

＝

180°－∠

CBD

－∠

BDC

，∴∠

BCD

＝∠

A

＋∠

ABC

＋

∠

ADC

.

∵∠

A

＝55°，∠

ABC

＝30°，∠

ADC

＝20°，

∴∠

BCD

＝105°.23456789101類型3角內(nèi)翻模型6.

把△

ABC

沿

EF

對折，折疊后的圖形如圖所示，∠

A

＝

60°，∠1＝96°，則∠2的度數(shù)為(

B

)A.30°B.24°C.25°D.26°B234567891017.

如圖，將△

ABC

紙片沿

DE

折疊，使點

A

落在點A'處，且

BA'平分∠

ABC

，CA'平分∠

ACB

，若∠BA'C＝120°，

則∠1＋∠2的度數(shù)為(

D

)A.90°B.100°C.110°D.120°D234567891018.

【新考法·操作探究】如圖，在△

ABC

中，∠

C

＝46°，

將△

ABC

沿直線

l

折疊，使點

C

落在點

D

的位置，則∠1

－∠2的度數(shù)是(

B

)A.23°B.92°C.46°D.

無法確定B234567891019.

【思想方法分類討論】[2024邢臺期末]如圖，在△

ABC

中，∠

A

＝64°，∠

B

＝90°，∠

C

＝26°.點

D

是

AC

邊上的定點，點

E

在

BC

邊上運動，沿

DE

折疊△

CDE

，

點

C

落在點

G

處.當(dāng)△

DEG

的三邊與△

ABC

的三邊有一

組邊平行時，∠

ADG

＝

?

?.26°或38°或52°或64°或

116°或142°

23456789101點撥：如圖①，當(dāng)

DE

∥

AB

時，

DE

⊥

CG

.

∵∠

DGC

＝∠

C

＝26°，∴∠

ADG

＝∠

DGC

＋∠

C

＝52°.如圖②，當(dāng)

DG

∥

AB

，且點

G

在

BC

下方時，∠

ADG

＝

180°－∠

A

＝180°－64°＝116°.23456789101如圖④，當(dāng)

EG

∥

AC

時，∠

ADG

＝∠

G

＝∠

C

＝26°.如圖③，當(dāng)

DG

∥

BC

時，∠

ADG

＝∠

C

＝26°.23456789101如圖⑤，當(dāng)

EG

∥

AB

，且點

G

在

BC

上方時，∠

CFE

＝

∠

A

＝64°，∠

CEG

＝∠

B

＝90°.由折疊的性質(zhì)可知，

∠

DEG

＝∠

DEC

＝45°，∠

EDG

＝∠

CDE

，∴∠

EDF

＝∠

C

＋∠

DEC

＝26°＋45°＝71°，∴∠

CDE

＝180°－∠

EDF

＝109°，∴∠

ADG

＝∠

EDG

－∠

EDF

＝∠

CDE

－∠

EDF

＝109°－71°＝38°.23456789101如圖⑦，當(dāng)

EG

∥

AB

，且點

G

在

BC

下方時，∠

GEB

＝∠

B

＝90°，∴∠

CEG

＝90°.如圖⑥，當(dāng)

DG

∥

AB